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1、阶段质量检测四 专题一四“综合检测”(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知双曲线 x21 上一点 P(,2),F1,F2 为双曲线的左、右焦y223点,则F1PF2的角平分线与 x 轴的交点 M 到 PF1的距离是( )A1 B.32C. D.2 334 33解析:选 C 由题意可知,F1PF2是直角三角形且F1PF260,|PF2|2,由点 M 在F1PF2的角平分线上知点 M 到 PF1的距离等于点 M 到 PF2的距离,即为|F2M|2tan 30,故选 C.2 3
2、32已知角 为第三象限角,且 tan ,则 sin cos ( )34A B7515C. D.1575解析:选 A 由题可得Error!因为 是第三象限角,所以Error!故 sin cos .选 A.753(2019浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( )A15 cm2 B21 cm2C24 cm2 D33 cm2解析:选 C 由三视图得该几何体为一个底面圆直径为 6,母线长为 5 的圆锥,则其表面积为 32 6524,故选 C.124已知平面 ,直线 m,n 满足 m,n,则“mn”是“m”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充
3、分必要条件 D既不充分也不必要条件解析:选 A m,n,当 mn 时,m 成立,即充分性成立;当 m 时,mn 不一定成立,即必要性不成立,则“mn”是“m”的充分不必要条件,故选 A.5已知 O 为坐标原点,点 A,B 在双曲线 C:1(a0,b0)上,x2a2y2b2且关于坐标原点 O 对称若双曲线 C 上与点 A,B 横坐标不相同的任意一点 P满足 kPAkPB3,则双曲线 C 的离心率为( )A2 B4C. D1010解析:选 A 设 A(x1,y1),P(x0,y0)(|x0|x1|),则 B(x1,y1),则 kPAkPB.因为点 P,A 在双曲线 C 上,所以y0y1x0x1y0
4、y1x0x1y2 0y2 1x2 0x2 1b2x a2y a2b2,b2x a2y a2b2,两式相减可得,故3,于是2 02 02 12 1y2 0y2 1x2 0x2 1b2a2b2a2b23a2.又因为 c2a2b2,所以双曲线 C 的离心率 e 2.故选 A.1(ba)26已知 AD 与 BC 是三棱锥 ABCD 中相互垂直的棱,若 ADBC6,且ABDACD60,则三棱锥 ABCD 的体积的最大值是( )A36 B362C18 D182解析:选 D 如图,过 C 作 CFAD,垂足为 F,连接 BF,BCAD,CFAD,BCCFC,BC平面 BCF,CF平面BCF,AD平面 BCF
5、,V三棱锥 ABCDV三棱锥 ABCFV三棱锥 DBCF SBCFAF SBCFFD1313 SBCF(AFFD) SBCFAD.1313ADBC6,V三棱锥 ABCD2SBCF,当BCF 的面积最大时,V三棱锥 ABCD取得最大值,易知当BCF 为等腰三角形时,SBCF取得最大值,即 V三棱锥 ABCD取得最大值取 BC 的中点 E,连接 EF,当BCF 为等腰三角形时,EFBC,2SBCF2 BCEF6EF,12又EF,CF2CE2CF29当 CF 最长时,V三棱锥 ABCD最大,ACD60,AD6,ADCF,当 ACCD 时,CF 取得最大值,此时 CF3,EF3,6EF18.322三棱
6、锥 ABCD 体积的最大值为 18.故选 D.27(2019浙南名校联盟)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,点 P 在平面A1B1C1内运动,使得二面角 PABC 的平面角与二面角 PBCA 的平面角互余,则点 P 的轨迹是( )A一段圆弧B椭圆的一部分C抛物线D双曲线的一支解析:选 D 设点 P 在底面 ABC 内的投影为点 O,过点 O 分别作 AB,BC的垂线,垂足分别为点 E,F,连接 PE,PF,则易得PEO 为二面角 PABC 的平面角,PFO 为二面角 PBCA 的平面角,且 tanPEO,tanPFO,因OPOEOPOF为PEO 与PFO 互余,所以 tanPEOtanPF
