高考数学全书.doc
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1、题型 1 选填题 练熟练稳 少丢分第 1 讲 选填题的解法研究一 选择题、填空题在高考中的地位选择题、填空题在当今数学高考(全国卷)中,题目数量多且占分比例高(选择 12 题,填空 4 题,共 16 题,共计 80 分,其中选择题 60 分,填空题 20 分,占全卷总分的 53.3%)二 选择题、填空题难度及排序规律就一套试卷而言,选择题 110 题相对较简单,考查知识点明显,学生比较容易入手,11,12 题对思维要求较高,重视对数学素养的考查,学生需要综合运用多种数学思想方法才能解决填空题 1315 题难度比较低,很常规,主要考查基础知识,解题思路清晰,16 题难度相对较大,同样重视对数学素
2、养的考查今年的高考题设置了组合型选择题为实现设置多选题过渡,填空题出现了一题双空,难度增加,思维量加大三 选择题、填空题特点及考查功能从解答形式上看,选择题、填空题都不要过程,形式灵活,选择题还有选项可以提供额外的信息;从考查知识点上看,选择题、填空题都能在较大的知识范围内,实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查;从运算因素上看,选择题、填空题都对运算要求较低,呈现多想少算的特点四 选择题、填空题解答策略选择题、填空题的结构特点决定了解答选择题、填空题的方法,除常规方法外,还有一些特殊的方法解答选择题、填空题的基本原则是:“小题不大做” ,要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息
3、,排除干扰,利用矛盾,作出正确的判断数学选择题的求解,一般有两种思路:一是从题干出发考虑,探求结果;二是从题干和选项联合考虑,或从选项出发探求是否满足题干条件,由此得到做选择题的几种常用方法:直接法、排除法、构造法、特例法、代入验证法、数形结合法等填空题虽然没有选项提供参考,但依然可以根据其特点,考虑直接法、构造法、特例法等五 选择题、填空题答题禁忌选择题、填空题答题时,一定要注意认真审题,理解清楚题意后再作答选择题确定选项后,其余选项也应该看一看,弄清楚它们错在哪里不要一味图快,还是要以保证正确率为主如果某题不太好解答,应及时调整策略,去解答下一题切忌在某一道题上花费过多时间这样很容易影响答
4、题的心理状态,产生紧张、焦虑等负面情绪另外涂答题卡时,要注意题号排列规律,不要出现答串行等低级失误选择题要修改的话,一定要先把原有选项擦除干净,再用 2B 铅笔涂黑新选项方法汇总 选填通用方法一 直接法直接法是指直接从题目条件出发,利用已知的条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识,通过严谨的推理、准确的运算、合理的验证,从而直接得出正确结论的解题方法解答选择题、填空题时,此方法一般都会是考生最先考虑的方法,也是解题最常用的方法之一但是此种方法并没有充分利用选择题、填空题的题型特点,因此多用于解答一些比较容易的选、填题题型一 (2018全国卷)已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直
5、线与平面 所成的角相等,则 截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C D3 342 333 2432思维启迪 首先利用正方体的棱是 3 组且每组有互相平行的 4 条棱,所以与 12 条棱所成的角相等,只需与从同一个顶点出发的 3 条棱所成的角相等即可,从而判断出面的位置,截正方体所得的截面为一个正六边形,且边长是面的对角线的一半,应用面积公式求得结果.解析 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,所以在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面 AB1D1与线 AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等的,所以平面 AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的,同理,平面 C1B
6、D 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的,要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面 AB1D1与 C1BD 中间的,且过棱的中点的正六边形,边长为,所以其面积为 S6 2,故选 A221232(22)3 34答案 A特教评析该题考查的是有关正方体被平面所截得的截面多边形的面积问题,首要任务是需要先确定截面的位置,之后需要从题的条件中找寻相关的字眼,从而得到其为过六条棱的中点的正六边形,利用六边形的面积的求法,应用相关的公式求得结果.题型二 设等比数列an满足 a1a310,a2a45,则 a1a2an的最大值为_.思维启迪 本题以数列为背景,综合考查等比数列的通项公式,幂的运算
