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1、20092009 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数数学(文史类)学(文史类)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3至 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。考生注意事项:考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名,座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2.答第 I 卷时、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
2、动,用橡皮檫干净后,在选涂其他答案标号。3.答第 II 卷时,必须用直径0.5 毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后在用 0.5 毫米的黑色墨色签字笔清楚。必须在标号所指示的答题区域作答,超出答题卡区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。参考公式:S 表示底面积,h 表示底面的高如果事件 A、B 互斥,那么棱柱体积P(A+B)=P(A)+P (B)棱锥体积V S hV 1S h3第第 I I 卷卷( (选择题选择题共共 5050 分分) )一一. .选择题:在每小题给出的四个
3、选项中,只有一项是符合题目要求的。选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.i 是虚数单位,5i2iA.12iB.12iC.12iD.12ix y 32.设变量 x,y 满足约束条件x y 1,则目标函数z 2x3y的最小值为2x y 3A. 6B. 7C.8D.233.设xR,则x 1是x x的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3来源于网络x2y24.设双曲线22a b 0的虚轴长为 2,焦距为2 3,则双曲线的渐近线方程为abA.y 2xB.y 2xC.y 0.321xD.y x22115.设a log12,b log1,
4、c ,则2323A.C.a b cB.a c bb c aD.b a c6.阅读右面的程序框图,则输出的SA. 14B.20C.30D.557.已知函数fx sinxxR, 0的最小正周期为,将4y fx的图像向左平移A.个单位长度,所得图像关于y轴对称,则的一个值是3B.82C.D.48x24x6,x 08.设函数fx,则不等式fx f1的解集是x6,x 0A.3,1 3,B.3,1 2,1,1 3,D.,3 1,3xyC.9.设x, yR,a 1,b 1,若a b 3,a b 2 3,则11的最大值为xyA.2B.10.设函数A.31C. 1D.22fx在R上的导函数为f x,且2fx x
5、f x x2,下面的不等式在R上恒成立的是fx 0B.fx 0C.fx xD.fx x第第 II II 卷卷二填空题:本大题共二填空题:本大题共 6 6 小题,每小题小题,每小题 4 4 分,共分,共 2424 分,把答案填在答题卡的相应位置。分,把答案填在答题卡的相应位置。来源于网络11.如图,AA1与BB1相交于点O,AB/ A1B1且AB 圆的直径为_12.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3 3,则a _13. 设 全 集1A1B1,若AOB的外接圆的直径为 1,则A1OB1的外接2U AB x *l N g1 x, 若ACuBm 2 m 1n ,合n 0 , 1,,2 ,则3集,
6、 4B _14.若圆x y 4与圆x222 y22ay6 0a 0的公共弦的长为2 3,则a _12CBCA,则MAMB _6315.若等边ABC的边长为2 3,平面内一点M满足CM16.若关于x的不等式2x12 ax2的解集中的整数恰有 3 个,则实数a的取值范围是_三解答题三解答题; ;本大题共本大题共 6 6 小题,共小题,共 7676 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答17. (本小题满分(本小题满分 1212 分)分)在ABC中,BC (1)求AB的值(2)求sin2A5, AC 3,sin C 2sin A的值418.
