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1、 http:/ 快乐学习,尽在中小学教育网第 1 页(共 9 页) 正保远程教育 地址:北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线:01082310666高二代数高二代数“线性回归线性回归”教学设计教学设计教学目标教学目标【知识和技能知识和技能】1能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系。2会画散点图,并能利用散点图判断是否存在回归直线。3知道如何系统地处理数据。掌握回归分析的一般步骤。4能运用 Excel 表格处理数据,求解线性回归直线方程。5了解最小二乘法的思想,会根据给出的公式求线性回归方程。6培养收集数据、处理数据的能力;对具有相关关系的一组变量中应变量发展趋势
2、的预 测估计能力。【过程和方法过程和方法】1使学生在经历较为系统的数据处理的全过程中学会如何处理数据。2提高学生运用所学知识与方法、运用现代化信息技术解决实际问题的能力。【情感、态度和价值观情感、态度和价值观】1认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值,感受生活离不开数学。2体验信息技术在数学探究中的优越性。3增强自主探究数学知识的态度。4发展学生的数学应用意识和创新意识。5培养学生的严谨、合作、创新的学习态度和科学精神。【教学重点、难点教学重点、难点】线性回归分析的基本思想;运用 Excel 表格处理数据,求解回归直线方程。【教学课型教学课型】多媒体课件,网络课型教学内容教学内容学生已经学习
3、了初步的统计知识,如抽样方法,对样本进行特征量(均值、方差)分析; 具备一定的比较、抽象、概括能力;具备基本计算机操作技能;对现实生活中的线性相关 关系有一定的感性认识。线性回归问题涉及的知识有:描点画散点图,一次函数、二次函 数的知识,最小二乘法的思想及其算法问题,运用 Excel 表格处理数据等。教学资源教学资源http:/ 快乐学习,尽在中小学教育网第 2 页(共 9 页) 正保远程教育 地址:北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线:01082310666教师围绕本课知识设计一个问题(如小卖部热珍珠奶茶的销售问题) ,这个问题必须应用 所预期的学科知识才能解决,又
4、与学生的先前经验密切相关。教师准备四个教学课件:学生阅读(幻灯片) 、教师讲解(幻灯片) 、课堂练习(Excel) 、 线性回归直线的探究(几何画板) 。每位同学带好课本和教师预期分发的一份学案。学案主要包括设计的引入问题,教学过 程中所遇到的主要问题,推导回归直线方程的公式的计算表格,运用 Excel 表格处理数据的 操作步骤,课堂练习以及作业,教学评价等。互联网上的其它相关教学资源。教学模式教学模式运用信息技术建立以学生为主体的自主性学习模式,包括六个环节:(1)生活现象提炼, 形成知识概念;(2)提出研究问题,制定探究计划;(3)自主探究学习,总结研究规律; (4)交流探究体验,应用练习
5、反馈;(5)反思学习过程、进行教学评价;(6)实习调查 分析,生活应用实践。教学支架教学支架让学生在自主探究学习过程中尝试回答以下问题:1根据你现有的认识,两个变量之间存在哪些关系,有何异同?2问题中的两个变量有没有关系?如果有,是什么关系?为什么?3这样的关系如何直观体现?(散点图)4两个变量可以近似成什么关系?(这是一个探索过程,学生可能会提出包括直线在内 的多种关系,这里和必修 1 函数教学有密切联系。5如果考虑最简单的直线拟合,怎样确定一条直线最能反映这组数据的规律?(这是一 个开放度很大的讨论问题,学生可以提出各种方法,之后介绍最小二乘法的思想和公式。 )6公式的计算是比较繁琐的,能
6、否利用信息技术来帮助我们?(学生根据操作步骤自学 用 EXCEL 如何由一组数据画出散点图,求回归直线方程。 )7我们得到这个模型有什么用?(进行预测,如热饮问题。 )组织形式组织形式教师呈现问题个人阅读学习,形成知识概念教师引导学生分析,制定探究计划 分组进行探究,总结研究成果全班交流探究体验心得反馈练习反思总结, 教学评价实习作业。教学环境教学环境硬件:多媒体网络教室,每人一台联网计算机,教师的计算机可控制学生的计算机。软件:每台计算机上必须安装:http:/ 快乐学习,尽在中小学教育网第 3 页(共 9 页) 正保远程教育 地址:北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服
7、热线:01082310666几何画板、Powerpoint、Excel 软件;四个教学课件:学生阅读(幻灯片) 、教师讲解(幻灯片) 、课堂练习(Excel) 、线性回 归直线的探究(几何画板) 。教学评价教学评价【知识和技能知识和技能】1能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系。5 分2会画散点图,并能利用散点图判断是否存在回归直线。10 分3能运用 Excel 表格处理数据,求解线性回归直线方程。35 分(练习 1 10 分;练习 2 10 分;练习 3 15 分)4通过学习,掌握并能熟练运用现代化信息技术解决实际问题。10 分【过程和方法过程和方法】1能认真学习、积极思考、全程参与较
