初三相似三角形的基本模型(共44页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上相似三角形 一、同步知识梳理知识点1:相似证明中的基本模型知识点2:相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中,常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形,同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等如图:平分交于,求证:证法一:过作,交的延长线于,点评:做平行线构造成比例线段,利用了“A”型图的基本模型证法二;过作的平行线,交的延长线于,点评:做平行线构造成比例线段,利用了“X”型图的基本模型知识点3:相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比,和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法基本模型如下:如图:如图:如图:
2、。二、同步题型分析题型1:与三角形有关的相似问题例1:如图,、是的边、上的点,且,求证:.解析: 例2:如图,在中,于,于,的面积是面积的4倍,求的长.解析:题型2:相似中的角平分线问题例1:如图,是的角平分线,求证:解析: 例2:已知中,的外角平分线交对边的延长线于,求证:解析: 例3:已知:、分别为的内、外角平分线,为的中点,求证:解析: 题型3:型结论的证明例1:如图,直角中,证明:,.解析:例2:如图,在中,平分,的垂直平分线交于,交的延长线于,求证:解析: 题型4、三角形内接矩形问题例1、 已知,如图,中,四边形为正方形,其中在边上,在上,求正方形的边长解析: 三、课堂达标检测检测题
3、1:如图,在正方形ABCD中,点E在AB边上,且AEEB21,AFDE于G交BC于F,则AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为( ) A、12 B、14 C、49 D、23 检测题2、如图,已知DEBC,CD和BE相交于点O,49,则AEEC为( ) A、21 B、23 C、49 D、54检测题3、在ABC中,D为AC边上一点,DBCA,BC,AC3,则CD的长为( ) A、1 B、 C、2 D、答案:1、C2、A3、C一、专题精讲 构造相似辅助线双垂直模型 例1:在ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作ABD,使ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长答案:解:情形一
4、:情形二:情形三:例2:在ABC中,AC=BC,ACB=90,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点求证:MC:NC=AP:PB答案:证明:方法一:连接PC,过点P作PDAC于D,则PD/BC根据折叠可知MNCP2+PCN=90,PCN+CNM=902=CNMCDP=NCM=90PDCMCNMC:CN=PD:DCPD=DAMC:CN=DA:DCPD/BCDA:DC=PA:PBMC:CN=PA:PB方法二:如图,过M作MDAB于D,过N作NEAB于E由双垂直模型,可以推知PMDNPE,则,根据等比性质可知,而MD=DA,NE=EB,PM=CM,P
5、N=CN,MC:CN=PA:PB例3:已知,如图,直线y=2x2与坐标轴交于A、B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为12。求C、D两点的坐标。构造相似辅助线A、X字型 例4:如图:ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。求证:答案:证明:(方法一)如图延长AE到M使得EM=AE,连接CMBE=CE,AEB=MEC BEACEMCM=AB,1=BABCMM=MAD,MCF=ADFMCFADFCM=AB,AD=AC(方法二)过D作DGBC交AE于G则ABEADG,CEFDGF,AD=AC,BE=CE例5:四边形ABCD中,AC为AB、AD
6、的比例中项,且AC平分DAB。求证:答案:证明:过点D作DFAB交AC的延长线于点F,则2=3AC平分DAB1=21=3AD=DFDEF=BEA,2=3BEADEFAD=DFAC为AB、AD的比例中项即又1=2ACDABC例6:在梯形ABCD中,ABCD,ABb,CDa,E为AD边上的任意一点,EFAB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时,发现如下事实:(1)当时,EF=;(2)当时,EF=;(3)当时,EF=当时,参照上述研究结论,请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论,并给出证明答案:证明:过点E作PQBC分别交BA延长线和DC于点P和点QABCD,PQBC四边形PQCB和四边形E
7、QCF是平行四边形PBEFCQ,又ABb,CDaAPPB-ABEF-b,DQDC-QCa-EF例7:已知:如图,在ABC中,M是AC的中点,E、F是BC上的两点,且BEEFFC。求BN:NQ:QM答案:解:连接MFM是AC的中点,EFFCMFAE且MFAEBENBFMBN:BMBE:BFNE:MFBEEFBN:BMNE:MF1:2BN:NM1:1设NEx,则MF2x,AE4xAN3xMFAENAQMFQNQ:QMAN:MF3:2BN:NM1:1,NQ:QM3:2BN:NQ:QM5:3:2相似类定值问题 例8:如图,在等边ABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为MN上任意一点,BD、CD的