7、(本小题满分(本小题满分 1212 分)分)为了了解某市开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取 7 个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有 18,27,18 个工厂(1)求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数(2)若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个工厂中至少有一个来自A区的概率19. (本小题满分(本小题满分 1212 分)分)如图,在四棱锥P ABCD中,PD 平面ABCD,AD CD,DB平分ADC,E为的PC中点,AD CD 1,DB 2 2(1)证明:PA/平面BDE(2)证明:AC 平面PBD(3)求直
8、线BC与平面PBD所成角的正切值来源于网络20. (本小题满分(本小题满分 1212 分)分)已知等差数列an的公差不为 0.设Sn a1 a2q anqn1,(1)若q 1,a11,S315,求数列an的通项公式(2)若a1 d,且S1,S2,S3成等比数列,求q的值(3)若q 1,证明1qS2n21. (本小题满分(本小题满分 1414 分)分)设函数1qT2n2dq1q2n1q21fx x3 x2m21xxR,其中m 03(1)当m 1时,求曲线(2)求函数y fx在点1, f1处的切线的斜率fx的单调区间与极值fx有三个互不相同的零点0,x1,x2,且x1 x2,若对任意的xx1,x2
9、, fx f1恒成立,求(3)已知函数m的取值范围22. (本小题满分(本小题满分 1414 分)分) a2x2y2已知椭圆221a b 0的两个焦点分别为F,0的直线与椭圆相交于1c,0和F2c,0,过点EabcA,B两点,且F1A/F2B, F1A 2 F2B(1)求椭圆的离心率(2)求直线AB的斜率(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点Hm,nm 0在AF1C的外接圆上,求n的值m20092009 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)答案解析数学(文史类)答案解析参考公式:。如果事件 A,B 互相排斥,那么 P(A
10、UB)=P(A)+P(B)。棱柱的体积公式 V=sh。其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高1. 【答案】D5i5i(2i) 2i 12i(2i)(2i)【解析】由已知,【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算。2. 【答案】B来源于网络【解析】由已知,先作出线性规划区域为一个三角形区域,得到三个交点( 2,1)(1,2)(4,5),那么作一系列平行于直线2x 3y 0的平行直线,当过其中点(2,1)时,目标函数最小。【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力。3【答案】A3x x,解得x 0,1,1,显然条件的集合小,结论表示的集合大,由集合的包含关系,我们不难得【
11、解析】 因为到结论。【考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。考查逻辑推理能力。4 【答案】C22b 1,c 3,a c b2,因为双曲线的焦点在 x 轴上,故渐近线方程为【解析】由已知得到y b2x xa2【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。5.【答案】B【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到6. 【答案】C【解析】当ia 0,0 c 1,而b log23 1,因此选 B。【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本的运算能力。1时, S=1;当 i=2 时, S=5;循环下去,当 i=3
12、 时, S=14;当 i=4 时,S=30;【考点定位】本试题考查了程序框图的运用。7. 【答案】D【 解 析 】 由 已 知 , 周 期 为2,w 2w, 则 结 合 平 移 公 式 和 诱 导 公 式 可 知 平 移 后 是 偶 函 数 ,sin2(x )4 cos2x,故选 D【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用。8. 【答案】A【解析】由已知,函数先增后减再增当x 0,解得f (x) 2 f (1) 3令f (x) 3,x 1,x 3。x 6 3,x 3当x 0,故f (x) f (1) 3,解得3 x 1或x 3【考点定位】本试题考查分段
13、函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。9. 【答案】C来源于网络11a b2 log ab log () 133ax by 3,x loga3, y logb3xy2【解析】因为,【考点定位】本试题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力。10. 【答案】A【解析】由已知,首先令x 0,排除 B,D。然后结合已知条件排除 C,得到 A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点,考查了分析问题和解决问题的能力。二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填写在题中的横线上。)11.【答案】2A BAB
