“立体几何”备考关键问题指导.doc
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1、1福建省福建省 2019 届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列七届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列七立体几何立体几何(福建省高三毕业班复习教学指导组(福建省高三毕业班复习教学指导组 郑新发执笔整理)郑新发执笔整理)立体几何作为支撑高中数学知识体系的重要知识模块之一,高中数学教材安排了两部分内容 :数学必修 2、选修 21包括“空间几何体” 、 “点、直线 、平面之间的位 置关系” 、和“空间向量与立体几何” 。高考立体几何试题具有较强的综合性与交汇性是每年髙考的必考内容,考试突出综合性,重视基础知识、基本技能和综合应用和创新意识的考查,突出四基、四能和学科核心素养的考查,突出空间想象
2、、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等都进行考查高考对立体几何的考查难度、题量都相对稳定,题目难度属于中档,也是同学们应尽力得满份的题目,其题型、难度与分值比例均长期保持相对稳定。一般理数占 22 分、文数占 2227 分,其题型与题量一般是 1 个解答题,理数 2 个小题,文数 2 3 个小题选择题一道位于 5-8 是中等难度的题目,别一道是 11-12 题或填空的最后一题的位置,属于较难的题目,解答题稳定在第 18 题的位置(除 14 年) 立体几何高考的选择或填空题有三个常考热点:一是空间几何体的三视图;二是空间几何体的表面积、体积;三是空间中点、直线、平面之间的位置关系的判定考
3、点一般围绕:空间中点、直线、平面的位置关系的判定和性质;距离和角的计算;三视图;表面积和体积;立体几何与其他问题的综合考查。能力范畴有:能根据条件画出正确的图形;能根据图形想象出直观形象;能正确地分析图形中的基本元素和相互关系;能对图形进行分解组合和变形;会选择适当的方法对图形的性质进行研究。立体几何高考的解答题常以棱柱或棱锥为载体,解答题一般采用分步设问的方式,常见的两个考查热点:一是定性分析,二是定量计算 其中定性分析,不论文科还是理科主要是以平行、垂直的证明为主;而定量分析,文科试题主要考查表面积、体积的计算;理科试题主要考查线面角、二面角的计算意在考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算的
4、核心素养.下面主要以全国高考数学卷与各省市质检卷为例,对学生解答立体几何试题存在的问题进行剖析,并提出相应的教学对策,供高三复习参考.近五年立体几何部分考查情况表:表一:全国卷(理科)立体几何考查情况年份题序考查内容 12三视图(求最长的棱长)201419(1)证明线段相等;(2)求二面角的余弦值(以三棱柱为背景)6米堆(圆锥的四分之一)的体积(数学文化)11三视图(简单组合体,求球的半径)2015 18(1)证明面面垂直;(2)求异面直线所成角的余弦值6三视图(求八分之七的球的表面积)11以正方体为背景求异面直线所成角的正弦值2016 18(1)证明面面垂直;(2)求二面角的余弦值(以五面体
5、为背景) 7三视图(简单组合体) 16三棱锥的体积的最大值(平面图形翻折问题)2017 18(1)证明面面垂直;(2)求二面角的余弦值(以四棱锥为背景)27三视图(圆柱、最短路径长度) 12线面所成角,平面截正方体所得的截面面积的最大值2018 18(1)证明面面垂直;(2)求线面角的正弦值(平面翻折问题)表二:全国卷(文科)立体几何考查情况年份题序考查内容 8三视图(判断几何体)201419(1)证明两异面直线垂直;(2)求三棱柱的高6米堆(圆锥的四分之一)的体积(数学文化)11三视图(简单组合体,求球的半径)2015 18(1)证明面面垂直;(2)求三棱锥的侧面积7三视图(求八分之七的球的