7、性质,等比数列求和公式等多个知识点数列是高中数学的一个重要模块,对数列的考查,在历年全国卷中都能见到此类问题,多直接利用题目条件,结合数列的相关公式计算解决.本题中首先根据题目的两个条件,结合等比数列的通项公式,可以列出方程,解出首项及公比,进而可以将 a1a2an表示为关于 n 的函数,利用函数的相关知识求解其最大值.解析 解法一:由题可得Error!两式相除,解得 q ,a18,则12ann4,所以 a1a2an32n4.(12)(12)(12)(12)(12)n7n2由于指数函数 yx单调递减,因此当最小时,a1a2an最大,(12)nn72即 n3 或 n4 时,a1a2an有最大值
8、2664.解法二:同解法一,解得 ann4.设 bna1a2an,(12)由Error!得Error!解得 3n4.所以当 n3 或 4 时,bn有最大值 b3b464.答案 64特教评析本题是根据题目条件,利用数列的相关公式,直接解决数列的最值问题解法一是从数列是特殊函数这个角度予以求解的,解法二是利用数列本身的一些特性予以求解这两种都是直接解决数列最值问题的常用方法.针对训练1.(2019河南郑州一模)张丘建算经卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾初日织五尺,今一月织九匹三丈 ”其意思为今有女子善织布,且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织 5 尺布,现在一个月(按
9、30 天计)共织 390 尺布则该女最后一天织多少尺布?( )A18 B20C21 D25答案 C解析 由题意知该女每天所织布的尺数可构成一个等差数列an,且a15,S30390,设该女最后一天织布尺数为 a30,则有390,30 5a302解得 a3021.故选 C2.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2在 x 轴上,离心率为.过 F1的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且ABF2的周长为 16,那22么 C 的方程为_.答案 1x216y28解析 设椭圆方程为1,由 e知 ,x2a2y2b222ca22故 .由于ABF2的周长为b2a212|AB|BF2
10、|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16,故 a4.b28.椭圆 C 的方程为1.x216y28二 特例法特例法的原理:如果结论对一般情况成立,那么对特殊情况一定也成立因此解选择、填空题时,可以考虑对题目条件特殊化,用特殊化后的条件解出问题的答案这种方法主要用来解决选择和填空题中结论唯一或其值为“定值”的问题,常常取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置,特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等等)来确定其结果,从而节省推理、论证、演算的过程,加快解题速度特例法是解决选填题的一种很好用的方法大多数时候,都能化繁为简,快速找到问题的答案但是,需要指出的是,特例法本身存在一定风险,即
11、如果某题答案不唯一,那么用特例法有可能漏解此时最好多举几个特例验证.题型一 已知函数 f(x)xxln x,若 kZ,且 k(x1)1恒成立,则 k 的最大值为( )A2 B3 C4 D5思维启迪 本题是以函数和导数为背景的恒成立问题,考查函数的单调性、最值与导数的关系等知识点直接做的话,可以转化为 y的最小值大于fxx1k;或者 yf(x)k(x1)的最小值大于 0 等,步骤繁琐,运算量较大;使用特例法更快捷,即原式对 x1 恒成立,那么对类似 x2,3 等这些特值也成立,从而可以缩小 k 的范围.解析 解法一:(直接法)设 g(x)xln x2,可得 g(x)1 0,故 g(x)在(1,)
12、上单调递增,而 g(3)1ln 30,所以 g(x)存在唯一一个零点 x0(3,4),且当 x(1,x0)时,g(x)g(x0)0,由题意得 x1 时,k 恒xln xxx1成立,设 h(x),则 h(x).所以 h(x)与 g(x)同号,xln xxx1xln x2x12gxx12 即 x(1,x0)时,h(x)0,所以 h(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增,所以 h(x)minh(x0)x0ln x01x01x0.x0x01x01故 k0,所以 g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,)上单调递增,所以 g(x)ming(e)3e0,于是 g(x)0 恒成立,即k3 满
