悖论与数学教学.doc
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1、教育教学研究与实践作者简介:顾鑫盈,女,理学硕士,基础部教师1顾鑫盈文章摘要文章摘要 文章以数学发展史上最为有名的三大悖论为例说明悖论对于数学发展所起的重要作用,随后结合教学心理学分析了悖论的教学功能,在此基础上提出了“悖论式教学流程”通过教学案例展现了悖论式教学的操作过程。关关 键键 词词 悖论;教学功能;教学案例悖论是以其逻辑手段深入到原有理论体系的根基,揭示原有理论隐含的客观矛盾。学生学习数学的过程虽不同于数学家数学探索的历程,但却有着相同的本质或相近的规律,考虑中学数学教学的特性,充分利用学生由于认知错误而导致的“悖论”进行教学,是实施数学新课程的今天应予以讨论的话题。 1 悖论在数学
2、发展史中的作用悖论在数学发展史中的作用 在数学科学发展史中,悖论的发现往往意味着一个激动人心的重大数学问题的提出,激励着科学家们去冲破传统观念的束缚,运用创新的思维和观念去提出新假设、建立新理论,从而导致数学科学发生革命性的飞跃,使数学变得更加成熟,我们以数学发展史上最为著名的三大悖论的产生及解决为例说明之。第一个悖论毕达哥拉斯悖论。大约公元前 5 世纪(史称毕达哥拉斯时代) ,当时人们追求宇宙的和谐规律性,倡导“唯数论”的哲学观,认为宇宙的本质就是数的和谐,而他们所谓的“数的和谐”是指一切事物和现象都可以归结为整数或整数与整数之比,当然也就认为一切的数都可表达为整数或整数的比,后来毕达哥拉斯
3、的学生希帕苏斯(Hippasus,公元前 470 年左右)发现数轴上存在不与任何已知数(有理数)对应的点,它无法用整数或整数比来表达,导致了无理数的发现,大大动摇了毕氏数学的基石,使的已构的数学大夏爆发了第一次严重危机(后来在公元前 370 年由毕氏学派的欧多克斯(Eudoxus)通过给比例下新定义的方法暂时消除) ,这次数学危机的解决使人类对数的认识从有理数扩充到实数范围,人们逐渐认识到了直觉与经验的局限性并开始重视演绎推理,某种程度上也促进了后来被称为欧氏几何与非欧几何的诞生,这不能不说是数学思想史上的一次重大革命1。第二个悖论贝克莱悖论。18 世纪,牛顿在发明幂函数的流数(即导数)时,他
4、这样推导:设,为了求出或的流数,设“由nxy ynxx流动(by flowing)成为, 就成为xnx222 1 2)(nnnnxnnxnxx和的增量的比,即和xy的比,等于222 1 2nnxnnxn(都用来除):1 和的比。 “现在设增量消22 1 2nnxnnnx失,它们的最后比就是”1 比,因此的1nnxx流数和的流数的比就等于 1 比,从而用nx1nnx今天的话来说对的变化率是2。因为yx1nnx那时还没诞生无穷小量概念,牛顿的这一推导方法并不严密,当时基督教大主教贝克莱看出了其教育教学研究与实践2中的破绽,他针对上述推导发难:如果“”是零,就不应该用来做除数;如果“”不是零,又不应
5、该把后面的各项略掉,这个逻辑矛盾导致数学的第二次危机的爆发。人们为了解决推导的严密性而建立了柯西极限概念,把数学分析大大地推进了一步。数学史上的第 3 次危机是由英国的哲学家、数学家罗素提出的一个集合引发的:“集合 A 是一切集合所构成的集合” (为了便于理解,罗素当时是用一个等价的“理发师悖论”提出来的,即“我只给不给自己刮胡子的人刮胡子”悖论) 。一方面,A 是个一切集合所构成的集合,当然是一个新集合,它不应当包括在 A 集之中;另一方面,A 既然是一个集合,它又应该属于一切集合构成的 A 集之中。这个悖论也似一枚炸弹震撼了数学界,它激发了大批研究人员去探索如何进一步建立严格的数学基础,以
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