6、表面积)11以正方体为背景求异面直线所成角的正弦值2016 18(1)证明中点问题;(2)作图并求四面体的体积6以正方体为背景判断线面不平行16球的表面积(球内接三棱锥)2017 18(1)证明面面垂直;(2)求四棱锥的侧面积 5圆柱的表面积 9三视图(圆柱、最短路径长度) 10以长方体为背景的线面所成角,长方体的体积201818(1)证明面面垂直;(2)求三棱锥的体积(平面翻折问题)一、存在的问题及原因分析:一、存在的问题及原因分析:问题一:识图、作图、用图能力弱问题一:识图、作图、用图能力弱作图、识图、用图能力是考生学好立体几何所应具备的重要能力之一,学生的识图、作图、用图能力弱主要集中在
7、“三视图的识别、还原” , “球问题的直观呈现和转化” , “作图问题” , “展折问题的图形分析”等【例题 1】 (2019届广东茂名高三第一次联考)如图 1 是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图为正方形,俯视图是腰长为的等腰直角三角形,则该几2何体的体积是( )A B C D 4 32 2 38 34 2 3【解析】由三视图可知,该几何体为如图 2 所示的四棱锥 ABCDE,底面BCDE 为矩形, 取 DE 的中点为,连接,则就是四棱锥 ABCDE 的高,FAFAF,高为,所以四棱锥 ABCDE 的体积为BE 22DE 2sin1h,故选 B112 222 1333VBEDEh 【评析】
8、本题易错点是忽视三视图中的实线与虚线的区别,导致所判断的空间几何图图3体出错,从而所求的几何体的体积不正确破解此类题的关键:一是会还原,首先看俯视图,俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽,根据俯视图画出几何体地面的直观图;再观察正视图和侧视图,正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽,找到几何体前、后、左、右的高度,要特别注意视图中的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见的轮廓线在三视图中为虚线二是用公式,即利用锥体的体积公式,求出空间几何体的体积【例题 2】 (2012 年课标全国卷理 11)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,-SABCO是边长为 1 的
9、正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为( )ABCSCO=2SCA B C D 2 63 62 32 2【解析】由球的定义可知,球心为的中点如图 3,设的中心OSCABC为,则有平面,且,所以三棱锥的高MOM ABC236133OM,所以此棱锥的体积为2 623hOM1 13 2 6213 2236 【评析】本题往往会因为对直径认识不足(球心为的中点) ,纠结如何OSC做图(球内接三棱锥) ,而不懂对问题进行转化() ,只有正确理解才能把问题-SABC-2S ABCO ABCVV转化为三棱锥(如图 5) ,再结合球的定义,即可解决-O ABC【例题 3】 (2016 全国卷理 11)平面过
10、正方体的顶点,平面,1111-ABCD ABC DA/11CB D平面,平面,则所成角的正弦值为( )ABCDm11ABB Anmn,A B C D 3 22 23 31 3【解析】方法一、因为平面,且平面过顶点,/11CB DA故问题相当于把平面“外移” 如图 4,在正方体11CB D的左侧补上一个全等的正方体,则平面“外移”1111-ABCD ABC D11CB D到平面(即平面) ,则平面,平面22AB D2ABCDAD,又为等边三角形,则所成角为,其正弦值为112ABB AAB22AB Dmn,603 2方法二、如图 5,设平面11CB D平面ABCD=m,平面11CB D平面11AB
11、B A=n,因为/ /平面11CB D,所以/ /,/ / mm nn,则,m n所成的角等于, m n所成的角.延长AD,过1D作11/ /D EBC,连接11,CE B D,则CE为图 3图 44m,同理11B F为n,而111/ /,/ /BDCE B FAB,则, m n所成的角即为1,AB BD所成的角,即为60,故,m n所成角的正弦值为3 2,选 A. 【评析】本题往往会因作图不过关而对过顶点作平面束手无策,只有A正确理解才能通过“补上一个全等的正方体”快速实现把平面“外移” 11CB D(此时) 可见,观察和做出平行线是本题作图的关键当然,如何22121121/,/,/D BC
