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1、量子力学之狄拉克符号系统与表象Dirac符号系统与表象一、Dirac符号1.引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式,它们都是取定了某一详细的力学量空间,即某一详细的力学量表象。量子描绘除了使用详细表象外,可以以不取定表象,正如几何学和经典力学中可以用矢量形式A来表示一个矢量,而不用详细坐标系中的分量(Ax,Ay,Az)表示一样。量子力学能够不涉及详细表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的,本质是一个线性泛函空间,所以该方法所使用的符号称为Dirac符号。2.态矢量1.右矢空间力学量本征态构成完备系,所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备
2、右矢或基组,即右矢空间中的完备的基本矢量简称基矢。右矢空间的任一矢量|可按该空间的某一完备基矢展开。例如:=nnan2.左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量,记为称为伴矢量。的关系|按Q的左基矢|Qn展开:|=a1|Q1+a2|Q2+.+a3|Q3+.展开系数即相当于Q表象中的表示:12naaa?=?MM和*=。对于知足归一化条件的内积有:*1nnnaa=。这样,本征态的归一化条件能够写为:由此能够看出:知足:a在同一确定表象中,各分量互为复共轭;b由于二者属于不同空间所以它们不能相加,只要同一空间的矢量才能相加;c右矢空间任一右矢能够和左矢空间中任一左矢进行标积运
3、算,其结果为一复数。4.本征函数的封闭性a分立谱展开式:=nnnaQ?|()|()()mnmnnmnnnnQatQQatat=可得:|nnnQQ=由于|是任意态矢量,所以:|1nnnQQ,q取连续值,任一状态|展开式为:|()|qatqdq=?由于|是任意态矢量,所以:|1qdqq上,相当于把|投影到左基矢|Qn或|q上,即作用的结果只是留下了该态矢在|Qn上的分量或。故称|Qn在X表象的表示是(x,t),所以显然有:在分立谱下:|1nnnQQ=所以*()()()nnnuxuxxx=-。在连续谱下:|1qdqq=?|()|()|nmnmppppxxxxQQ=-=-=连续谱连续谱分立谱|qdqq
4、=?|(,)|*(,)xxtxxxt=?=?所以*()()()qquxuxdqxx=-?。上述讨论即本征矢的封闭性,其与完备性的区别如下:正交归一性的表示式是对坐标的积分,封闭性的表示式是对本征值的求和或积分。所以,我们可以以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。它来自于本征函数的完备性,也是本征函数完备性的表示。3.算符1.右矢空间X表象下:在一般Dirac表象下:利用分立谱下的完备性能够得到:写成矩阵形式为:即Q表象下=F。平均值公式:?|FF=。利用利用分立谱下的完备性能够得到:*?|mmnnmnmmnnmnFQQFQQaFa=2.共轭式右矢空间*?|*|*|*|()
5、|?|mmmnnnmnnnmnnmnnnnnnmmnQQQFQQFQFQFQQQFQFQ?+?=?=?=%进而能够得到:?|F?+=|?|F?表明量子力学中的力学量既能够向右作用到右矢量上,可以以向左作用到左矢量上。例:力学量算符x在动量中的形式?|x?=?|ppxpxpdpp?=?|()|1|21122()iipxpxiiiipxpxpxpxpxppxdxxxxdxxppxdxxxxdxxppxdxxxxdxxppxxdxxpexedxieedxieedxppippp-=-=?=?=-?hhhhhhhhhhhh即有:故坐标算符x在动量表象中取如下形式:?xip?=?h4.总结=1X表象描绘与
6、狄拉克符号1)(|)(|1),(),()()(?),(?)(|),(*=?ttQQdxtxtxdxxuxuFirFttxmnnmmnnm本征函数归一化算符波函数Dirac符号项目X表象?=?|?|?|?)()()?,(?)(|?)(|),()?,(?),(*FFdxFFFrrprFtFttxpxFtxx平均值本征方程公式=?-=?-=|波函数可以以选用其它变量的函数,力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。表象:量子力学中态和力学量的详细表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象,下面我们要介绍其他表象。1.动量表象在坐标表象中,体系的状态用波函数(x,t)描写,这样一个态怎样用动量为变量的波
7、函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数:/()ipxpx=h组成完备系,任一状态可按其展开。展开系数:(,)(,)()pxtCptxdp=?,(,)*()(,)pCptxxtdx=?。命题:假设(x,t)是归一化波函数,则C(p,t)也是归一。证实:1*(,)(,)(,)()*(,)()(,)*(,)*()()(,)*(,)()(,)*(,)ppppxtxtdxCptxdpCptxdpdxCptCptdpdpxxdxCptCptdpdpppCptCptdp=-=?C(p,t)的物理意义:|(x,t)|2dx是在(x,t)所描写的状态中,测量粒子的位置所得结果在xx+dx范围内的几率。|
