九年级数学上册专题突破讲练几何基本图形:一线三等角试题新版青岛版.doc
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1、几何根本图形:一线三等角1. 根本模型注意:利用同角的余角相等证明ACDBEC2. 模型扩展1锐角相似依据:运用三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和寻找相等的角度,得出两个三角形相似并加以运用。2钝角注意:1相似三角形中对应边要找准。2熟练记忆“一线三等角的根本模型,根据三角形相似可得:;3此模型中共有三组相似三角形,一般考查BEDCDF。例题 历城区三模如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,且ABCDEF,将DEF与ABC重合在一起,ABC不动,DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。1假设BE=2,求CM的长;2探究:在DEF
2、运动过程中,重叠局部能否构成等腰三角形?假设能,求出BE的长;假设不能,请说明理由;3当线段AM最短时,求重叠局部的面积。解析:1由AB=AC,根据等边对等角,可得B=C,又由ABCDEF与三角形外角的性质,易证得CEM=BAE,那么可证得ABEECM,就有,即可以得出答案;2分别从AE=AM,AE=EM与AM=EM去分析,注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案;3首先设BE=x,由ABEECM,根据相似三角形的对应边成比例,易得,继而求得AM的值,利用二次函数的性质,即可求得线段AM的最小值,继而求得重叠局部的面积。答案:1AB=AC,B=C,ABCDEF,AEF=B,又AEF
3、+CEM=AEC=B+BAE,CEM=BAE,ABEECM;,;2能。当AE=EM时,那么ABEECM,CE=AB=5,BE=BCEC=65=1,当AM=EM时,那么MAE=MEA,MAE+BAE=MEA+CEM,即CAB=CEA,C=C,CAECBA,=,;当AE=AM时,此时E点与B点重合,M点与C点重合,即BE=0。BE=1或或0。3设BE=x,又ABEECM,即:,当x=3时,AM最短为,又当时,点E为BC的中点,AEBC,此时,EFAC,。点拨:此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题。关键是利用“一线三等角判断出两三角形相似。此题难度较大,注意
4、数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键。【方法归纳】1. 平面直角坐标系中,常作点到坐标轴的垂线,构造“一线三直角。把点的坐标和线段的长度建立联系,解决问题。2. 矩形中的翻折问题发现“一线三等角,常用方程的思想解决。3. 动态几何中图形的存在性问题应注意分类讨论思想的应用,不重不漏。例题 在平面直角坐标系中,一张矩形纸片按图所示放置。,将这张纸片折叠,使点落在边上,记作点,折痕与边含端点交于点,与边含端点或其延长线交于点。请答复:1如图,假设点的坐标为,直接写出点的坐标;2将矩形沿直线折叠,求点的坐标;解析:1利用折叠的性质,可得AE=OE=4,根据勾股定理就可以求出线段D
5、A的长;2如图,根据,那么E点的坐标为0,n,F点的坐标为2n,0,OE=n,OF=2n,由AEFOEF可知OE=AE=n,AF=OF=2n,得出DEAGAF所以,由FG=CB=6解得DA=3,从而求得A点的坐标。答案:1点A的坐标为2如图,过点F作FGDC于GEF的解析式为,E点的坐标为0,n,OE=nF点的坐标为2n,0,OF=2nAEF与OEF全等,OE=AE=n,AF=OF=2n点A在DC上,且EAF=901+3=90又3+2=901=2在DEA与GAF中,DEAGAF FG=CB=6 DA=3 A点的坐标为3,6。点拨:这是一道有关折叠的问题,主要考查一次函数、四边形、相似形等知识,
6、在矩形折叠问题中要善于发现“一线三等角的模型,并利用该知识点解决问题。答题时间:30分钟一、选择题1. 济南直线l1l2l3l4,相邻的两条平行直线间的距离均为h,矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上,放置方式如下图,AB=4,BC=6,那么tan的值等于A. B. C. D. *2.温州如图,在平面直角坐标系中,矩形纸片ABCO的顶点C的坐标为0,8,沿着直线折叠纸片,使点C落在OA边上的点F处,折痕为DE,那么b等于。A. 2 B. 3 C. 4 D. 5*3. 苏州模拟如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时,直角边MP始终经过点A,
7、设直角三角板的另一直角边PN与边CD相交于点Q。那么CQ的最大值为A.4 B. C. D. *4. 道里区一模如图,ABC中,AB=5,BC=11,点D在BC上,ADE=90,DAE=ACB,ED=EC,AE的长为 A. B.6 C. D.8 二、填空题*5. 润州区二模如图,点A在双曲线上,点B在双曲线上,且OAOB,A=30,那么k的值是 。*6. 海南直线l1l2l3,且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,把一块含有45角的直角三角形如图放置,顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上,AC与直线l2交于点D,那么线段BD的长度为 。*7. 如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,BC=
8、4AD=,B=45。直角三角板含45角的顶点E在边BC上移动,一直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F。假设ABE为等腰三角形,那么CF的长等于 。*8.本溪一模如下图,正方形ABCD中,点P是边AB上一点,将一个直角三角板的直角顶点与点P重合,并保证其一条直角边始终经过点C,另一条直角边与AD交于点Q,假设,那么;假设,那么。三、解答题*9.盐城情境观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到ABC和ACD,如图1所示。将ACD的顶点A与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、AA、B在同一条直线上,如图2所示。观察图2可知:与BC相等的线段是 ,CAC= 问题探究:如图3,ABC中,
9、AGBC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q。试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论。拓展延伸:如图4,ABC中,AGBC于点G,分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H。假设AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由。*10.相城区一模如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为0,4,A是x轴上的一个动点,M是线段AC的中点。把线段AM进行以A为旋转中心、向顺时针方向旋转90的旋转变换得到AB。过B作x轴的垂线、过点C
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