九上(学生)相似三角形讲义教学内容.pdf
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1、九上 学生)相似三角形讲义(第第 1 1 讲讲 相似图形与成比例线段相似图形与成比例线段【学习目标】【学习目标】1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。2、了解成比例线段的概念,会确定线段的比。【学习重点】【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。【学习难点】【学习难点】成比例线段概念。【学习过程】【学习过程】知识点一:比例线段知识点一:比例线段定义:对于四条线段 a、b、c、d,如果其中 两条线段的比(即它们长度的两条线段的比(即它们长度的比)与另外两条线段的比比)与另外两条线段的比,如果ac,那么就说这四条线段 a、b、bdc、d 叫做成比例线段,简称比例线
2、段。例:如四条线段的长度分别是 4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例?解:练习一:练习一:ABACCDAC1、如图所示:(1)求线段比BC、DE、BE、CD(2)试指出图中成比例线段2、线段 a、b、c、d 的长度分别是 30mm、2cm、0.8cm、12mm 判断这四条线段是否成比例?3、线段 a、b、c、d 的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例?4、已知 A、B两地的实际距离是 250m 若画在图上的距离是 5cm,则图上距离与实际距离的比是_5、已知线段 a=1ac、 b =23、c=23、若,则x=_若2bxbyy 0,则y=_yc6、下列四组线段中,不
3、成比例的是 ( )A a=3 b=6 c=2 d=4B a=1 b=2 c=3 d=6C a=4 b=6 c=5 d=10 D a=2 b=3 c=2 d=6知识点二:比例线段的性质知识点二:比例线段的性质比例性质是根据等式的性质得到的,推理过程如下:(1 1) 基本性质:如果ac,那么ad bc(两边同乘bd,Q bd 0)bdbdabcd、accdab在abcd 0的情况下,还有以下几种变形(2 2) 合比性质:如果acabcd,那么bdbd(3 3) 等比性质:如果acemL L bd f L L n 0,那么bdfnaceL L mabd f L L nb例 2 填空: 如果练习二:练
4、习二:1、已知2、若a22abab,则a=、= 、=ab3bba3ab,求b5ababca2b3c,则=_234a3、已知mx ny,则下列各式中不正确的是( )AmxnyBmnyxCymxnDxynm4、已知5x7y 0,则x=_y5、已知x y zxyz,求=_x y z345第第 2 2 讲平行线分线段成比例讲平行线分线段成比例【学习目标】【学习目标】1.理解掌握平行线分线段成比例定理,会用符号“”表示相似三角形, 如ABC ABC;2. 知道相似多边形的主要特征3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似,并会运用其性质进行相关的计算。【学习重点】【学习重点】理解掌握平行线分线段成
5、比例定理及应用相似多边形的主要特征与识别。【学习难点】【学习难点】掌握平行线分线段成比例定理应用运用相似多边形的特征进行相关的计算。【学习过程】【学习过程】知识点三:平行线分三角形两边成比例线段知识点三:平行线分三角形两边成比例线段(1) 如图 27.2-1),任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.分别量度l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段 AB, BC 和在l2上截得的两条线段 DE, EF 的长度, ABBC 与 DEEF 相等吗?任意平移l5 , 再量度 AB, BC, DE, EF 的长度, ABBC 与 DEEF 相等吗?(2)问题,ABA
6、C=DE(),BCAC=()DF强调“对应线段的比是否相等”(3)归纳总结:平行线分线段成比例定理三条_截两条直线,所得的_。应重点关注:平行线分线段成比例定理中相比线段同线;4)例 1 如图、若 AB=3cm,BC=5cm,EK=4cm,写出AB =_。求 FK 的长?ACEK= =_、KFAEKB活动 2平行线分线段成比例定理推论FC思考:1、如果把图 27.2-1 中l1,l2两条直线相交,交点 A 刚落到l3上,如图27.2-2(1),所得的对应线段的比会相等吗?依据是什么?2、如果把图 27.2-1中l1,l2两条直线相交,交点 A 刚落到l4上,如图 27.2-2(2),所得的对应
7、线段的比会相等吗?依据是什么?3、任意平移l5 , 再量度 AB, BC, DE, EF 的平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所截得的3、 归纳总结:平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的两边延长线),所得的线段线段。例例 1:1:如图在如图在ABC中中, ,C 90,DE BC,BD 3cm,DC 2cm,BE 5cm求求 EAEA的长的长解:例例 2 2 如图,在如图,在ABCABC 中,DEBC,中,DEBC,AD=ECAD=EC,DB=1cmDB=1cm,AE=4c
8、mAE=4cm,BC=5cmBC=5cm,求,求 DEDE 的的长长分析:由 DEBC,可得ADEABC,再由相似三角形的性质,有AD 的长,再根据解: 巩固练习巩固练习 1.如ADAE,又由 AD=EC 可求出ABACDEAD求出 DE 的长BCAB图,在ABC 中,DEBC,AC=4 ,AB=3,EC=1.求 AD 和 BD.2如图,在ABCD 中,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,求 CD 的长 能力提升能力提升 1如图,ABCAED, 其中 DEBC,找出对应角并写出对应边的比例式2如图,ABCAED,其中ADE=B,找出对应角并写出对应边的比例式 归纳归纳 判定三角形相似的(预