8、C(p,t)|2dp是在(x,t)所描写的状态中,测量粒子的动量所得结果在pp+dp范围内的几率。(x,t)与C(p,t)逐一对应,描绘同一状态。(x,t)是该状态在坐标表象中的波函数;而C(p,t)就是该状态在动量表象中的波函数。若(x,t)描写的态是具有确定动量p的自由粒子态,即:则相应动量表象中的波函数:所以,在动量表象中,具有确定动量p的粒子的波函数是以动量p为变量的-函数。换言之,动量本征函数在本身表象中是一个函数。x在本身表象即坐标表象中对应有确定值x本征函数是(x-x)。这可有本2)(),(2/pEextxptiEpp=-dxtxxtpCp),()(*),(=?dxexxtiEp
9、pp/)()(*-?=dxxxepptiEp)()(*/-?=)(/ppetiEp-=-征方程看出:()()xxxxxx-=-()()xxxx=-2.力学量表象推广上述讨论:x,p都是力学量,分别对应有坐标表象和动量表象,因而能够对任何力学量Q都建立一种表象,称为力学量Q表象。1.具有分立本征值的情况设算符Q的本征值为:Q1,Q2,.,Qn,.,相应本征函数为:u1(x),u2(x),.,un(x),.。将(x,t)按Q的本征函数展开: (,)()()()*()(.)nnnnnxtatuxatuxxtdx=?若,un都是归一化的,则an(t)也是归一化的。证实:1*(,)(.)()()*()(
10、)*()()*()()*()()*()()mmnnmnmnmnmnmnmnmnnnnxtxtdxatuxatuxdxatatuxuxdxatatatat=?根据矩阵形式归一化可写为:2.具有连续本征值的情况?=MM)()()(21tatatan()*)(*)(*)(21tatatan=+()1212()()()*()*()*()()*()1nnnnnatatatatatatatat+?=?=LLMM设力学量Q的本征值和本征函数为:Q1,Q2,.,Qn,.,qu1(x),u2(x),.,un(x),.,uq(x)则有:归一化:其中:在这样的表象中,仍能够用一个列矩阵表示:12()()()()nq
11、atatatat?=?MM()12()*()*()*()*nqatatatat+=LL3.讨论有上述讨论能够知道,我们能够把状态看成是一个矢量态矢量。选取一个特定力学量Q表象,相当于选取特定的坐标系,u1(x),u2(x),.,un(x),.是Q表象的基本矢量简称基矢。波函数12()()()()nqatatatat?=?MM是态矢量在Q表象中沿各基矢方向上的“分量。Q表象的基矢有无限多个,所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间,称为Hilbert空间。三、算符的矩阵表示1.力学量算符的矩阵表示Q表象:(,)()()()()nnqqnxtatuxatuxdq=+?*()()*()()1
12、nnqqnatatatatdq+=?=?dxtxxutadxtxxutaqqnn),()(*)(),()(*)( (,)()()(,)()()mmmmmmxtatuxxtbtux?=?=?代入坐标表象:?(,)(,)(,)?(,)(,)xxtFxpxtFxixt?=-h得到:()()mnmnmmmmbtFat=即()()nnmmmbtFat=。其中利用了下式:?*()(,)()nmnmxFuxFxiuxdx?-?h进而得到Q表象的表达方式:()()1,2,nnmmmbtFatn=L写成矩阵形式为简写为F?=例:求Lx在L2,Lz共同表象,=1子空间中的矩阵表示。令:u1=Y11u2=Y10,u
13、3=Y1-1,则Lx的矩阵元计算如下:?()*,1,2,3xijixjLuLudij=?利用12,1?()xlmlmLLLLY+-=+=可得:)()(),(?)()(xutaixFxutbmmmxmmm?-=)()(),(?*)(*)(tadxxuixFudxxuutbmmxnmmnmm?-=?=?MMMM)()()()()()(2121222211121121tatataFFFFFFFFFtbtbtbmnmnnmmn?+=+=+=-+-+1111102101111?1)(21)?(2121)?(21YYYLLuLYYLLuLxx写成矩阵:由此可得Lx的矩阵元为(Lx)11=(Lx)22=(L
14、x)33=0(Lx)13=(Lx)31=0(Lx)12=(Lx)21=(Lx)23=(Lx)32=/21/22.Q表象中力学量算符F的性质1.力学量算符用厄米矩阵表示?*()()?()()*?*()()*()nmnmnmmnmnnmnmFuxFuxdxuxFuxdxuxFuxdxFFF+=?%所以厄米算符的矩阵表示是厄米矩阵。例:在例1中给出了Lx,Ly在L2,L表象中的矩阵形式,下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵。略2.力学量算符在本身表象中的形式?()()nnnQuxQux=,则Q的矩阵元为:?*()()*()()nmnmmnmmnmQuxQuxdxQuxuxdxQ=?结论:算符在本身表
15、象中是一对角矩阵,对角元素就是算符的本征值。3.Q有连续本征值的情况讨论只要连续本征值的情况假如Q只要连续本征值q,上面的讨论仍然适用,只需将u,a,b的角标从可数的n,m换成连续变化的q,求和换成积分,见下表。?-=100000001zL?-=000002iiiiLy?=010*xL算符F在Q表象还是一个矩阵,矩阵元由下式确定:?*()(,)()qqqqxFuxFxiuxdx?=-?h四、量子力学公式的矩阵表示1.平均值公式坐标表象下:?*(,)(,)FxtFxtdx=?。在Q表象中:(,)()()*(,)*()*()nnnnnnxtatuxxtatux?=?=?*()*()()()?()*()()()()*()mmnnmnmmnnmnmmnnmnFatuxFatuxdxatuxFuxdxatatFat=?写成矩阵形式为:()1112112122221212()()*(),*(),*()()nnmmmmnnFFFatFFFatFatatatFFFat?=?LLLLLLLLLLLMLLLLLLLM即*FF=2.本征方程?()()FxxF=写成矩阵形式为:
限制150内