12、B ADD B ABCD作平行线,这是作图的基本功,教师要讲明原理(常利用中位线或平行四边形的性质作平行线) ,同时,要引导学生观察几何体(尤其是长方体中的一些常见的平行关系(如本题)的和垂直关系) ,这样,22121121/,/,/D BCB ADD B ABCD学生的作图就会更有方向感!【例题 4】如图 6,四边形中,ABCD,将四边形1ABADCD2BD BDCD沿对角线折成四面体(如图 7),使平面ABCDBDA BCD,则下列结论正确的是( )A BDBCD 平面A B A CBD90BA CC 与平面所成的角为 D 四面体的体积为CAA BD30A BCD1 3【解析】 , 1A
13、BA D2BD BADA又面 面,且 ,面 面,A BDBCDCDBDA BDBCDBD面,面,CD A BDCDBADACDDBA A CD,即BAA C90BA C【评析】本题往往会因对折叠问题前后的“变量与不变量”分析不够,而忽视重要的垂直关系“,” , 只有正确理解才能顺利由平面得出BADACDBDA BDBCD 平面面,再结合,得到面,从而解决问题CD A BDCDA BBA A CD无论是图形的翻折或是展开,都是平面图形与空间图形的相互转化,从抽象到直观,直观到抽象的过程,其中翻折 平面图形立体化,展开 立体图形平面化解决这类问题关键在于要分清展折前后的“变量与不变量” ,建议在展
14、折前的图形中进行标注重要的点(尤其前后坐标的不同) ,或是重要的量(如垂直关系,如图 8) ,这样比较不会遗忘或忽略问题二:问题二: 推理的逻辑欠清晰推理的逻辑欠清晰以全国卷理数为例,其解答题一般稳定居于解答题的第二或第三的位置,常设置两问,一问主要涉及定性证明(如垂直关系、平行关系) ,二问立足定量求解在定性分析时由于定理条件掌握不全,推理的逻辑欠清晰,常造成“会而不全” ,导致失分,图 5图 6 图 7图 85如学生们在使用直线与平面平行的判定定理时,常常遗忘“已知直线一定要在该平面外”这个关键的条件;在使用直线与平面垂直的判定定理时,常常遗忘“线不在多,重在相交”这个关键的条件符号书写也
15、不规范,如直线与平面是包含与不包含的关系,却常误写成是属于与不属于的关系等.【例题 5】 在如图 9 所示的多面体中,四边形是正方形,ABCDEFABCD平面,是的中点ED ABCD/EDFCFCED21MAF()求证:平面;/EMABCD()求证:平面平面AEF FAC【解析】 ()如图 10,连接,则为的中点,连接则,AC BDACBDOOBDOM,又,且,1/ /,2MOFCMOFC且/EDFCFCED21所以,/ /,MOEDMOED且所以是平行四边形,所以EDOM/ /,EMDO又平面,平面,所以平面EMABCDDOABCD/EMABCD()因为,底面,/EDFCED ABCD所以底
16、面,平面,所以,CF ABCDDOABCDCFDO由()知所以, / /,EMDOCFEM因为,且所以,ACDO/ /,EMDOACEM又,所以平面CFCACEM FAC又平面,所以平面平面EM AEFAEF FAC【评析】 ()要证线面平行,一般可考虑线线平行或面面平行,本题可优先考虑线线平行本题虽思路较为直接,但常常会“想当然” ,如易借助几何直观可知忽视“是平行四边形”/ /,EMDOEDOM的证明过程;此外更常忽略条件“平面,平面”的完整表达而造成不必要的EMABCDDOABCD失分!()要证面面垂直,关键在于找出一组“线面垂直” ,如图 11,能较为直观看到“平面EM ”就是目标证明
