求函数 的最小值的定理.doc
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1、1求函数求函数的最小值的定理的最小值的定理xbxaxfmncossin)(摘要:摘要:本文对函数,中参数的讨论,由特殊到一般xbxaxfmncossin)()2, 0(xnmba,推导出求其最小值的方法、定理,并对定理加以证明,举例说明应用。关键词:关键词:一类函数,最小值,方法,定理,应用三角函数问题在中学数学课程中占有重要地位,内容比例大,而且三角问题也是一种重要的数学方法。三角函数的最值问题是三角部分的重点,也是一个难点。本文就函数的最小值问题展开讨论、研究。经过反复研究、推导、归纳,终于得xbxaxfmncossin)(出解决问题的方法,形成理论、权且作为定理。函数中,当时,求其最小很
2、简单,不再讨论,但当xbxaxfmncossin)(2 , 1, nm时,求其最小值就相当困难,下面就三种情况提供解决问题的方法定理。3, 3nm一、一、函数,其中的最小值xxxfnncossin)()2, 0(, 3xnNn且定理定理 1 1:函数:函数,其中,其中当且仅当当且仅当时,时,xxxfnncossin)()2, 0(, 3xnNn且4x取得最小值取得最小值。12)21()4(n f证明:设存在正参数,使 2项nsin21sin21)2(sin nnnnnnxxnx)0sin(sin41)()sin21(2222xxnxnnnnn同理:xnnxnnn22cos41)2(cos)co
3、s(sin41)2(2cossin222xxnnxxnnnnnnnnnnxx)2(241cossin22当且仅当 即时取等号。)2, 0( cos21sin21 x xxnxnnxxcossin由 解得)2, 0(1cossincossin22 xxxxx4x此时取得最小,且)(xf12)21()22()22(4cos4sin)4(n nnnnf的最小值为)(xf12)21()4(n f例例 1.求函数,的最小值。xxxf1616cossin)()2, 0(x解:由定理 1 可知,的最小值为)(xf716161616 21)22()22(4cos4sin)4(f例例 2.求函数 的最小值。92
4、9 )1 ()(xxxf) 1 , 0(x解:令 则)2, 0(,sin2ttxtx2cos1原函数化为tttg99cossin)(由定理 1 知,的最小值为)(tg162)22()22(4cos4sin)4(9999g故原函数的最小值为)(xf162二、二、函数,其中的最xbxaxfnncossin)(,baRba且)2, 0(, 3xnNn且小值定理定理 2 2:函数:函数,其中,其中,xbxaxfnncossin)(,baRba且)2, 0(, 3xnNn且当且仅当当且仅当时,时,取得最小值。取得最小值。 1cossincossin2222xxxbxann )(xf证明:设存在正参数,使
5、,3 项2sin2sin2)2(sinnnnnnnnxaxanxa)0sin, 0(sin4)()sin2(222 22xaxanxannnnn同理:xbnnxbnnn222 cos4)2(cosxbnxannnxbxannnnnn222 222 cos4sin4)2()2(cossin)(2(cos4sin4)(222 222 nnnnnxbnxanxf当且仅当 即22 2244cos2sin2nnnnnnbnanxbxa 22 2)(cossinabba xxn 即时取等号。nnnn n ab ab ba xx21222 2)()()()cossin( ab xxn2)cossin(故当时
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