14、 2r 1,11 2R, A1B1 2ABA1OB1的外接圆半径是AOBsinO【解析】 由正弦定理可以知道,sinO,所以外接圆半径的二倍。【考点定位】本试题考查了正弦定理的运用。以及三角形中外接圆半径与边角的关系式运用。考察了同学们对于新问题的转化化归思想。12.【答案】3【解析】由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱,两个底面是等腰的三角形,且底边为 2,等腰三V sh 角形的高位 a,侧棱长为 3,结合面积公式可以得到12a3 3 32,解得 a=3【考点定位】本试题考查了简单几何体的三视图的运用。培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力。13.【答案】2,4,6,8【解析】U
15、 A B 1,2,3,4,5,6,7,8,9ACUB 1,3,5,7,9B 2,4,6,8【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。14.【答案】11|1ay 1a,【解析】 由已知, 两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为利用圆心 (0, 0) 到直线的距离 d|22 31,解得 a=1为2【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。15.【答案】-2【解析】合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设C(0,0), A(2 3,0),B( 3,3)3 3 13135(,)MA (,),MB (,)2222,运
16、用数量积公式解得为-2.这样利用向量关系式,求得 M22,然后求得【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用。也体现了向量的代数化手段的重要性。考查了基本知识的综合运用能力。来源于网络25 49,)91616.【答案】(22(a 4)x 4x 1 0(a 4)x 4x 1 0中的 4a 0,且有【解析】因为不等式等价于,其中14a 0,故0 a 4,不等式的解集为2a3 整数解集。所以 x 1112a,42a2则一定有 1,2,3 为所求的112a 425 49,)916,解得 a 的范围为(【考点定位】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用。考查了分类讨论思想以及逆向思维
17、的能力。三、解答题217. 【答案】10ABBCBCAB sinC 2BC 2 5sin A,于是sin A【解析】(1)解:在ABC中,根据正弦定理,sinCAB2 AC2 BC2cos A 2AB AC(2)解:在ABC中,根据余弦定理,得52于是sin A 1cos A=5,sin2A 2sin Acos A 从而43,cos2A cos2Asin2A 55【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。1118. 【答案】(1) 2,3,2(2)2171639,所以从 A,B,C 三个区中应【解析】 (1)
18、解: 工厂总数为 18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为分别抽取的工厂个数为 2,3,2.(2)设A1, A2为在 A 区中抽得的 2 个工厂,B1,B2,B3为在 B 区中抽得的 3 个工厂,C1,C2为在 C 区中抽得的 2 个C72种,随机的抽取的 2 个工厂至少有一个来自 A 区的结工厂,这 7 个工厂中随机的抽取 2 个,全部的可能结果有:果有(A1, A2),(A1,B2) (A1,B1)(A1,B3)(A1,C2) (A1,C1),同理A2还能组合 5 种,一共有 11 种。所以所求的概1111221C率为7来源于网络【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算
19、随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识,考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。119.【答案】(1)略(2)略(3)3【解析】 证明:设AC BD H,连结 EH,在ADC中,因为 AD=CD,且 DB 平分ADC,所以 H 为 AC 的中点,又有题设,E 为 PC 的中点,故EH / PA,又HE 平面BDE,PA 平面BDE,所以PA/平面BDE(2)证明:因为PD 平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PD 由(1)知,BD ACAC,PD BD D,故AC 平面PBD(3)解:由AC 平面PBD可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影,所以CBH为直线与平面 PB
20、D 所成的角。由AD CD,AD CD 1,DB 2 2,可得DH CH 23 2,BH 22在RtBHC中,tanCBH CH11BH3,所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为3。【考点定位】本小题主要考察直线与平面平行。直线和平面垂直。直线和平面所成的角等基础知识,考察空间想象能力、运算能力和推理能力。20.【答案】(1)an 4n 3(2)q 2(3)略【解析】 (1)解:由题设,代入解得dS3 a1 (a1 d)q (a1 2d)q2,将q 1,a11,S315 4,所以an 4n 3n N *a1 d,S1 d,S2 d 2dq,S3 d 2dq 3dq2,S1,S2,S
