选修4-5《不等式选讲》教案.doc
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1、选修4_5不等式选讲课题:第01课时不等式的根天性子目标请求:重点难点:教学进程:一、引入:不等关联是天然界中存在着的根本数学关联。列子汤咨询中喜闻乐见的“两小儿辩日:“远者小而近者年夜、“近者热而远者凉,就从正面阐明白理想天下中不等关联的广泛存在;一样平常生活中毫不相干的咨询题,如“自来水管的直截面什么原因做成圆的,而不做成方的呢?、“电灯挂在写字台上方怎么样的高度最亮?、“用一块正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最年夜,该当剪去多年夜的小正方形?等,都属于不等关联的咨询题,需求借助不等式的相干常识才干掉掉落处理。并且,不等式在数学研讨中也
2、起着相称主要的感化。本专题将引见一些主要的不等式含有相对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等跟它们的证实,数学归结法跟它的庞杂应用等。人与人的年纪巨细、高矮胖瘦,物与物的外形结构,事与事成因与后果的不等同等都表示出不等的关联,这阐明理想天下中的量,不等是广泛的、相对的,而相称那么是部分的、相对的。还可从弁言中实践咨询题动身,阐明本章常识的位置跟感化。生活中什么原因糖水加糖甜更甜呢?转化为数学咨询题:a克糖水中含有b克糖(ab0),假设再加m(m0)克糖,那么糖水更甜了,什么原因?剖析:后来的糖水浓度为,参加m克糖后的糖水浓度为,只要证即可。怎样证呢?二、不等式的根天性子:1、实数
3、的运算性子与巨细次序的关联:数轴上左边的点表示的数总年夜于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可知:得出论断:要比拟两个实数的巨细,只要调查它们的差的标记即可。2、不等式的根天性子:、假如ab,那么ba,假如bb。(对称性)、假如ab,且bc,那么ac,即ab,bcac。、假如ab,那么a+cb+c,即aba+cb+c。推论:假如ab,且cd,那么a+cb+d即ab,cda+cb+d、假如ab,且c0,那么acbc;假如ab,且c0,那么acb0,那么(nN,且n1)、假如ab0,那么(nN,且n1)。三、典范例题:例1、曾经明白ab,cb-d例2曾经明白ab0,c,对一实在数都成破
4、,务实数的取值范畴。三、小结:四、训练:解不等式1、2、3、.4、.5、6、.7、8、9、10、五、功课:选修4_5不等式选讲课题:第03课时含有相对值的不等式的证实目标请求:重点难点:教学进程:一、引入:证实一个含有相对值的不等式成破,除了要应用普通不等式的根天性子之外,经常还要用到对于相对值的跟、差、积、商的性子:1234请同窗们思索一下,是否能够用相对值的几多何意思阐明上述性子存在的情理?实践上,性子跟能够从正正数跟零的乘法、除法法那么直截了当推出;而相对值的差的性子能够应用跟的性子导出。因而,只要能够证实对于恣意实数都成破刻可。咱们将鄙人面的例题中研讨它的证实。如今请同窗们探讨一个咨询
5、题:设为实数,跟哪个年夜?显然,当且仅事先等号成破即在时,等号成破。在时,等号不成破。异样,当且仅事先,等号成破。含有相对值的不等式的证实中,经常应用、及相对值的跟的性子。二、典范例题:例1、证实1,2。证实1假如那么因而假如那么因而2依照1的后果,有,确实是,。因而,。例2、证实。例3、证实。思索:怎样应用数轴给出例3的几多何说明?设A,B,C为数轴上的3个点,分不表示数a,b,c,那么线段当且仅当C在A,B之间时,等号成破。这确实是下面的例3。特不的,取c0即C为原点,就掉掉落例2的后半部分。探求:试应用相对值的几多何意思,给出不等式的几多何说明?含有相对值的不等式经常相加减,掉掉落较为庞
