第3讲 平面向量中的范围、 最值问题(解析版).docx
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1、第 3 讲 平面向量中的范围、 最值问题一选择题 (共 17 小题)1 如 图 , 四边形 OABC 是边长为 1 的 正方形 , OD 3 , 点 P 为 BCD 内 (含边 界 ) 的动 点 , 设OP OC OD( , R) ,则 的最大值等于 ( ) A B C D 1【解析】解: 以 O 为原点, 以 OD 所在直线为x 轴建立直角坐标系, 设点 P(x, y) , OP OC OD ,则 (x , y) (0 , 1) (3 , 0) (3 , ) 所以, x 3 y x y 由于点P 在 BCD 内 (包含边界), 目标函数为 x y ,如图所示,当点 P 为点 B(1, 1)
2、时, x y 取得最大值,其最大值为 1 ,故选: B 2 已知 , | | , | | t ,若 P 点是 ABC 所在平面内一点,且 | | | ,则 的 最大值等于 ( )A 13 B 15 C 19 D 21【解析】解: 由题意建立如图所示的坐标系,可得 A(0, 0) , B( , 0) , C(0, t) , AB 4AC AP | | | | , P(1, 4) , ( 1 , 4) , (1, t 4) , ( 1) 4(t 4) 17 (4t ) ,由基本不等式可得 4t2 4 , 17 (4t ) 17 4 13 ,当且仅当4t 即 t 时取等号, 的最大值为 13,故选:
3、 A 3 已知 ,| | ,| | t ,t ,4 ;若P 是 ABC 所在平面内一点,且 | | | , 则 的取值范围是 ( )A 13 , 17 B 12 , 13 C , 12 D , 13【解析】解: 由题意建立如图所示的坐标系,可得 A(0, 0) , B( , 0) , C(0, t) , | | | (1 , 0) (0 , 4) (1 , 4) , P(1, 4) , ( 1 , 4) , (1, t 4) , ( 1) 4(t 4) 17 ( 4t) 17 2 13 ,当且仅当 4t ,即 t , 4 ,时,取等号,由t 4 可得17 (16 ) ,由 t 可得17 (1
4、4) 12 , 的最大值为 13 ,最小值为 则PB PC 的范围是 , 13 34故选: D 4 已知a , 是平面内互不相等的两个非零向量,且 |a | 1 , a 与 的夹角为150 ,则 | | 的取值范围 是 ( )A (0 , B 1 , C (0 , 2 D , 2【解析】解:如图所示,设 a , ,则 a 由于 | a | 1 , a 与 的夹角为150 ,可得 OAB 中, OA 1 , OBA 30 由正弦定理可得: OAB 的外接圆的半径 r 1 则点B 为圆上的动点由图可令b OB (1 cos, sin ) , 则| | | | (0, 2 故选: C 5设向量 ,的
5、夹角 定义: | | sin 若平面内互不相等的两个非零向量a , 满足:| a | 1, (a ) 与 的夹角为150 , a 的最大值为 ( )A 2 B C D 【解析】解:设 a , ,则 a ,| a | 1 , a 与 的夹角为150 ,OAB 中, OA 1 , OBA 30 ,由正弦定理可得: OAB 的半径为 1,则B 点为圆上与 OA 不重合的动点,设 AOB (0 150) ,由正弦定理可得, AB 2sin , OB 2sin(150 ) ,则 a OA OB sin 2SOAB AB OBsin 30 2sin sin(150 ) cos150 cos(2 150)
6、cos(2 150) ,当 75 时, a 取得最大值,且为1 故选: C 6 已知平面内互不相等的非零向量a , 满足 |a | 1 , a 与 的夹角为150 ,则 a 的最大值为 ( )A 2 B C D 【解析】解:如图所示,设 a , 则 a | a | 1 , a 与 的夹角为150 , OAB 中, OA 1 , OBA 180 150 30 由正弦定理可得: OAB 的外接圆的半径 r 1 则点B 为圆上与 A 点重合的动点由图可令: a ( , ) , (1 cos, sin ) a cos sin sin( ) ,当 sin( ) 1 时取等号 a 的最大值为 故选: C
7、7 已知向量 与 的夹角为 ,| | 2 ,| | 1 , t , (1 t) ,| | 在 t0 时取最小值, 当 0 t0 时, cos 的取值范围为 ( ) A ( , 0) B ( , ) C ( , 1) D ( , )【解析】解: 由题意得:OA OB 2 1 cos 2cos, PQ OQ OP (1 t )OB tOA , 2 (1 t)2 2 t2 2 2t(1 t) (1 t)2 4t2 4t(1 t)cos (5 4cos)t2 (2 4cos)t 1,由二次函数知,当上式取最小值时, t0 , 0 t0 , 0 ,解得 cos cos 的取值范围为 ( , ) 故选:
8、D 8 已知向量 与 的夹角为 ,| | 2 ,| | 1 , t , (1 t) ,| | 在 t0 时取得最小 值当 0 t0 时,夹角 的取值范围为 ( )A (0, ) B ( , ) C ( , ) D (0, )【解析】解: 由题意可得 2 1 cos 2cos , PQ OQ OP (1 t )OB tOA , 2 (1 t)2 2 t2 2 2t(1 t) (1 t)2 4t2 4t(1 t)cos (5 4cos)t2 (2 4cos)t 1 ,由二次函数知,当上式取最小值时, t0 ,由题意可得 0 ,求得 cos 0 , ,故选: C 9 设向量 e1 、 e2 满足:
9、| e1 | 2, | e2 | 1 , e1 , e2 的夹角是90 ,若 2te1 7e2 与 e1 te2 的夹角为钝角,则t 的 取值范围是 ( ) A ( , 0) B ( , ) ( , 0)C ( , ) D ( , 0)【解析】解: 向量 e1 、 e2 满足: | e1 | 2, | e2 | 1 , e1 , e2 的夹角是 90 , e1 e2 0 若 2te1 7e2 与 e1 te2 的夹角为钝角, 则 (2te1 7e2 ) (e1 te2 ) 0 ,且 (2te1 7e2 ) 与 (e1 te2 ) 不共线,即 2t 2 0 7t 2 0 ,且 ,2即8t 7t
10、0 ,且 t 求得 t 0 , t ,即 t ( , ) ( , 0) ,故选: B 10在空间直角坐标系 O xyz 中,已知 OA (1, 2, 3) , OB (2, 1, 2) , OP (1, 1, 2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,则当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为 ( ) A ( , , ) B ( , , ) C ( , , ) D ( , , )【解析】解: 点 Q 在直线 OP 上运动, 存在实数 使得 OQ OP ( , , 2) , QA (1 , 2 , 3 2) , QB (2 , 1 , 2 2) QA QB (1 )(2 ) (2 )(1 )
11、(3 2)(2 2) 62 16 10 6( )2 ,当且仅当 时,上式取得最小值,Q( , , ) 故选: C 11已知 RtAOB 的面积为 1 ,O 为直角顶点,设向量a | | , | | , a 2 ,则 的最 大值为 ( )A 1 B 2 C 3 D 4 【解析】解: 以 O 为原点, OA 所在直线为x 轴,建立直角坐标系,设 A(m, 0) , B(0, n) ,则 a (1, 0) , (0, 1) , a 2 (1, 2) , (m 1, 2) , (1, n 2) ,RtAOB 的面积为 1 ,即有 mn 2 ,则PA PB 1 m 2(n 2) 5 (m 2n) 5 2
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