9、备)定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所成的三角形与原来三角形平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所成的三角形与原来三角形相似。相似。这个定理揭示了有三角形一边的平行线,必构成相似三角形,因此在三角形相似的解题中,常作平行线构造常作平行线构造三角形与已知三角形相似练习练习 2 2:1、如图,在 RtABC中,C 90,DEAC 交 AB于 D,交 AC 于 E,如果DE=5,AE=12, AC=28.求 AB的长2、在ABC中,DE/BC,交 AB于 D,交 AC 于 E,F为 BC 上一点,DE 交 AF于 G,已知 AD=2BD,AE=5,求(1)3、如图:在ABC中,点 D、
10、E分别在 AB、AC 上,已知 AD=3,AB=5,4,由此判断 DE与 BC 的关系是_,理由是3_AG;(2)AC 的长AFAE=2,EC=4、如图:AM:MB=AN:NC=1:3,则 MN:BC=_5、如图:在ABC中,C 90,四边形 EDFC为内接正方形,AC=5,BC=3,求:AE:DF的比值。6 6、在ABC中,D、E分别在 AB、AC 上,且 DE/BC,如果10,求 AE及 EC 的长。7如图,DEBC,(1)如果 AD=2,DB=3,求 DE:BC 的值;(2)如果 AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求 AE 和BC 的长8、如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网
11、,而且落在离网 5 米的位置上,求球拍击球的高度 h(设网球是直线运动)AD2,且 ACDB3第第 3 3 讲讲 相似多边形相似多边形【学习目标】【学习目标】1知道相似多边形的主要特征,即:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等。2会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似,并会运用其性质进行相关的计算。【学习重点】【学习重点】相似多边形的主要特征与识别。【学习难点】【学习难点】运用相似多边形的特征进行相关的计算。【学习过程】【学习过程】 探究研讨探究研讨 活动 1观察,图 27.1-4(1)中的A1B1C1是由正ABC 放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系?对应边又有什么关
12、系呢?知识点四:相似多边形知识点四:相似多边形1 1、相似形定义:具有的图形称为相似形2 2、相似多边形:对应角,的多边形叫相似多边形3 3、相似多边形的性质:1 相似多边形的对应角相等,对应边的比相等相似多边形的对应角相等,对应边的比相等反过来,如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似。3【结论】:(1)相似多边形的特征:相似多边形的对应角_,对应边的比_反之,如果两个多边形的对应角 _,对应边的比 _,那么这两个多边形_几何语言:在ABC 和A1B1C1中若A A1;B B1;C C1ABBCACA1B1B1C1A1C1则ABC 和A1B1C1相似(2)相似比:相
13、似多边形_的比称为相似比问题:相似比为 1 时,相似的两个图形有什么关系?结论:相似比为 1 时,相似的两个图形_,因此_形是一种特殊的相似形 例题解析例题解析 例 1、(选择题)下列说法正确的是()A所有的平行四边形都相似 B所有的矩形都相似C所有的菱形都相似 D所有的正方形都相似分析:A 中平行四边形各角不一定对应相等,因此所有的平行四边形不一定都相似,故 A错;B 中矩形虽然各角都相等,但是各对应边的比不一定相等,因此所有的矩形不一定都相似,故 B 错;C 中菱形虽然各对应边的比相等,但是各角不一定对应相等,因此所有的菱形不一定都相似,故 C 也错;D 中任两个正方形的各角都相等,且各边
14、都对应成比例,因此所有的正方形都相似,故 D 说法正确,因此此题应选 D例 2、如图:已知,四边形 ABCD与四边形ABCD相似,求BC,CD长和D大小解:巩固练习巩固练习 1 11在比例尺为 110 000 000 的地图上,量得甲、乙两地的距离是 30 cm,求两地的实际距离2如图所示的两个直角三角形相似吗?为什么?3如图所示的两个五边形相似,求未知边a、b、c、d的长度54 如图,四边形ABCD和EFGH相似,求角和的大小和EH的长度x27.1-6练习练习 2 2:1、下列说法正确的是 ( )A 任意两个菱形一定相似一定相似C 有一个角是30的两个等腰三角形相似定相似2、已知AOB 26
15、,在放大镜里看到的AOB的度数是_3、在ABC中,BC15cm,AC45cm,AB54,另一个与它相似的三角形最短边是 5,则最长一边是4、用一个放大镜看一个四边形 ABCD,若该四边形的边长放大 10倍后,下列说法正确的是( )AA是原来的 10 倍B 周长是原来的 10 倍D 任意两个等腰直角三角形一B 任意两个矩形C 每个内角都发生了变化D以上说法都不对5.四边形 ABCD与四边形ABCD相似图形,且 A与A、B与B、C 与C是对应点,已知 AB10、BC8、CD、AD、AB30,求四边形ABCD的其余三边的边长及周长。6.正五边形 ABCDE正五边形ABCDE,且AB 2,若CD 6,
16、则 CDAB2 2 相似多边形对应边,周长的比等于相似比,相似多边形面积的比等于相似比相似多边形对应边,周长的比等于相似比,相似多边形面积的比等于相似比的平方的平方例例 5 5:如图:在等腰梯形 ABCD中,上底为 5,下底为 13,腰长为 5,等腰梯形3ABCD与它相似,相似比为,求等腰梯形ABCD的周长及面积。2解:练习练习 3 3:1、已知多边形 A与多边形 B相似,且多边形 A与多边形 B的周长比为 1:3,则SB:SA2、已知两个相似多边形的相似比为 5:7,若较小的一个多边形的周长为 35,则较大的一个多边形的周长为,若较大的一个多边形的面积是 4,则较小的一个多边形的面积是3、两