17、过程中常因几何直观强,忽视平行关系与垂直关系之间的转化,直接“想当然”FAC“易得,”造成失分,同时条件“平面”也是学生证明面面垂直最CFEMACEMEM AEF容易失分的地方问题三:概念意识不强问题三:概念意识不强数学概念不仅仅是明晰研究对象,也是数学思考问题、解决问题的出发点.考生由于概念意识不强,文字语言与图形语言无法转换,即看到概念的文本描述,头脑中无法形成与之相应的空间几何体易把“异面直线所成的角”与“向量的夹角”混淆,易图 9图 9图 106把“线面所成的角”等同“直线与平面法向量的夹角” ,易分辨不清“二面角的平面角”与“两个法向量的夹角”之间差异,同时对“线面所成的角”或“二面
18、角的平面角”易忽视其定义的本质(即“找、证、算” ) ,而陷入盲目的计算,使得问题复杂化【例题 6】如图 11,在以为顶点的五面体中,面为正方形,, ,A B C D E FABEF2AFFD,且二面角与二面角都是90AFD-D AF E-C BE F60(I)证明:平面平面;ABEFEFDC(II)求二面角的余弦值-E BC A【解析】 (I)由已知可得,AFFDAFFEFDFEF所以平面,又平面,故平面平AF EFDCAF ABEFABEF面EFDC(II)过作,垂足为,由(I)知平面DDGEFGDG ABEF以为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长度,建立如图 12 所示的空间直角坐标
19、系GGF GF 由(I)知为二面角的平面角,GxyzDFE-D AF E故,则,可得1,4,0A,=60DFE2,3DFDG3,4,0 ,3,0,0 ,D 0,0, 3由已知,/ FA ,所以/A平面FDC又平面CDA平面FDCDC,故/CDA,CD/ F由/ F A,可得 平面FDC,所以C F 为二面角CF的平面角,C F60 从而可得C2,0, 3所以C1,0, 3 ,0,4,0 ,C3, 4, 3A ,4,0,0A 设是平面C 的法向量,则,即30 40xz y,所以可取( , , )x y zn0,0ECEB nn(3,0,3)n设是平面CDA的法向量,则,同理可取( , , )x
20、y zm0,0ACAB mm(0, 3,4)m则,故二面角CA的余弦值为2 19 192 19cos,|19 n mn mn m【评析】本题(II)的解决关键在于理清二面角与二面角的平面角(此时只有-D AF E-C BE F图 11图 127理清哪个角是平面角,才能寻求坐标之间的关系) ,考生往往会会“想当然” “直观”认为为二面DFE角的平面角,C F 为二面角CF的平面角,而忽视对平面角定义的阐述!事实上,-D AF E在平面角的定义中,必需紧扣“相交棱” “两垂直于棱的相交直线” ,这往往需要“找、证” “ 相交棱垂直平面” 问题四:建系的合理性欠思考问题四:建系的合理性欠思考理数立体
21、几何解答题的二问常立足定量求解(如三种角度的度量,线面角与二面角是高频考点,异面直线所成角偶尔会涉及到) ,往往可考虑几何法和向量法进行求解,但利用向量法进行求解的更易入手,相应的考生比例也更大利用向量法解决离不开建一个合适的坐标系!考生常因不懂建系或建系不合理导致求解困难,也常出现“没有证明三线两两垂直”就“想当然”建系等错误【例题 7】 (2015 年新课标卷理 18)如图 13,四边形 ABCD 为菱形,ABC=120,E,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE平面 ABCD,DF平面 ABCD,BE=2DF,AEEC. ()证明:平面 AEC平面 AFC.()求直线 AE 与直线 CF
22、 所成角的余弦值.3 3【解析】 ()连结在菱形中,,BDBDACGEG FG EF设,连接ABCD不妨设,由,可得,可得.=1GBo=120ABCo=120ABC3AGGC又因为 在BEABCDABBCAEEC平面,可知,,AEEC= 3,EGEGAC所以,22=.2Rt EBGBEDF中,可得,故6Rt=.2FDGFG中,可得在直角梯形中,由 BDFE23 2=22.22BDBEDFEF,可得,EGFG,ACFG=G,EG平面 AFC,EG面 AEC,平面 AFC平面 AEC. ADCE()如图 14,以 G 为坐标原点,分别以的方向为轴,y 轴正方向,为单位长度,建立,GB GC x|G
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