7、O 1,即OPOEOPOFOEOFOP2(定值),所以点 O 在以 BA,BC 为渐近线的双曲线上,所以点 P 的轨迹为双曲线的一支,故选 D.8已知 F1,F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点,过 F2且垂直于 xx2a2y2b2轴的直线与椭圆交于 A,B 两点,若ABF1是锐角三角形,则该椭圆离心率 e的取值范围是( )A(1,) B(0,1)22C(1,1) D(1,1)222解析:选 C 由题意可知,A,B 的横坐标均为 c,且 A,B 都在椭圆上,所以1,c2a2y2b2从而可得 y,不妨令 A,B.b2a(c,b2a)(c,b2a)由ABF1是锐角三角形知AF1F20,解得 e1AF
8、2F1F2b2a2ca2c22ac2或 e0.又x1x2y1y2(y1y2)2y1y2t2t2,OAOB解得 t2 或 t1(舍去)SAFOSBFO |OF|y1y2| |y1y2|,1218m28824AFO 与BFO 面积之和的最小值为.24法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2)x1x2y1y2(y1y2)2y1y22,OAOBy1y22 或 y1y21(舍去)SAFOSBFO |y1y2| 1818 y2 1y2 22y1y218|y1|2|y2|2418.2|y1y2|424答案:2417已知双曲线 C1:1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,x2a2y2b2抛物线 C
9、2:y22px(p0)的焦点与双曲线 C1的一个焦点重合,C1与 C2在第一象限相交于点 P,且|F1F2|PF1|,则双曲线 C1的离心率为_解析:由题意可知,F1(c,0),F2(c,0)设点 P(x0,y0),过点 P 作抛物线C2:y22px(p0)准线的垂线,垂足为 A,连接 PF2.根据双曲线的定义和|F1F2|PF1|2c,可知|PF2|2c2a.由抛物线的定义可知|PF2|PA|x0c2c2a,则 x0c2a.由题意可知 c,又点 P 在抛物线 C2p2上,所以 y 2px04c(c2a),在 RtF1AP 中,|F1A|2|PF1|2|PA|2(2c)2 02(2c2a)28
10、ac4a2, 即 y 8ac4a2,所以 8ac4a24c(c2a),化简可得2 0c24aca20,即 e24e10,又 e1,所以 e2.3答案:23三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(本小题满分 14 分)设函数 f(x)cos2xsin xcos 3xm(0,mR),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 .6(1)求 的值;(2)如果 f(x)在区间上的最小值为,求 m 的值3,563解:(1)f(x)cos 2x sin 2xm321232sinm,(2x3)32依题意 2 ,解得 .63212(2)由(1)
11、知,f(x)sinm,(x3)32又当 x时,x ,3,5630,76故 sin1.12(x3)从而 f(x)在上取得最小值 m,3,561232因此由题设知 m,故 m.1232331219(本小题满分 15 分)(2019台州调研)已知斜率为 k 的直线 l 经过点M(0,m),且直线 l 交椭圆y21 于 A,B 两个不同的点x24(1)若 k1,且 A 是 MB 的中点,求直线 l 的方程;(2)若|AB|随着|k|的增大而增大,求实数 m 的取值范围解:(1)若 k1,则直线 l 的方程为 yxm,代入椭圆方程 x24y24,得 5x28mx4(m21)0.设 A(x1,y1),B(
12、x2,y2),则 64m280(m21)16(5m2)0,m(,),55x1x2,x1x2.8m54m215由 A 是 MB 的中点,知 x22x1,代入上式得 x1m,x2m,8151615则m2,解得 m.8 161524m2153 6513所以直线 l 的方程为 yx或 yx.3 65133 6513(2)设直线 l 的方程为 ykxm,代入椭圆方程 x24y24,得(14k2)x28kmx4(m21)0,设 A(x1,y1),B(x2,y2)则 64k2m216(4k21)(m21)16(14k2m2)0,x1x2,x1x2.8km14k24m2114k2则|AB|x1x2|1k21k