6、杂的不等式,这就需求应用例1,例2跟例3的后果来证实。例4、曾经明白,求证证实1,2由1,2得:例5、曾经明白求证:。证实,由例1及上式,。留意:在推理比拟庞杂时,咱们经常将几多个不等式连在一同写。但这种写法,只能用于不等号偏向一样的不等式。三、小结:四、训练:1、曾经明白求证:。2、曾经明白求证:。五、功课:链接:不等式的图形借助图形的直不雅性来研讨不等式的咨询题,是进修不等式的一个主要办法,特不是应用相对值跟相对值不等式的几多何意思来解不等式或许证实不等式,每每能使咨询题变得直不雅明白,协助咱们敏捷而精确地寻寻到咨询题的谜底。要害是在碰到相干咨询题时,是否精确地掌握不等式的图形,从而无效地
7、处理咨询题。咱们再来经过几多个详细咨询题领会不等式图形的感化。1解不等式。题意等于在数轴上寻出到与的间隔之跟不年夜于到点的间隔的所有流淌点。起首在数轴上寻到点,如图。-10123从图上推断,在与之间的所有点表现都契合请求。理想上,这种点到与的间隔跟恰好是1,而到的间隔是。如今让流淌点由点向左挪动,如斯它到点的间隔变,而到点与的间隔增年夜,显然,契合请求的点只能是介于与之间的某一个点。由可得再让流淌点由点向右挪动,尽管这种点到与的间隔的跟及到的间隔跟都在添加,但两比拟拟,到与的间隔的跟添加的要快。因而,要使这种点契合请求,也只能流淌到某一点而止。由可得从而不等式的解为2画出不等式的图形,并指出其
8、解的范畴。先思索不等式在破体直角坐标系内第一象限的状况。在第一象限内不等式等价于:,.其图形是由第一象限中直线下方的点所构成。异样可画出二、三、四象限的状况。从而掉掉落不等式的图形是以原点O为核心,四个等点分不在坐标轴上的正方形。不等式解的范畴了如指掌。探求:应用不等式的图形解不等式1.;2A组1解以下不等式:121342解不等式:123解不等式:124应用相对值的几多何意思,处理咨询题:要使不等式1收拾得:解之,不等式的解集为x|-3x2或不等式的解集为x|x2或例3、解不等式:(当a1时当0a1时)例4、解不等式:(-1x3)三、小结:四、训练:五、功课:选修4_5不等式选讲课题:第04课
9、时对数不等式的解法目标请求:重点难点:教学进程:一、引入:二、典范例题:例1、解不等式。解:原不等式等价于或解之得:4x5原不等式的解集为x|41时有理想上两头一个不等式可省当0a1时不等式的解集为;当0a1时有0xa当0aa原不等式的解集为x|0x1或x|xa,0a1例4、解不等式。解:双方取以a为底的对数:当0a1时原不等式化为:原不等式的解集为或三、小结:四、训练:解以下不等式1(-2x1或4x7)2当,求不等式:(ax1)3,求证:4(-1x1,假设0a1时当m=1时x当0m1时当m0时x2或x1破即q=时x破即q(,)时1x1时B=1,a当a2时AB当1a2时AB当a1时AB仅含一个
10、元素例6、方程有相异两实根,求a的取值范畴。解:原不等式可化为,令:那么设又a0三、小结:四、训练:五、功课:12假设求a的取值范畴(a1)345当a在什么范畴内方程:有两个差其余负根6假设方程的两根都对于2,务实数m的范畴。选修4_5不等式选讲课题:第07课时不等式的证实办法之一:比拟法目标请求:重点难点:教学进程:一、引入:要比拟两个实数的巨细,只要调查它们的差的标记即可,即应用不等式的性子:二、典范例题:例1、设,求证:。例2、假设实数,求证:证实:采纳差值比拟法:=探讨:假设题设中去掉落这一限度前提,请求证的论断怎样变更?例3、曾经明白求证此题能够实验应用差值比拟跟商值比拟两种办法进展
11、。证实:1)差值比拟法:留意到要证的不等式对于对称,无妨设,从而原不等式得证。2商值比拟法:设故原不等式得证。注:比拟法是证实不等式的一种最根本、最主要的办法。用比拟法证实不等式的步调是:作差或作商、变形、推断标记。例4、甲、乙两人同时同地沿统一道路走到统一所在。甲有一半时刻以速率行走,另一半时刻以速率行走;乙有一半行程以速率行走,另一半行程以速率行走。假如,咨询甲、乙两人谁先抵达指定所在。剖析:设从动身所在至指定所在的行程是,甲、乙两人走完这段行程所用的时刻分不为。要答复标题中的咨询题,只要比拟的巨细就能够了。解:设从动身所在至指定所在的行程是,甲、乙两人走完这段行程所用的时刻分不为,依照题
