高考数学破题三十六计之计.doc
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1、【精品文档】如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流高考数学破题三十六计之计.精品文档.第1计 芝麻开门 点到成功计名释义七品芝麻官,说的是这个官很小,就是芝麻那么小的一点. 阿里巴巴用“芝麻开门”,讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻,竟把那个庞然大门给“点”开了. 数学中,以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等,这些足以说明“点”的重要性. 因此,以点破题,点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示范例题 (2006年鄂卷第15题)将杨辉三角中的每一个数都换成分数,就得到一个如下图所示的分数三角形,称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出,其中 . 令
2、,则 . 分析 一看此题,图文并举,篇幅很大,还有省略号省去的有无穷之多,真乃是个庞然大物. 从何处破门呢?我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形,它虽然没有底边,但有个顶点,我们就打这个顶点的主意. 解 将等式与右边的顶点三角形对应(图右),自然有 对此,心算可以得到:n =1,r =0,x=1对一般情况讲,就是x = r+1 这就是本题第1空的答案. 插语 本题是填空题,只要结果,不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析,而是以点带面,点到成功. 要点明的是,这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数,都等于对应的“脚下”两数之和,所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形,
3、都能解出x = r+1. 第2道填空,仍考虑以点带面,先抓无穷数列的首项. 解 在三角形中先找到了数列首项,并将和数列 中的各项依次“以点连线”(图右实线),实线所串各数之和就是an . 这个an,就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进行依次列项时,我们总是“取右舍左”,而舍去的各项(虚线所串)所成数列的极限是0. 因此得到 这就是本题第2空的答案. 点评 解题的关键是“以点破门”,这里的点是一个具体的数,采用的方法是以点串线三角形中的实线,实线上端折线所对的那个数就是问题的答案. 事实上,三角形中的任何一个数(点)都有这个性质. 例如从这个数开始,向左下连线(无穷射线),所连各数之和
4、(的极限)就是这个数的左上角的那个数. 用等式表示就是 链接 本题型为填空题,若改编成解答题,那就不是只有4分的小题,而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下. 法1 由知,可用合项的办法,将的和式逐步合项. 法2 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和,即根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项,则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和,结合给出的数表可逐次向上求和为,故,从而法3 (2)将代入条件式,并变形得取令得以上诸式两边分别相加,得 说明 以上三法,都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中,则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门,点到成功”在
5、使用对象上的真正意义. 对应训练1如图把椭圆的长轴AB分成8份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P7F|=_.2如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,P,Q分别是侧棱AA1,CC1上的点,且A1P=CQ,则四棱锥B1A1PQC1的体积与多面体ABCPB1Q的体积比值为 . 参考解答1找“点”椭圆的另一个焦点F2. 连接P1F2 、P2F2 、P7F2,由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 710 = 70由椭圆的对称性可
6、知,本题的答案是70的一半即35.2找“点”动点P、Q的极限点. 如图所示,令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合,动点Q与C重合.则多面体蜕变为四棱锥CAA1B1B,四棱锥蜕化为三棱锥CA1B1C1 .显然V棱柱.于是奇兵天降答案为.点评 “点到成功”的点,都是非一般的特殊点,它能以点带面,揭示整体,制约全局. 这些特殊点,在没被认识之前,往往是人们的盲点,只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字,既是名词,又是动词,是“点亮”和“亮点”的合一.第2计 西瓜开门 滚到成功计名释义比起“芝麻”来,“西瓜”则不是一个“点”,而一个球. 因为它能够“滚”,所以靠“滚到成功”. 球能不
7、断地变换碰撞面,在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的. 一是知识内容,二是思想方法. 基本的数学思想并不多,只有五种:函数方程思想,数形结合思想,划分讨论思想,等价交换思想,特殊一般思想. 数学破题,不妨将这五种思想“滚动”一遍,总有一种思想方法能与题目对上号.典例示范题1 (2006年赣卷第5题)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f (x)0,则必有A. f(0)f(2)2f(1)分析用五种数学思想进行“滚动”,最容易找到感觉应是:分类讨论思想.这点在已条件(x-1)f(x)0中暗示得极为显目.其一,对f(x)有大于、等于和小于0三种情况;其二,对x-1,也有大于、等于
8、、小于0三种情况.因此,本题破门,首先想到的是划分讨论.解一 (i)若f(x) 0时,则f(x)为常数:此时选项B、C符合条件.(ii)若f(x)不恒为0时. 则f(x)0时有x1,f(x)在上为增函数;f(x)0时x 1. 即f(x)在上为减函数. 此时,选项C、D符合条件.综合(i),(ii),本题的正确答案为C.插语 考场上多见的错误是选D. 忽略了f(x) 0的可能. 以为(x-1)f(x) 0中等号成立的条件只是x-1=0,其实x-1=0与f(x)=0的意义是不同的:前者只涉x的一个值,即x=1,而后是对x的所有可取值,有f(x) 0.再析 本题f(x)是种抽象函数,或者说是满足本题