13、2x1x224x1x2.4 1k2 14k2m214k2设 t14k2,t1,),则|AB|24t3tm2t24 t2m23t3m2t24.3m2(1t)2m231t1设 u ,u(0,1,1t由题意可知,函数 y3m2u2(m23)u1 在(0,1上为减函数当 m0 时,函数在(0,1上为增函数,不符合题意;当 m0 时,由0,得 m23,m236m2即 m或 m.33综上所述,m 的取值范围是(, ,)3320(本小题满分 15 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,a14,a27,且当 n3 时,SnSn22Sn13,数列bn为等比数列,b1b28(b4b5),a5b41.(1)求数列
14、an与bn的通项公式;(2)证明:数列anbn的前 n 项和 Tn0,所以 Tn7.3n72n21(本小题满分 15 分)已知点 P 在抛物线 C:y22px(p0)上,过 P 作圆 F:2y2的切线,且切线段长最短为.(xp2)p21632(1)求抛物线 C 的方程;(2)设点 M(t,0),N(2t,0)(t 为正常数),直线 PM,PN 分别交抛物线 C 于 A,B 两点,求ABP 面积取最小值时点 P 的坐标解:(1)设 P(x0,y0),因为,|PF|2p216(x0p2)2p216p24p2163p4所以,即 p2,3p432所以抛物线 C 的方程是 y24x.(2)设 P,A,B
15、,(y2 04,y0)(y2 14,y1)(y2 24,y2)设 lPA:xmyt,代入 y24x 得 y24my4t0,则 y0y14t.同理可得 y0y28t,所以 y1,y2,4ty08ty0又 lAB:(y1y2)y4xy1y2,所以|AB|,116y1y22|y2 1y2 24|P 到直线 lAB的距离 h,|y2 0y0y1y2y1y2y1y2|116y1y22所以 SABP|y y |18|y2 0y0y1y2y1y2y1y2|2 12 2 |y y0(y1y2)y1y2|y1y2|18 2 018|y2 012t32t2y2 0|4ty0|,t2|y012ty032t2y3 0
16、|设 f(y)y(y0),12ty32t2y3则 f(y)1,12ty296t2y4y412y2t96t2y4所以当 y(0,)时,函数 f(y)单调递减,62 33t当 y(,)时,函数 f(y)单调递增,62 33t所以当 y,SABP取到最小值,62 33t同理 y0 时,SABP也取最小值,所以当 y时,SABP取到最小值,62 33t此时 P.(3 332t, 62 33t)22(本小题满分 15 分)如图,已知抛物线 C1:x24y与椭圆 C2:1(ab0)交于点 A,B,且抛物线 C1x2a2y2b2在点 A 处的切线 l1与椭圆 C2在点 A 处的切线 l2互相垂直(1)求椭圆
17、 C2的离心率;(2)设 l1与 C2交于点 P,l2与 C1交于点 Q,求APQ 面积的最小值解:(1)设点 A(x0,y0),B(x0,y0),其中 x00,y00,则抛物线 C1在点 A 处的切线方程为l1:x0x2(y0y),椭圆 C2在点 A 处的切线方程为 l2:1.x0xa2y0yb2由题意可知,l1l2,则有1,x02(b2x0a2y0)且 x 4y0,所以 a22b2,2 0从而椭圆 C2的离心率 e .ca1b2a222(2)由椭圆 C2的离心率为,22可设椭圆方程为1,x22b2y2b2设 A(2t,t2),l1:ytxt2,联立Error!得(12t2)x24t3x2t42b20,所以|AP|xPxA|,1t2t21|2t12t22t|设 l2:y xt22,同理可得1t|AQ|xQxA|,11t211t2|2t4t2t|所以 SAPQ |AP|AQ|2212(t1t)4t4t312t2.8t21312t2t令 f(t),t0,t21312t2t则 f(t).t2122t213t2112t22t2令 f(t)0,得 t,22所以函数 f(t)在上单调递减,(0,22)在上单调递增(22,)所以 f(t)f,(22)278 2所以 SAPQ.27 22故APQ 面积的最小值为.27 22
限制150内