2022版高考数学一轮复习核心素养测评七十五离散型随机变量的均值与方差理北师大版.doc
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1、核心素养测评七十五 离散型随机变量的均值与方差1.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡
2、,请对袋中的4个球的面值给出一个适宜的设计,并说明理由.【解析】 (1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意,得P(X=60)=.即顾客所获的奖励额为60元的概率为,(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)=,即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=200.5+600.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,5
3、0,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,那么X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)=20+60+100=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2+(60-60)2+(100-60)2=.对于方案2,即方案(20,20,4
4、0,40),设顾客所获的奖励额为X2,那么X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)=40+60+80=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2+(60-60)2+(80-60)2=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.2. 方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,缺乏80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设
5、各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率.(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40X120发电机最多可运行台数123假设某台发电机运行,那么该台年利润为5 000万元;假设某台发电机未运行,那么该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值到达最大,应安装发电机多少台?【解析】 (1)依题意,p1=P(40X120)=0.1.由二项分布得,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=0.94+40.930.1=0.947 7.(2)记水电
6、站年总利润为Y(单位:万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.安装2台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,两台发电机运行,此时Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)= p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下:Y4 20010 000P0.20.8所以,E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840.安装3台发电机
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