12、意有,可得,从而,此中基本上正数,且。因而,即。从而知甲比乙起首抵达指定所在。探讨:假如,甲、乙两人谁先抵达指定所在?例5、设求证;对恣意实数,恒有1证实思索1式双方的差。2即1成破。三、小结:四、训练:五、功课:1比拟下面各题中两个代数式值的巨细:1与;2与.2曾经明白求证:123假设,求证4比拟a4-b4与4a3(a-b)的巨细解:a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)=-(a-b)2(当且仅当d
13、b时取等号)a4-b44a3(a-b)。5比拟(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的巨细6曾经明白x0,比拟(x2+1)2与x4+x2+1的巨细7假如x0,比拟与的巨细8曾经明白a0,比拟与的巨细9设x1,比拟x3与x2-x+1的巨细阐明:“变形是解题的要害,是最重一步。因式剖析、配方、凑成假设干个平方跟等是“变形的常用办法。浏览资料:琴生不等式例5中的不等式有着主要的数学配景,它与初等数学中的一类凸函数有着亲密的关联,也是琴生Jensen不等式的特例。琴生在1905年给出了一个界说:设函数的界说域为a,b,假如对于a,b内恣意两数,都有1那么称为a,b上的凸函数。假设把1式的不等号反向
14、,那么称如斯的为a,b上的凹函数。凸函数的几多何意思是:过曲线上恣意两点作弦,那么弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。其推行方式是:假设函数的是a,b上的凸函数,那么对a,b内的恣意数,都有2当且仅事先等号成破。普通称2式为琴生不等式。更为普通的状况是:设是界说在区间a,b上的函数,假如对于a,b上的恣意两点,有此中,那么称是区间a,b上的凸函数。假如不等式反向,即有那么称是a,b上的凹函数。其推行方式,设,是a,b上的凸函数,那么对恣意有,当且仅事先等号成破。假设是凹函数,那么上述不等式反向。该不等式称为琴生Jensen不等式。把琴生不等式应用于一些详细的函数,能够推出很多有名不等式。选修4
15、_5不等式选讲课题:第08课时不等式的证实办法之二:综正当与剖析法目标请求:重点难点:教学进程:一、引入:综正当跟剖析法是数学中常用的两种直截了当证实办法,也是不等式证实中的根本办法。因为两者在证实思绪上存在着分明的互逆性,这里将其放在一同加以看法、进修,以便于比照研讨两种思绪办法的特色。所谓综正当,即从曾经明白前提动身,依照不等式的性子或曾经明白的不等式,逐渐推导出要证的不等式。而剖析法,那么是由后果开场,倒过去寻寻缘故,直至缘故成为分明的或许在曾经明白中。前一种是“由因及果,后一种是“执果索因。打一个比如:张三在山里迷了路,救济职员从驻地动身,逐渐寻寻,直至寻到他,这是“综正当;而张三本人
16、寻路,直至回到驻地,这是“剖析法。往常掉掉落的论断,能够作为证实的依照。特不的,是经常要用到的一个主要不等式。二、典范例题:例1、基本上正数。求证:证实:由主要不等式可得本例的证实是综正当。例2、设,求证证法一剖析法要证成破.只要证成破,又因,只要证成破,又需证成破,即需证成破.而显然成破.由此命题得证。证法二综正当留意到,即,由上式即得,从而成破。议一议:依照下面的例证,你能指出综正当跟剖析法的要紧特色吗?例3、曾经明白a,b,m基本上正数,同时求证:1证法一要证1,只要证2要证2,只要证3要证3,只要证4曾经明白4成破,因而1成破。下面的证实用的是剖析法。下面的证法二采纳综正当。证法二因为
17、是正数,因而双方同时加上得双方同时除以正数得1。读一读:假如用或表示命题P能够推出命题Q命题Q能够由命题P推出,那么采纳剖析法的证法一确实是1而采纳综正当的证法二确实是假如命题P能够推出命题Q,命题Q也能够推出命题P,即同时有,那么咱们就说命题P与命题Q等价,并记为在例2中,因为基本上正数,实践上例4、证实:经过水管放水,当流速一样时,假如水管横截面的周长相称,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量年夜。剖析:当水的流速一样时,水管的流量取决于水管横截面面积的巨细。设截面的周长为,那么周长为的圆的半径为,截面积为;周长为的正方形为,截面积为。因而此题只要证实。证实:设截面的周长为,那么
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