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1、教学目标:本章的目标是介绍集合、实数和极限。要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。教学重点:集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。教学难点:极限概念及其在微积分中的作用、邻域的概念。教学时数:6学时。第1页/共45页第一页,共46页。教学内容:1 极限、实数与集合( jh)在微积分中的作用2 实数系的建立及邻域的概念3 变量无限变化的数学模型极限数学家启示录 (一)数学之神阿基米德 (二)我国古代伟大数学家祖冲之第2页/共45页第二页,共46页。1 极限、实数极限、实数(shsh)与集合在微积分中的作用与集合在微积分中的作用 微
2、积分 极限理论 实数理论 自然数 集合论 从左到右,左边的理论(lln)为右边理论(lln)的基础。第3页/共45页第三页,共46页。布置(bzh)作业 必作题:无 选作题:无 思考题:推动微积分不断向前发展的因素有哪些?哪些数学家对微积分的完善(wnshn)与发展做出了重大贡献,各自的成就有哪些?第4页/共45页第四页,共46页。2 实数系的建立及邻域实数系的建立及邻域(ln y)的概念的概念 实数系的演变(ynbin)及性质 自然数集 实数集 有理数集 整数集(1)(2)(3)(1)是为了使在自然数范围(fnwi)内减法运算也封闭。(2)是为了使在整数范围(fnwi)内除法运算也封闭。(3
3、)数轴上除了有理点之外的成为无理数,合称为实数。 有理数集稠密,但不连续;实数集则连续。第5页/共45页第五页,共46页。 刻画极限的邻域概念 与点 的距离小于 的全体实数的集合称为点 的邻域。记作: ,称为邻域的中心, 称为邻域的半径。这一邻域可用集合符号表示(biosh)为 。 如果点 的 邻域 不包括点 ,则称为点 的去心邻域。 0 x00 x,0 xU0 x0 xxx0 x,0 xU0 x0 x第6页/共45页第六页,共46页。 例题:用邻域符号和区间符号分别表示不等式 所确定(qudng)的 的范围。 解: 0212xx421421421421,421212,示为:的邻域。用区间符号
4、表为半径为中心、以所以它表示以。即得由xxx第7页/共45页第七页,共46页。布置(bzh)作业 必作题:无 选作题:无 思考题:实数(shsh)系的演变过程是怎样的?第8页/共45页第八页,共46页。3 变量无限变量无限(wxin)变化的数学模型变化的数学模型极限极限 数列极限(概念) 以正整数为自变量的函数 ,当n依次取 , 称为无穷数列 ,简称( jinchng)数列。数列中的各个数称为数列的项, 称为数列的通项。数列常简记为 。 )(nfy 321, 3 , 2 , 1,)(所得到的一列函数值iifai)(nfan na第9页/共45页第九页,共46页。1.数列(shli)极限的定性描
5、述 定义1:如果n无限增大时,数列 的同项 无限趋近于常数a,则称该数列以a为极限,记作 其中 表示n无限增大,此时也称为该数列收敛;如果 时,不以任何(rnh)常数为极限,则称数列 发散。 nana.limnaaaannn或nn na第10页/共45页第十页,共46页。 无穷小量:以零为极限的变量称为无穷小量。 绝对值无限变大的变量称为无穷大量(dling)。 常数列的极限仍是该常数。时的无穷小量。就是nn21第11页/共45页第十一页,共46页。2.数列极限(jxin)的定量描述 定义2:如果对于任意(rny)正数 (无论它有多小),总存在相应的正整数N,使得满足nN的一切n,能使不等式
6、恒成立,则称数列 以a为极限,记作: aan na).(,limnaaaannn或第12页/共45页第十二页,共46页。例 证明:. 021limnn证明:设为任意小的正数(zhngsh) ,由 (不妨设 )求N:nn210211.2lglg,12nn即取 由前面的推导过程可知,则当nN时,就有 ,2lglgN得证。恒成立,021n第13页/共45页第十三页,共46页。3.数列极限中蕴含的辨证(binzhng)思想 极限的取得是变化过程与变化结果( ji gu)的对立统一。 极限是有限与无限的对立统一。 极限的取得体现了近似与精确的对立统一。第14页/共45页第十四页,共46页。函数(hnsh
7、)极限1.自变量 无限趋进于有限数 的情形定义1:设函数 在点 的近旁有定义(在点 处可以无定义)。如果对于任意正数(zhngsh) (不管它有多小),总存在相应的正数(zhngsh) ,使得满足 的一切 能使 恒成立,则称函数 当 时以A极限,记作: ,该定义又称为“ ” 定义。x0 x)(xfy 0 x0 x00 xxx Axf)()(xf0 xx )()()(lim00 xxAxfAxfxx或第15页/共45页第十五页,共46页。例:证明: 。 00limxxxx证明:对任意给定的 ,要使 成立,只需取 ,显然当 时, 恒成立,所以原式成立。0 0 xxAxf00 xx 0 xxAxf2