21、3(2)解:当S S1S3,即成等比数列,所以222(d 2dq) d(d 2dq 3dq2),注意到d 0,整理得q 2(3)证明:由题设,可得bn qn1,则S2n a1 a2q a3q2a2nq2n1T2n a1 a2q a3q2 a2nq2n1-得,+得,S2nT2n 2(a1q a3q2 a2n1q2n2)来源于网络式两边同乘以 q,得q(S2nT2n) 2(a1q a3q2 a2n1q2n2)32n1(1q)S2n(1 q)T2n 2d(q q q所以(3)证明:=2dq(1q2n) 1q2c1c2 (ak1al1)b1(ak21al2)b2(aknaln)bn(k1l1)db1
22、(k2l2)db1q (knln)db1qn1因为若若d 0,b1 0,所以,取 i=n,取 i 满足kn lnkn lnki li,且kj lj,i 1 j n由(1)(2)及题设知,1 i n,且当ki li时,kili 1,由q n,kili q 1,i 1,2,i 1i2k l1 q 1,(k2l2)q q(q 1),(ki1li1)q即1 q(q 1)i2c1c21qi1i2i1 (q 1)(q 1)q (q 1)qq (q 1)qi1 1db11q所以因此c1c2 0c1c2 1,db1当ki li时,同理可得因此c1c2 0综上,c1 c2【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通
23、项公式,等比数列通项公式与前 n 项和等基本知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。21.【答案】(1) 1 (2)f (x)在(,1 m)和(1 m,)内减函数,(1 m,1 m)内增函数。f (x)在x 1 m在函数231m m2f (1 m),且f (1 m)=33处取得极大值21m3 m2f (x)在x 1m处取得极小值f (1 m),且f (1 m)=33函数m 1时,f (x) 【解析】解:当所以曲线13x x2, f/(x) x2 2x,故f(1) 13y f (x)在点(1,f(1 )处的切线斜率为 1.来源于网络22f (x) x 2x m 1f (x) 0
24、,得到x 1 m,x 1 m(2)解:,令因为m 0,所以1 m 1 mf (x), f (x)的变化情况如下表:当 x 变化时,+0极小值-0极大值+f (x)在(,1 m)和(1 m,)内减函数,在(1 m,1 m)内增函数。231m m23函数f (x)在x 1 m处取得极大值f (1 m),且f (1 m)=321m3 m2f (x)在x 1m处取得极小值f (1 m),且f (1 m)=33函数11f (x) x(x2 x m21) x(x x1)(x x2)33(3)解:由题设,14x2 xm21 1(m21) 0 x ,xx x2 3,且3所以方程3=0 由两个相异 的实根12,
25、故1,解 得11m (舍),m 22因为x1 x2,所以2x2 x1 x2 3,故x23121x11 x2,则f (1) (1 x1)(1 x2) 0f (x1) 0,不合题意3若,而若1 x1 x2,则对任意的xx1,x2有x x1 0,x x2 0,1f (x) x(x x1)(x x2) 0f (x1) 0,所以函数f (x)在xx1,x2的最小值为 0,于是对任意的3则又f (1) m2331 m 0333,解得xx1,x2,f (x) f (1)恒成立的充要条件是13( ,)综上,m 的取值范围是23【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的运算,以及函数与方程的根的关系解不等
26、式等基础知识,考查综合分析问题和解决问题的能力。来源于网络e 22. 【答案】(1)c32n2 2k a3(2)3(3)m5【解析】 (1)解:由F1A/ F2B,| F1A| F2B |,得| EF2| F2B |1| EF1| F1A|2,从而a2c1c2c3a2e c22a3c,整理得a 3c,故离心率22222222x 3y 6cb a c 2c(2)解:由(1)知,所以椭圆的方程可以写为a2y k(x )c即y k(x 3c)设直线 AB 的方程为y k(x 3c)2222x 3y 6cA(x , y )B(x , y )1122由已知设则它们的坐标满足方程组222222(2 3k
27、)x 18k cx 27k c 6c 0消去 y 整理,得 48c2(13k2) 0,依题意,33 k 3318k227k2c26c2x1 x2,x1x22x 3c 2x223k23k2而,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以129k2c 2c9k2c2 2c2k x1,x 22323k23k2,将结果代入韦达定理中解得联立三式,解得(3)由(2)知,x1 0,x223ck 3时,得 A(0,2c)由已知得C(0, 2c)2,当y 2c2cc (x ),( ,0)222直线 l 与 x 轴的交点2是AF1C的外接圆的圆心,线段AF1的垂直平分线 l 的方程为cc(x )2 y2 ( c)222因此外接圆的方程为c29c22(m ) n 24n 2(m c)直 线F2B的方 程 为y 2(x c),于 是 点H(m,n)满 足方 程 组5c2 2cn2 2,n 32,故m5由m 0,解得m 来源于网络k 当2n2 23时,同理可得m5【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想,考查运算能力和推理能力。来源于网络
限制150内