8、延长线分别交AC、AB于点E、F求证:答案:证明:如图,作DPAB,DQAC则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且DPQ是等边三角形BP+CQMN,DPDQPQM、N分别是边AB,AC的中点MNBCPQDPAB,DQACCDPCFB,BDQBEC,DPDQPQBCABAB()例9:已知:如图,梯形ABCD中,AB/DC,对角线AC、BD交于O,过O作EF/AB分别交AD、BC于E、F。求证:答案:证明:EF/AB,AB/DCEF/DCAOEACD,DOEDBA,例:10:如图,在ABC中,已知CD为边AB上的高,正方形EFGH的四个顶点分别在ABC上。求证:答案:证明:EFCD,EH
9、AB,AFEADC,CEHCAB,EFEH例11:已知,在ABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a求证:.答案:证明:EFAC,DEBC,BFEBCA,AEDABC,EFDEa一线三角等题型:例12(2010年绍兴中考)如图,已知在矩形中,是线段边上的任意一点(不含端点),连接,过点作交于(1)在线段上是否存在不同于的点,使得?若存在,求线段与之间的数量关系;若不存在,请说明理由;(2)当点在上运动时,对应的点也随之在上运动,求的取值范围解:(1)假设存在这样的点Q;PEPC,APE+DPC=90,D=90,DPC+DCP=90,APE=DCP,又A=D=90,APEDCP,=,APDP=
10、AEDC;同理可得AQDQ=AEDC;AQDQ=APDP,即AQ(3AQ)=AP(3AP),3AQAQ2=3APAP2,AP2AQ2=3AP3AQ,(AP+AQ)(APAQ)=3(APAQ);APAQ,AP+AQ=3(2分)APAQ,AP,即P不能是AD的中点,当P是AD的中点时,满足条件的Q点不存在当P不是AD的中点时,总存在这样的点Q满足条件,此时AP+AQ=3(1分)(2)设AP=x,AE=y,由APDP=AEDC可得x(3x)=2y,y=x(3x)=x2+x=(x)2+,当x=(在0x3范围内)时,y最大值=;而此时BE最小为,又E在AB上运动,且AB=2,BE的取值范围是BE2(2分
11、)例13(2012年宁夏中考)在矩形中,是上的任意一点(与不重合),过点作,垂足为,交于点(1) 连接,当 与全等时,求的长;(2) 若设为,为,试确定与的函数关系式当取何值时,的值最大?最大值是多少?(3) 若,试求出此时的长解:(1)APEADE(已知),AD=3(已知),AP=AD=3(全等三角形的对应边相等);在RtABP中,BP=(勾股定理);(2)APPE(已知),APB+CPE=CPE+PEC=90,APB=PEC,又B=C=90,RtABPRtPCE,即(相似三角形的对应边成比例),=当x=时,y有最大值,最大值是;(3)如图,连接BD设BP=x,PEBD,CPECBD,(相似
12、三角形的对应边成比例),即化简得,3x213x+12=0解得,x1=,x2=3(不合题意,舍去),当BP=时,PEBD例14(2012年宜宾中考)如图,在中,已知,且 ,将 与重合在一起,不动,运动,并满足:点在边上沿到的方向运动,且、始终经过点,与交于点(1)求证: ;(2)探究:在运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出的长;若不能,请说明理由;(3)当线段最短时,求重叠部分的面积(1)证明:AB=AC,B=C,ABCDEF,AEF=B,又AEF+CEM=AEC=B+BAE,CEM=BAE,ABEECM;(2)能解:AEF=B=C,且AMEC,AMEAEF,AEAM;当AE=EM
13、时,则ABEECM,CE=AB=5,BE=BCEC=65=1,当AM=EM时,则MAE=MEA,MAE+BAE=MEA+CEM,即CAB=CEA,又C=C,CAECBA,CE=,BE=6=;若AE=AM,此时E点与B点重合,M点与C点重合,即BE=0BE=1或或0(3)解:设BE=x,又ABEECM,即:,CM=+x=(x3)2+,AM=5CM(x3)2+,当x=3时,AM最短为,又当BE=x=3=BC时,点E为BC的中点,AEBC,AE=4,此时,EFAC,EM=,SAEM=二、专题过关【题1】 如上图,垂足分别为、,和相交于点,垂足为.证明:.答案:(BF+DF)/DF=AB/EF 1 B
14、F/DF+1=AB/EF (BF+DF)/BF=CD/EF 2 DF/BF+1=CD/EF 1推出 BF/DF=(AB-EF)/EF 代入2 EF/(AB-EF)+1=CD/EF = AB/(AB-EF)=CD/EF = 1- EF/AB =EF/CD = 1= EF(1/AB+1/CD) = 1/EF= 1/AB+1/CD 【题2】 如图,已知,找出、之间的关系,并证明你的结论.答案:1/SBDE=1/SABD+1/SBDC 以A E C三点坐高于BD 三条高依然存在1题中关系 共用底边BD 高的比等于面积比。【题3】 (2012年成都中考)如图,和是两个全等的等腰直角三角形,的顶点与的斜边
15、的中点重合将绕点旋转,旋转过程中,线段与线段相交于点,线段与射线相交于点(1)如图,当点在线段上,且时,求证: ;(2)如图,当点在线段的延长线上时,求证:;并求当时, 两点间的距离 (用含的代数式表示)解:连接PQ,ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,B=C=DEF=45,BEQ=EQC+C,即BEP+DEF=EQC+C,BEP+45=EQC+45,BEP=EQC,B=C=45,BPECEQ,=,BP=a,CQ=,BE=CE,=,BE=CE=a,BC=3a,AB=AC=BCsin45=3a,AQ=CQAC=a,PA=ABBP=2a,在RtAPQ中,PQ=a三、学法提炼1、专题特点:从基
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