8、.左极限(jxin)和右极限(jxin)(不作为讲解内容)第16页/共45页第十六页,共46页。3.自变量的绝对值无限增大(zn d)时的情形.2arctanlim,2arctanlim).(lim)(lim)(00. 01lim0,1)(,)(xxxfxfxfxxxAxxxxxfxxfyxxxxx例如:或的极限分别记作时,函数或当为极限,记作:以常数时,该函数或即当见的绝对值无限变小,可函数无限增大时,当而言对于函数第17页/共45页第十七页,共46页。4.函数(hnsh)极限的性质 ).0(0),0(0lim000000 xfxUxxUxAxfxfxxfxxxx恒有,对一切的某邻域在点则存
9、是正(负)数。即若也数值的某一去心邻域内,函数,则在点的极限值是正(负)函数定理:如果第18页/共45页第十八页,共46页。 正是所要证明的。分成立,不等式的左半部即恒成立,时,使得当,则存在相应的正数定义可知,若限定任意”所以由“证明:由于AAxfAAAAxfxxAxxAxf0)(0,),( , 000 . 0,lim, 00AAxfxfxx那么且非负。即如果定理:非负函数的极限第19页/共45页第十九页,共46页。 成立。假设不不成立,原命题的假设矛盾,故这与的某邻域内在由以前所学定理可知,不成立,即设证明:(反证法)0. 0. 000 xfxfxAA .limlim,000BAxgxfB
10、xgAxfxxxgxfxxxx,即则时,且当推论:若第20页/共45页第二十页,共46页。无穷小量1.无穷小量的概念(前面已介绍过) 定理:函数f(x)在某个极限过程中以常数A为极限的充分(chngfn)必要条件是,函数f(x)能表示为常量A与无穷小量 之和的形式, f(x)= A+ 。第21页/共45页第二十一页,共46页。2.无穷小量的性质有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。常量(chngling)与无穷小量的乘积是无穷小量。无穷小量(0除外)的倒数是无穷大量。无穷大量的倒数是无穷小量。第22页/共45页第二十二页,
11、共46页。3.无穷小量阶的比较 如果在某个极限过程中两个无穷小量与之比的极限是非零常数,表明这两个无穷小量趋近于0的速度处于同一个级别,则称与是同阶无穷小;特别地,当这个常数等于1时,则称与是等价无穷小;如果这个常数是0,则是较高阶的无穷小;如果比值(bzh)趋于无穷,则是较低阶的无穷小。 第23页/共45页第二十三页,共46页。极限(jxin)的四则运算定理:有限个变量(binling)代数和的极限等于极限的代数和;定理:有限个变量(binling)之积的极限等于极限之积。推论:常数可以提到极限符号外。推论:正整指数幂的极限等于极限的幂。定理:当分母的极限不等于0时,两个变量(binling
12、)之商的极限定语极限之商。第24页/共45页第二十四页,共46页。例例1求求).53(lim22 xxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx 2223 5 3 注:注:设设,)(110nnnaxaxaxf 则有则有)(lim0 xfxxnnxxnxxaxaxa 110)lim()lim(00nnnaxaxa 10100).(0 xf 完完第25页/共45页第二十五页,共46页。例例 2求求.27592lim223 xxxx解解27592lim223 xxxx)275(lim)92(lim2323 xxxxx237
13、3593222 .229 注注:设设,)()()(xQxPxf 且且, 0)(0 xQ则有则有)(lim0 xfxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 当当0)(0 xQ时,时,则商的法则则商的法则(fz)不能应用不能应用.完完第26页/共45页第二十六页,共46页。例例3求求.321lim221 xxxx解解1x时时, , 分子分子(fnz)和分母的极限都是零和分母的极限都是零.此时此时(c sh)应先应先约去不为零的无穷小因子约去不为零的无穷小因子1 x后再求极限后再求极限. .)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxx
14、xxx.2131lim1 xxx消去消去(xio q)零因子法零因子法完完第27页/共45页第二十七页,共46页。例例4计算计算.354lim4 xxx解解 当当4x时时, 0)35( x不能直接使用商的极限运算不能直接使用商的极限运算(yn sun)法则法则.但可采用分母但可采用分母(fnm)有理化消去分母有理化消去分母(fnm)中趋向于零的因子中趋向于零的因子.)35)(35()35)(4(lim354lim44 xxxxxxxx4)35)(4(lim4 xxxx)35(lim4 xx. 635lim4 xx完完第28页/共45页第二十八页,共46页。1214lim5221xxx求:例.1
15、312.633limnnnn求:例212lim21xx解:原式3213112332limlimnnnnn解:原式第29页/共45页第二十九页,共46页。定理定理2(复合函数的极限运算复合函数的极限运算(yn sun)法则法则)设函数设函数)(xgfy 是由函数是由函数)(ufy 与函数与函数)(xgu 复合而成复合而成, ,若若,)(lim00uxgxx ,)(lim0Aufuu 则则)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu .A ,)(0uxg 且在且在 的某去心邻域内有的某去心邻域内有0 x注注:若函数若函数)(uf)(xg和和满足该定理的条件满足该定理的条件,则作代换则作代换),(x