9、条件的一类函数的集合. 而选择支中,又是一些具体的函数值f(0),f(1),f(2).因此容易使人联想到数学:一般特殊思想.解二 (i)若f(x)=0,可设f(x)=.选项、符合条件.(ii)f(x)0. 可设f(x) =(x-1)2 又f(x)=2(x-1).满足(x-1) f(x) =2 (x-1)20,而对 f (x)= (x-1)2. 有f(0)= f(2)=1,f(1)=0选项C,D符合条件. 综合(i),(ii)答案为C.插语 在这类f (x)的函数中,我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ,(x-1) ,自然要麻烦些. 由此看到,特殊化就是简单化
10、.再析 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终,如由f (x)= 0找最值点x =0,由f (x)0(0)找单调区间,最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联,因此数形结合思想也容易想到.解三 (i)若f (0)= f (1)= f (2),即选B,C,则常数f (x) = 1符合条件. (右图水平直线)(ii)若f (0)= f (2) f (1)对应选项C,D(右图下拱曲线). 则满足条件(x-1) f (x)0.探索 本题涉及的抽象函数f (x),没有给出解析式,只给出了它的一个性质:(x-1) f (x)0,并由此可以判定f (0)+ f
11、(2) f (1). 自然,有这种性质的具体函数是很多的,我们希望再找到一些这样的函数.变题 以下函数f (x),具有性质(x-1) f (x)0从而有f (0)+ f (2) 2 f (1)的函数是A. f(x)= (x-1)3 B. f(x)= (x-1) C. f(x)= (x-1) D. f(x)= (x-1)解析 对A,f (0)= -1, f (2) =1,f (1)=0,不符合要求;对B,f (0)无意义; 对C,f (0)= -1, f (2) =1,f (1)=0,不符合要求;答案只能是D. 对D, f (0)= 1, f (1) =0,f (2)=1.且f (x)=(x-1
12、) 使得 (x-1) f(x) =(x-1)(x-1) 0.说明 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f(x)=(x-1) ,其中m,n都是正整数,且nm.点评 解决抽象函数的办法,切忌“一般解决”,只须按给定的具体性质“就事论事”,抽象函数具体化,这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.题2 已知实数x,y满足等式 ,试求分式的最值。分析 “最值”涉及函数,“等式”连接方程,函数方程思想最易想到.解一 (函数方程思想运用)令 y = k (x-5) 与方程联立消y,得: 根据x的范围应用根的分布得不等式组:解得 即 即所求的最小值为,最大值为.插语 解出,谈何易!十人九错,早
13、就应该“滚开”,用别的思想方法试试.解二 (数形结合思想运用)由得椭圆方程 ,看成是过椭圆上的点(x,y),(5,0)的直线斜率(图右).联立 得 令得,故 的最小值为,最大值为.插语 这就是“滚动”的好处,解二比解一容易多了. 因此,滚动开门,不仅要善于“滚到”,还要善于“滚开”.点评 “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.解题时,要打破思维固化,在思想方法上要“滚动”,在知识链接上要“滚动”,在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之,面对考题,在看法、想法和办法上要注意“滚动”.对应训练1.若动点P的坐标为(x,y),且lgy,lg|x|,lg成等差数列,则动点P的轨
14、迹应为图中的 ( )2.函数y=1- (-1x0)的反函数是 ( )A.y=-(0x1) B.y= (0x1)C. y=- (-1x0) D. y= (-1x0,a+2b+cac C.b2ac且a0 D.b2ac且a0且yx.选项B中无x0的图像,均应否定;当x=yR+时,lg无意义,否定A,选C【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用,滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是:当x0且yx时,由lgy+lg=2lg|x|,化简可得(x+y)(2x-y)=0.y=-x或y=2x(x0,y0).2.【思考】 分析各选项,仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别,所以拟从这两方面滚动着
15、手排除错误的选项.原函数定义域为-1x0,其反函数值域为-1y0,a+2b+c0,f(1)=a+2b+c0,即b2ac,故选B.【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:4b4a+c, 2b0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.参考答案1. 命sin2=sin2=sin2=,则cos2=cos2=cos2=.、为锐角时,cos=cos=cos=.coscoscos=.(注:根据解题常识,最大值应在cos=cos=cos时取得).2.解析 按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程.若借极限思想,将
16、点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.已知e=,则a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e=的椭圆系为(x+,把点P(-看做当k0时的极限情形(点椭圆),则与直线l:2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:(x+又所求的椭圆过(1,0)点,代入求得=-.因此所求椭圆方程为x2+=1.点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.3.解析 若按常规,需分两种情况考虑:A,B两点都在椭圆外;A,B两点都在椭圆内.若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.设a的允许值的集合为全集I=a|aR,a0,先求椭圆和线段AB有公共点
17、时的取值范围.易得线段AB的方程为y=x+1,x1,3,由方程组,x1,3,a2的值在1,3内递增,且x=1和x=3时分别得a2=或a2=,故a2.a0,a.故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为0a.第4计 关羽开门 刀举成功计名释义关羽不同于诸葛. 诸葛是智星,靠着扇子;关羽是武士,用的大刀. “过关斩将”用这大刀,“水淹七军”用这大刀. 数学上的“分析”、“分解”、“分割”等,讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思?切者,七刀也,分者,八刀也!再难的数学题,经过这七刀、八刀,最后不就粉碎了吗!典例示范例1 (2006年四川卷第19题)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,
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- 高考 数学 破题 三十六计
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