17、个相似多边形的最长边分别是 70和 28,它们的周长和为 280,则它们的周长分别为4、如果把一个 1221的矩形按相似比为周长为面积为5、两个相似多边形一组对应边的长分别是 3cm和 4cm,它们的面积相差28cm2,求这两个多边形的面积分别是多少?3进行变换,得到的新矩形的4知识点五:相似三角形知识点五:相似三角形1 1、相似三角形的定义:对应角相等,对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。2 2、相似三角形的判定方法:(1 1)判定方法一:定义判定(2 2)判定方法二:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边反向延长线)所构成的三角形与原三角形相似例题例题 6 6:如图:DE/BC,
18、交 AB于 D、交 AC 于 E,若 AD:DB2:,BC,求 DE的长解:练习题练习题 4 4:第 1 题图1、如图:DE/BC,则图中_,理由是_2、如图:AB/EF/DC,则图中相似三角形有_对,它们分别是_3、如图:在ABC中,DE/BC,ADEC、BD1cm,AE4cm、BC5cm,求DE的长第 2 题图4、如图:AB/CD,OA:OD1:2,AB4cm,则 CD 的长为A 2cmB 6cmC 8cmD 10cm5、如图:AB/CD,则图中有_对相似三角形)(第第 4 4 课时课时相似三角形的判定相似三角形的判定:【学习目标】【学习目标】1初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似
19、”“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”两角对应相等,两个三角形相似的判定方法的判定方法,2能够运用三角形相似的条件解决简单的问题【学习重点】【学习重点】掌握 3 种判定方法,会运用 3 种判定方法判定两个三角形相似。【学习难点】【学习难点】(1)三角形相似的条件归纳、证明;(2)会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似【学习过程】【学习过程】 知识回顾知识回顾 (1) 两个三角形全等有哪些判定方法?(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法?(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系?探究研讨探究研讨 1 1活动 11、如图,如果要判定ABC 与ABC相似,是不是
20、一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系?2、可否用类似于判定三角形全等的 SSS 方法,能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等,来判定两个三角形相似呢?活动 2任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗?与同学交流一下,看看是否有同样的结论。(1)问题:怎样证明这个命题是正确的呢?(2)探求证明方法(已知、求证、证明)如图 27.2-4,在ABC 和AABBCCABC中, A BB CC A求证ABCABC证明:【归纳】三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法 1 1如果两个三
21、角形的三组对应边的比相等,如果两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似判定方法判定方法 2 2:如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对应成比:如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对应成比例,并且这两条边的夹角相等,那么这两个三角形相似,简单说成:两边对应例,并且这两条边的夹角相等,那么这两个三角形相似,简单说成:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。成比例且夹角相等,两三角形相似。例 1 已知:如图,在四边形 ABCD 中,B=ACD,AB=6,BC=4,AC=5,1CD=7,求 AD 的长2解:例题例题 2 2:如图:BC平分ABD,A
22、B4、BD10、BC2 10,求证:ABCCBD证明:三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法3 3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对:如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等,那么这两个三角形相似应相等,那么这两个三角形相似简单说成:简单说成:“两角对应相等,两个三角形相“两角对应相等,两个三角形相似”似”AACCBB若A A,B B则ABC ABC直角三角形相似判定方法:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形相似判定方法:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条三角形的斜边和一条直角边对应成比例,这两个直角三角形相似。简单说成:简
23、单说成:斜边与一条直角边对应成比例,则两直角三角形相似。CCABABACAB则ABC ABCACAB例3.已知:如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DFAE于F,若AB=4,AD=5,AE=6,求DF的长若: 巩固练习巩固练习 1、填一填(1)如图3,点D在AB上,当时,ACDABC。(2)如图4,已知点E在AC上,若点D在AB上,则满足条件,就可以使ADE与原ABC相似。A AD DE EA AB B图图 3 3C CB B图图 4 4C C2.。判断ABC与ABC是否相似并说明理由。A100A 100AB5cmAC=15cmAB 4cmAC 12cm3下列说法是否正确,并说明理由(1)有
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