新高考艺术生数学基础复习讲义 考点13 等差数列(教师版含解析).docx
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1、考点13 等差数列知识理解一等差数列的有关概念1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为an1and(nN*,d为常数2.数列的单调性:d0递增数列,d=0常数数列,d0递减数列二等差数列的有关公式1.通项公式:ana1(n1)dnd(a1d)当d0时,an是关于n的一次函数通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN*)2.前n项和公式:当d0时,Sn是关于n的二次函数,且没有常数项三 等差数列的性质1.中项性质(1)数列a,A,b成等差数列的充要条件是A,其中A叫做a,b的等差中项(2)多项数列
2、的中项性质2.前n项和的性质(1)Sn,S2nSn,S3nS2n,也成等差数列,公差为n2d(2)若an是等差数列,则也成等差数列,其首项与an首项相同,公差是an公差的.考向分析考向一 等差数列基本运算【例1】(1)(2020广东广州市高三月考)设是公差为正数的等差数列,若,则( )A12B35C75D90(2)(2020宁夏银川九中高三月考)设等差数列an的前n项和为Sn,若a44,S972,则a10( )A20B23C24D28【答案】(1)B(2)D【解析】(1)设公差为,则,故解得,故选:B(2)设等差数列an的公差为d,由a44,S972,得,解得,故选:D.【举一反三】1(202
3、0四川省广元市川师大万达中学高三月考)等差数列中,若,则( )ABC2D9【答案】A【解析】设公差为,则,所以.故选:A2(2020冷水江市第一中学高三期中)记为等差数列的前项和,若,则等于( )A6B7C8D10【答案】D【解析】设数列的首项为,公差为,则由,得:,即,解得:,.故选:D.3(2020广西玉林市高三其他模拟)若等差数列an满足a2=20,a5=8,则a1=( )A24B23C17D16【答案】A【解析】根据题意,则,故选:A.4(2020梅河口市第五中学高三月考)已知数列是公差不为0的等差数列,其前项和为,若,则( )A3BC-3D【答案】D【解析】设数列是公差为,首项为,因
4、为所以,所以,所以所以故选:D考向二 等差数列中项性质【例2】(1)(2020全国高三其他模拟)1,3的等差中项是( )A1B2C3D4(2)(2020福建高三学业考试)在等差数列中,若=4,=2,则=( )A-1B0C1D6(3)(2020贵州贵阳一中高三月考)已知等差数列的前n项和为,=5,则=( )A5B25C35D50【答案】(1)B(2)B(3)B【解析】设1和3的等差中项为,则,解得,故选:B.(2)等差数列中,则故选:B(3)由题意可知,为等差数列,所以故选:B【举一反三】1(2020上海市七宝中学高三期中)已知数列为等差数列,且,则_.【答案】-12【解析】由等差数列的性质,得
5、.故答案为:.2(2020贵溪市实验中学高三月考)在等差数列中,若,则_.【答案】【解析】由等差中项的性质可得,可得,因此,.故答案为:.3(2020天津经济技术开发区第一中学高三期中)设等差数列的前项之和为,已知,则( )ABCD【答案】B【解析】,.故选:B.4(2020静宁县第一中学高三月考)已知正项等差数列的前项和为,则的值为( )A11B12C20D22【答案】D【解析】因为,数列是正项等差数列,所以,解得或(舍去),则,故选:D.5(2020全国高三专题练习)已知数列满足且,则( )A-3B3CD【答案】B【解析】,数列是以2为公差的等差数列,故选:B.考向三 等差数列前n项和性质
6、【例3】(1)(2020广东高三月考)已知等差数列的前n项为,则的值为( )A2B0C3D4(2)(2020石嘴山市第三中学高三期中)两等差数列,的前n项和分别为,若,则( )ABCD(3)(2021天津红桥区高三期末)设是等差数列的前项和,若,则( )ABCD(4)(2021海南省)已知是等差数列前项和,当取得最小值时( )A2B14C7D6或7(5)(2020湖北武汉市高三期末)若是等差数列的前项和,其首项, ,则使成立的最大自然数是( )A198B199C200D201(6)(2020新疆高三二模)在等差数列中,其前n项和为,若,则( )A-4040B-2020C2020D4040【答案