16、gu 可把求可把求)(lim0 xgfxx化为求化为求),(lim0ufuu其中其中).(lim00 xguxx 定理定理(dngl)2表明表明:完完第30页/共45页第三十页,共46页。例例7 计算计算.2sinlim0 xx解解令令,2xu 则函数则函数xy2sin xu2 构成的复合函数构成的复合函数.因为因为(yn wi), 0 x且且0u时时, 0sinu所以所以(suy). 0sinlim2sinlim00 uxux完完可视为由可视为由,sinuy , 02 xu第31页/共45页第三十一页,共46页。例例8计算计算.2lim1xx 解解令令,1xu 则则, 01lim xx且且,
17、 12lim0 uu所以所以(suy). 12lim2lim01 uuxx完完第32页/共45页第三十二页,共46页。例例9解解求求.tanlim0 xxxxxxxxxxcos1sinlimtanlim00 xxxxxcos1limsinlim00 . 1 完完第33页/共45页第三十三页,共46页。例例10求求.3sinlim0 xxx解解xxxxxx33sin3lim3sinlim00 . 3 tx 3令令tttsinlim30完完第34页/共45页第三十四页,共46页。例例11解解求求.cos1lim20 xxx 原式原式2202sin2limxxx 22022sinlim21 xxx2
18、022sinlim21 xxx2121 .21 完完第35页/共45页第三十五页,共46页。例例12 求求.2sin2sinlim0 xxxxx 解解xxxxxxxxxx2sin12sin1lim2sin2sinlim00 xxxxx22sin2122sin21lim0 .312121 完完第36页/共45页第三十六页,共46页。例例13解解求求 .11lim3 xxx 311lim xxx 31111limxxxx 31111limxxxx 1 e. e 完完第37页/共45页第三十七页,共46页。例例14解解求求.11limxxx xxx 11limxxx 11lim111lim xxxx
19、xx 111lim.1e 完完第38页/共45页第三十八页,共46页。.3115limxxx:求例题,有解:作变量代换,令uxxu3,31于是得:时,显然,当.uxuuxxux31131limlim3311limeuuu第39页/共45页第三十九页,共46页。例例16求求.)1(lim10yyy 解解令令,1xy , x则则0y时时,于是于是(ysh) .11lim)1(lim10exyxxyy 注注: :本例的结果本例的结果(ji gu).)1(lim10eyyy 今后常作为公式今后常作为公式(gngsh)使用使用.完完第40页/共45页第四十页,共46页。例例17解解求求.23lim2xx
20、xx xxxx223lim 2211lim xxx222211lim xxx422211211lim xxxx.2e 完完第41页/共45页第四十一页,共46页。数学家启示录 数学之神阿基米德 阿基米德是古希腊大数学家、大物理学家,公元前287年生于西西里岛的叙拉古,公元前212年被罗马入侵者杀害。 (1)阿基米德的主要成就是在纯几何方面(fngmin); (2)阿基米德是一位运用科学知识抗击敌人入侵的爱国主义者。第42页/共45页第四十二页,共46页。 我国古代伟大数学家祖冲之 祖冲之(429500),我国南北朝时期的伟大科学家、数学家,生于刘宋文帝元嘉六年,卒于南齐东昏侯永元二年,他天资聪
21、明,勤奋好学。 (1)在天文、历法方面,祖冲之制定了“大明历”; (2)在数学方面,祖冲之求出圆周率在与之间。 (3)在生产应用方面,祖冲之改造(gizo)了指南车,制作了水推磨等。 (4)祖冲之兴趣广泛,在哲学、音乐等方面均有很深的造诣。第43页/共45页第四十三页,共46页。布置(bzh)作业 思考题: 阿基米德与祖冲之在数学上都有哪些(nxi)重大贡献,对我们有哪些(nxi)启示? 第44页/共45页第四十四页,共46页。感谢您的观看(gunkn)!第45页/共45页第四十五页,共46页。NoImage内容(nirng)总结教学目标:本章的目标是介绍集合、实数和极限。了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。3 变量无限变化的数学模型极限。(一)数学之神阿基米德。(二)我国古代伟大数学家祖冲之。称为无穷数列 ,简称数列。常数列的极限仍是该常数。恒成立,所以原式成立。特别(tbi)地,当这个常数等于1时,则称与是等价无穷小。但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.。数学之神阿基米德。我国古代伟大数学家祖冲之第四十六页,共46页。
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