矢量的基本代数运算.doc
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1、7Ch.2 曲线论曲线论1 曲线与矢函数曲线与矢函数一般地说,若一个矢量决定于一个(纯量)变数 ,我们就把它叫做变量 的矢函数矢函数,rtt写成。)(tr在标架中,曲线的(分量式)参数矢方程为:,;321eeeO332211)()()()(eeerrtxtxtxt2 矢函数的导矢与曲线的切线矢函数的导矢与曲线的切线某矢函数在某点连续的充要条件是其各分量在该点都连续。 若矢函数332211)()()()(eeertxtxtxt在t0连续,则其导矢为30320210100)()()()()(eeerrtxtxtx ttdtdt导矢函数332211)()()()(eeertxtxtxt有时也简称为导
2、矢导矢。 设21)(tttt,:rr为任意空间曲线。若矢函数在闭节里每一个t值连续,则曲线成为连续曲线连续曲线。,21tt导矢的几何意义:保证曲线在t0值对应点的切线存在而且代表这条0)(0 tr)(0tr切线的方向。就叫做在该点的一个切(线)矢(量) 。)(0tr若在闭节里,而且连续,则的切线随着切点的移动而连续变动位置,,21tt0)( tr这样的曲线叫做光滑曲线光滑曲线。 矢函数的微分,dttd)(rr)(tdtdrr这个定义在形式上和纯量函数一样。若,是含纯量变数t的矢函数, 为t的纯量函数,则1r2r3rrrr)(dtd82121)(rrrrdtd212121)(rrrrrrdtd2
3、12121)(rrrrrrdtd),(),(),(),(321321321321rrrrrrrrrrrrdtd有了导矢的概念就可以引进高阶导矢、多元矢函数的偏导矢、高阶偏导矢和全微分等 概念,也有泰勒公式,不定积分和定积分概念。3 切线与法面切线与法面.弧长弧长除非另有声明,我们永远假定,对于曲线21)(tttt,:rr(即保证上没有奇点) ,而且遇到的矢函数的各阶导矢都是连续的。0)( tr)(tr在点的切线方程为)(00trr )()(00ttrr其中表示切线上“流动点”的径矢, 是参数。经过而垂直于切线的平面叫做在0r的法面法面,其方程为0r0)()(00ttrr其中表示法面上流动点的径
4、矢。经过而垂直于切线的每一条直线都叫做在的法线法线,0r0r它们都在法面内。经过切线的每一个平面都叫做在的切面切面。0r曲线的参数是可以改变的,对于任意曲线,一个自然的参数是它的弧长。在上取任意固定点P0作为度量弧长的始点(相当于原点)并规定一个弧长增加的正向,则对于曲线上任意点P,弧长有一个代数值。设P1为上另一个任意的固定点,则A 0PPsA1111lim PPPPPP也可以写成1lim 1sPPr或者9,即1)()(221limsPPr122 dsdr若在度量弧长始点P0,参数,则0tt dttstt 0)(r或即dtxxxstt 02 32 22 1这就是弧长s和t参数的关系。引进弧长
5、作为参数,是幺矢。用“.”表示对于弧长的微导,并用表示幺矢:dsdrdsdrdsdrr 于是是沿切线上的一个幺矢,称为的幺切矢幺切矢。4 曲率曲率曲线在它上面的一点P处的曲率曲率是表示它在P点邻近的弯曲程度的一个几何量。 设P0为上任意固定点,P为上在P0邻近的一点,它们依次对应于弧长参数值和,设在P0,P的切线之间的角是,我们规定曲线在P0的曲0sss0)0(率为r dsd sssssPPlimlimlim 000对于平面曲线2/3212 2 1222/32 22 121211)( dxdx dxxd xxxxxxr5 曲线论的基本公式曲线论的基本公式.挠率挠率由于切矢是幺矢,对于弧长s微导
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