7、】(1)A(2)C(3)D(4)D(5)A(6)C【解析】(1)因为,成等差数列,故有,解得.故选:A.(2)数列是等差数列,则故选:C(3)因为为等差数列,所以.故选:D(4)设等差数列的公差为,联立解得:,令,解得当取得最小值时或7故选:D(5), 和异号;,有等差数列的性质可知,等差数列的公差,当时,;当时,;又 ,由等差数列的前项和的性质可知,使前项和成立的最大自然数是.故选:A(6)设等差数列的前项和为,则,所以是等差数列因为,所以的公差为,又,所以是以为首项,为公差的等差数列,所以,所以故选:C【举一反三】1(2020全国高三专题练习)等差数列的前项和为30,前项和为100,则前项
8、和为( )A130B170C210D260【答案】C【解析】为等差数列,成等差数列,即成等差数列,解得.故选:C.2(2020重庆高三其他模拟)等差数列的前项和为,已知,则的值等于( )ABCD【答案】C【解析】等差数列的前项和为,由题意可得成等差数列,故,代入数据可得,解得故选C3(2020全国高三专题练习)等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn,若,则等于( )A B C D 【答案】A【解析】.故选:.4(2020湖南怀化市高三期中)设是等差数列的前n项和,若,则( )A2BCD【答案】A【解析】由题意,故选:A5(2021河北承德)在等差数列中,公差,为的前项和,且,则当为何值时
9、,达到最大值.( )ABCD【答案】C【解析】因为在等差数列中,所以,又公差,所以,故所以数列的前6项为正数,从第7项开始为负数;因此,当时,达到最大值.故选C6(2020全国高三其他模拟)等差数列的前项和为,其中,则当取得最大值时的值为( )A4或5B3或4C4D3【答案】C【解析】设公差为,由题意知,解得,由等差数列前项和公式,知,对称轴为,所以当时,最大故选:C7(2020全国高三专题练习)在等差数列中,为其前项和.若,且,则等于( )ABCD【答案】D【解析】是等差数列,为其前项和,设公差为,所以数列是以为首项以为公差的等差数列,则,解得.又,.故选:考向四 等差数列定义运用【例4-1
10、】(2021吉林长春市高三二模节选)已知数列的通项公式为.,求证:数列是等差数列; 【答案】见解析【解析】,(),数列为等差数列【例4-2】(2021青海西宁市节选)已知数列满足,证明:数列为等差数列,并求的通项公式;【答案】【解析】,两边同时除以,可得:,又,数列是以1为首项,1为公差的等差数列;,.【方法总结】等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列an,anan1(n2,nN*)为同一常数an是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an1anan2(n3,nN*)成立an是等差数列通项公法前n项和anpnq(p,q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的
11、判定问题项和公式法验证SnAn2Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列【举一反三】1(2020全国高三月考节选)已知数列满足,判断数列是否为等差数列,并说明理由;【答案】是等差数列;详见解析【解析】设,则,则,所以,数列是首项为0,公差的等差数列.2(2021山西运城市高三期中)已知数列中,设,求证:数列是等差数列;【答案】证明见解析【解析】证明:当时,所以是以1为首项,为公差的等差数列 ;3(2021山东高考模拟解析)已知数列满足判断数列是否为等差数列,并说明理由;【答案】见解析【解析】,数列为公差为2的等差数列4(2020江西丰城九中高三期中节选)数列满足,证明:数列是等
12、差数列;【答案】证明见解析;【解析】,数列是以1为首项,以1为公差的等差数列;5(2020湖北武汉市华中师大一附中节选)在数列,中,证明:数列是等差数列;【答案】证明见解析【解析】证明:由题意,将代入,可得,即,数列是以为公差的等差数列强化练习一单选题1(2020黑龙江大庆实验中学高三期中)在等差数列中,首项,公差,是其前项和,若,则( )A15B16C17D18【答案】B【解析】由得,将代入得,因为,所以,得.故选:B2(2020河南开封市高三一模)记为等差数列的前项和,则( )ABCD【答案】B【解析】在等差数列中,所以,所以,故选:B3(2020全国高三其他模拟)设等差数列的前项和为,且
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