组合计数理论种的初等数学问题doc.doc
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1、1组合数学和初等数学组合数学和初等数学 若干选题若干选题华南师范大学数学科学学院华南师范大学数学科学学院 吴吴 康康组合数学的核心内容组合计数理论中有许多问题与初等数学有关系,有些可以认为就是初等数学问题,有些以初等数学的结果为重要基础,继续发展到所谓高等组合学中的内容.本文谨介绍笔者了解到的若干组合计数理论中的有关初等数学的问题.一、一、 有序集组计数问题有序集组计数问题用表示有限集的元素的个数,且;用表示是的子集.AA0 KAKA定义 1 有序集组简称为集组或集组.12(,)()mA AAmA ,m定义 2 (1)若,则称为的子集组12,mA AAA ,12(,)mA AA ,Am或子集组
2、.(2)若,则称12,mA AAA ,12mAAAA为的有序覆盖.12(,)mA AA ,Am(3)若,则称为的以12,mA AAA ,1mAAK12(,)mA AA ,A为核的子集组.Km设为集合的全体子集组的集合,即Am,11,|,mmAAAAA 2称映射为定义在 A 上的集组函数,简称为集组函数或集函数,而:g Am简记为,称为集组的(集函数)值.1(,)mgAA1(,)mg AA1(,)mAA以下令,以记的子集的元素和,1,2, nANn( )BAB.约定( )b BBb( )0. 定义 3 12 种集函数分别命名为(1)长度:;m(2)宽度:;1mAA(3)广度:;1mAA(4)丰度
3、:;1mAA(5)浓度:;1mAA(6)密度:; 1mAA(7)跨度:; 1mAA(8)高度:;1max(,)mAA(9)深度:min;1(,)mAA(10)强度:max; 1(,)mAA(11)烈度:min 1(,)mAA(12)厚度:,为对称差.1mAAAAA我们来研究有限定条件的定义在上的集组函数的求和问题,也称为限nNm定条件的(有序)集组计数问题.例如和式11(,)mnm AANg AA (*)表示对所有满足限定条件的(有序)集组的集函1mnAAN1(,)mAA数的值求和.1(,)mg AA我们重点关注以下几个限定条件: ; 12,mnA AAN3(1) ; 1mnAAN(2); 1
4、2,mA AA(3). 12mAAA(4)我们首先探讨,在限定条件的基础上,以下一些集函数12,mnA AAN, 1 111(,)mAA mmg AAxx(5), 1 211(,)mAA mgAAx(6), 1 311(,)mAA mgAAx(7), 1 411(,)mAA mgAAx(8), 1()() 511(,)mAA mmgAAxx(9), 1()() 611(,)mAA mgAAx(10)分别产生的计数问题,其中.1,mxxxA定理 1 和式4; (11)1 11111 (1)(1)( , )(,)(1)(1)mAAnn mmmm ng AAxxxx. (12)1 2211 (1)(
5、1)( , )(,)(1)mAAmn mmm ngAAxxx定理 2 和式; (13)1 331 (1)(1)( , )(,)(21)1mAAmn mm ngAAxx. (14)1 441 (1)(1)( , )(,)(21)mAAmn mm ngAAxx定理 3 和式. 1()()2 5511 (1)(1)1( , )(,)(1)(1)(1)mm AAn mmiii im ngAAxxxxx(15). 1()()2 661 (1)(1)( , )(,)(1) (1)(1)mAAmmnm mm ngAAxmxx(16)定理 4 和式, (17)1 11111 (1)(3)(1)(3)( , )
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