8、系统的数据处理的全过程。10 分2知道如何处理系统地处理数据。掌握回归分析的一般步骤。10 分【情感、态度和价值观情感、态度和价值观】1在学习中感受到激情、愉悦,感悟到数学与现代化信息技术的作用。10 分2在探究学习中能提出自己的看法、见解,能体验到某种成就感。10 分教学过程教学过程一、呈现问题一、呈现问题(一)呈现探究问题教师联机呈现实际生活中的一个问题:下表是一小卖部某 6 天卖出热珍珠奶茶的杯数与当天气温的对比表。气温()X261813104-1杯数y202434385064现在的问题是:如果某天的气温是-5,这天小卖部大概要准备多少杯热珍珠奶茶比较 好一些?这个问题足以引发学生的好奇
9、心和兴趣,要解决这个问题,要先研究这组数据的规律。分析:卖出热珍珠奶茶的杯数与当天气温之间虽有一定的联系,但两者之间没有必然的 确定性关系,从表中就可以看出这一点。我们把这种不确定性关系称为相关关系。(二)自主阅读学习,形成知识概念请大家阅读课本或观看幻灯片,并思考下面几个问题:http:/ 快乐学习,尽在中小学教育网第 4 页(共 9 页) 正保远程教育 地址:北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线:010823106661什么是相关关系?你能举出几个属于相关关系的例子吗?2什么是散点图?画散点图有什么作用?3若两个变量具有相关关系,则最能代表这两个变量之间关系的的直
10、线具有什么特征, 又该如何刻画它?二、制定计划二、制定计划(一)利用散点图形象地表示数据的分布情况,直观发现初步规律我们用 x 表示气温() ,y 表示当天卖出热珍珠奶茶的杯数,将表中的各对数据 (x,y)在平面直角坐标系中描点,得到下图。可以发现,图中的各个点,大致分布在一条直线的附近,如图所示。我们把具有这种图形特征的两个变量之间的关系称为线性相关关系。(二)深入分析问题上图中的直线,可以画出不止一条,那么,其中哪一条直线最能代表变量 x 与 y 之间的 关系呢?在整体上与数据点最接近的一条直线,是指所有的数据点分布在这条直线附近,且相对 更集中,离散程度更小。我们可以借助什么量来刻画某条
11、直线在整体上与图中点最接近呢?(三)制定探究计划方案一、实验探究直观寻求方案二、理论推导代数演绎方案三、现代技术EXCEL 表格三、自主探究三、自主探究http:/ 快乐学习,尽在中小学教育网第 5 页(共 9 页) 正保远程教育 地址:北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线:01082310666根据探究计划,选择不同的方案,学生分组进行自主探究。方案一、实验探究方案一、实验探究直观寻求直观寻求借助课件,进行探究几何画板课件几何画板课件线性回归直线的探究线性回归直线的探究 。方案二、理论推导方案二、理论推导代数演绎代数演绎(一)理论分析一般地,设 x 与 y 是具有相
12、关关系的两个变量,且相应于 n 组观测值的 n 个点(,iPix) (,n)大致分布在一条直线的附近,我们来探求在整体上与这 n 个iy1i23点最接近的一条直线 :(其中 a,b 是待确定的参数) 。labxy当变量取一组数值(,n)时,相应地有xix1i23(,n) 。于是得到各个偏差abxyii1i23(,n) 。)(abxyyyiiii1i23能否用上面各个偏差的和的最小值来代表 n 个点与相应直线在整体上的接近程度?因为上面各个偏差的符号可能有正有负,如果将它们相加会造成相互抵消,因此它们的 和不能代表 n 个点与相应直线在整体上的接近程度。http:/ 快乐学习,尽在中小学教育网第
13、 6 页(共 9 页) 正保远程教育 地址:北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线:01082310666为了解决这一问题,我们采用 n 个偏差的平方和,即22 222 11)()()(abxyabxyabxyQnn来表示 n 个点与相应直线在整体上的接近程度。当 Q 取得最小值时对应的直线最能体现 出 n 个点最接近这条直线。怎样求出这条直线的方程呢?运用最小二乘法的思想,推导回归直线方程:上式展开后,是一个关于 a,b 的二次多项式,且 a,b 的二次项系数均为正值。结合二 次函数求最值的方法配方法(先将字母 a 看成未知数进行一次配平方,并变形整理后, 再将字母
14、b 看成未知数进行一次配平方) ,可以求出使 Q 取得最小值的 a,b 的值(具体推 导过程请参看:人民教育出版社数学教材(试验修订本)第三册(选修)第 42 页) 。解得我们将满足上述条件的方程 ,xbyaxnxyxnyxxxyyxx bniiniiiniiniii2121121)()(叫做回归直线方程,相应的直线叫做回归直线。而对两个变量所进行的上述统abxy 计分析叫做线性回归分析。(二)数据处理上述公式中要计算的量较多,为简化计算,尽可能避免出错,可利用 EXCEL 的制表功能 制成下表:i123456合计ix261813104-1iy2024343850642 ix2 iyiiyx
15、具体计算时给学生提供两种计算工具,即带简单统计功能(求和、求均值方差等)的计 算器和 EXCEL 工具软件。计算完毕,利用网络教室的联机功能两种算法中各派代表展示其 计算过程和结果,并比较优劣。方案三、现代技术方案三、现代技术EXCEL 表格表格利用 Excel 表格来处理数据,求解回归直线方程。http:/ 快乐学习,尽在中小学教育网第 7 页(共 9 页) 正保远程教育 地址:北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线:01082310666利用 Excel 表格求解回归直线方程的步骤及操作说明:(1)直接在工作表中输入数据。(2)选中数据(单击数据区域的第一个单元格,
16、再拖动鼠标到最后一个单元格)。(3)单击“图表向导”(或在“插入”菜单上单击“图表”) 。(4)单击“图表类型”,单击“完成”按钮,得到数据的散 点图。(5)单击选中散点图中的任一点,在“图表”菜单上单击“添加趋势线”(或右击,在弹 出的菜单中单击“添加趋势线”)。(6)单击选中 “类型”选项卡中 “线性”选项,单击“确定”按钮,得到数据的回归 直线。(7)单击选中数据的回归直线,在“格式”菜单上单击“趋势线格式”(或右击,在弹 出的菜单中单击“趋势线格式”)。(8)单击选中“选项”命令,单击选中“显示公式”复选框,单击“确定”按钮,得到 数据的回归直线方程。四、解决问题四、解决问题根据求出的
17、回归直线方程,可以求出相应于 x 的估计值。例如当气温 x 是-5时,卖y 出热珍珠奶茶的杯数 y 的估计值是杯。于是这天小卖部66557.57)5(6477. 1y大概要准备 66 杯热珍珠奶茶比较好一些.五、总结交流五、总结交流(一)总结知识规律http:/ 快乐学习,尽在中小学教育网第 8 页(共 9 页) 正保远程教育 地址:北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线:01082310666对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。运用回归分析的方法来分析、处理数据的一般步骤是:收集数据,并制成表格;画出数据的散点图;利用散点图直观认识变量间的相关关系
18、;运用科学计算器、Excel 表格等现代信息技术手段求解回归方程;通过研究回归方程,提取有用信息,作出比较可靠的趋势预测,服务于现实生活。(二)交流探究体验认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值,感受生活离不开数学。感受到数学思维 的重要性,增强了对数学的情感态度。在探究过程中,体验到信息技术的优越性,在合作 中获得成功的愉悦。六、反馈练习六、反馈练习练习 1:一个工厂在某年里每月产品的总成本 y(万元)与该月产量 x(万件)之间有如 下一组数据:月份1211112月产量 x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07总成本 y2.252.
19、372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50由以上数据作出散点图,并由图判断总成本与月产量之间是否近似成线性关系,若近似 成线性关系请求出其回归直线方程。答案提示:近似成线性关系,其回归直线方程为1.216x+0.9728。y 练习 2:在 7 块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验中 得到的一组数据(单位:kg) 。见下表:施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455由以上数据作出散点图,并由图判断施化肥量和水稻产量之间是否近似成线性关系,若 近似成线性关系请求出其回归直线方程。并请
20、预测施化肥量 28 kg 时水稻产量约为多少 kg。答案提示:(1)散点图略;(2)近似成线性关系,其回归直线方程为;(3)25775. 4xy(kg)时,的估计值是(kg) 。28xy39025728754 . y练习 3(思考题):下表是某小卖部连续天部分商品的销售情况与当天气温的对比表。日期4 月 234 月 244 月 254 月 264 月 274 月 28http:/ 快乐学习,尽在中小学教育网第 9 页(共 9 页) 正保远程教育 地址:北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线:01082310666日日日日日日气温()292621232528热奶茶(杯)1
21、22430282314矿泉水(瓶)2315121628冰淇淋(个)4234582640牛奶(袋)504846504950面包152020201817(1)试判断表中哪些商品的销售与气温之间近似成线性相关关系;若近似成线性相关, 请求出线性回归方程。 (2)若已知 4 月 29 日的气温为 27,假设你是店老板,你该如何预 备商品?七、反思过程七、反思过程教学中,教师可以组织学生有意识的明确反思探究过程,尤其是探索设计思路的重要环 节,例如:用 n 个 y 的偏差的平方和来表示 n 个点与相应直线在整体上的接近程度;用 EXCEL 的计算功能解决繁杂计算等。教师还可以建议学生探索 EXCEL 的非线性模拟功能。这一节课中,信息技术发挥出了不可替代的作用,如果没有信息技术,学生将把大量的时间花在求等量的繁杂计算上,在这一点上信息技术确实是一根22, ,iix yxyx y 救命稻草,这也是信息技术自身产生的动力之一。进行教学评价。八、实习作业八、实习作业请同学们,利用课余时间,到现实生活中去调查、研究,收集与生活、生产息息相关的 数据,并运用所学的知识、方法去分析、处理,从中提取有用信息,并尝试用你所得到的 信息、结论、预测指导于生活、生产。请把你收集的数据,以及你是如何处理数据的,得出什么结论,以小论文的形式总结出 来,供下次交流。可以也提倡分小组进行活动。
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