13、足题意,故选 B答案 B特教评析解法一是直接法计算量较大,对数学能力要求较高;解法二巧妙的利用x2 时的特殊情况,成功得到 k3.当然,从严谨性的角度出发,还需要检验一下 k3 是否成立就算如此,其计算量,思维量也远远小于直接法解选择、填空题,用好特例法往往能起到事半功倍的作用.题型二 (2019河北一模)已知 F1,F2分别为双曲线1(a0,b0)x2a2y2b2的左、右焦点,点 P 为双曲线右支上一点,M 为PF1F2的内心,满足 SMPF1SMPF2SMF1F2,若该双曲线的离心率为 3,则 _(注:SMPF1,SMPF2,SMF1F2分别为MPF1,MPF2,MF1F2 的面积).思维
14、启迪 本题以双曲线为背景,综合考查了双曲线定义,三角形内心的性质,三角形面积计算公式等多个知识点,综合性较强本题涉及双曲线焦点,一般需要考虑双曲线定义,由于 M 是内心,因此涉及的三个三角形如果分别以PF1,PF2,F1F2为底,则高相等,离心率提供了双曲线 a,b 的关系综合利用这些条件,可以完成本题求解另一方面,本题属于结论为定值,且题干中未对双曲线方程及 P 点位置作过多限制,因此可以考虑特例法,能更高效快捷地解答此题.解析 解法一:(直接法)设PF1F2内切圆半径为 r,由 SMPF1SMPF2SMF1F2得: |PF1|r |PF2|r |F1F2|r,121212|PF1|PF2|
15、F1F2|,|PF1|PF2|F1F2|,点 P 为双曲线右支上一点,2a2c, , 3, .acca13解法二:(特例法)设双曲线为 x21,则 F1(3,0),F2(3,0),取y28P(3,8),如图,则此时PF1F2为直角三角形,由勾股定理得|PF1|10;所以 SPMF15r,SMPF24r,SMF1F23r,易得 .13答案 13特教评析解法一是直接法需要用双曲线定义得到 2a2c,对数学能力有一定要求;解法二巧妙的利用特殊双曲线和特殊点,能快捷的得出 的值,思维量小于直接法解选择、填空题,用好特例法常常能化难为易.针对训练1.(2019长春一模)已知点 O 为坐标原点,点 M 在
16、双曲线 C:x2y2(为正常数)上,过点 M 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 N,则|ON|MN|的值为( )A B 42C D无法确定答案 B解析 因为点 M 为双曲线上任一点,所以可取点 M 为双曲线的右顶点,由渐近线 yx 知OMN 为等腰直角三角形,此时|OM|,|ON|MN|,2所以|ON|MN| .22.(2019佛山调研)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c2(ab)26,C ,则ABC 的面积是_.3答案 3 32解析 解法一:当ABC 为等边三角形时,满足题设条件,则 c,C 且 ab.636ABC 的面积 SABC absinC.12
17、3 32解法二:c2(ab)26,c2a2b22ab6.C ,3c2a2b22abcos a2b2ab.3联立得ab60,即 ab6.SABC absinC 6.1212323 32三 构造法构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时,应根据题设条件和结论的特征、性质,从新的角度,用新的观点去观察、分析、理解对象,牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系,运用问题的数据、形式、坐标等特征,使用题中的已知条件为原材料,运用已知数学关系式和理论为工具,在思维中构造出满足条件或结论的数学对象,从而,使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来,并借助该数学对
18、象方便快捷地解决数学问题.题型一 (2019惠州市高三第一次调研考试)已知函数 yf(x)对于任意的x满足 f(x)cosxf(x)sinx1ln x(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数),则(0,2)下列不等式成立的是( )Aff2(3) (4)2(3) (4)Cff Df0;所以 g(x)在递减,在递增.(1e,2)(0,1e)(1e,2)因为 f,选 B1e6432f(6)cos6f(4)cos4f(3)cos32(3) (4)答案 B特教评析本题解法即利用积商函数求导法则以及三角函数求导的特点构造出函数g(x),然后利用其单调性比较大小.fxcosx题型二 已知实数 ,x,y 满足
19、 221,Error!则 zxy 的最大值是_.思维启迪 本题中第一个方程可以联想到圆或同角三角函数等,第二个不等式组可以转化为平面区域,而 z 从形式上看,可以看成直线方程或者向量的数量积等根据形式上的特点,可以考虑构造直线、向量等解决本题另外,本题也可以直接使用柯西不等式求解.解析 解法一:(构造向量数量积)设 a(,),b(x,y),则zab|a|b|cos|b|,结合图象知,当 x2,y2 时,|b|max2,因此2zmax2,此时 a,b 同向,即 .222解法二:(柯西不等式)(xy)2(22)(x2y2)x2y2;又因为Error!则结合图形知当 x2,y2 时,2,因此所求最大
20、值为 2,此时 .x2y22222解法三:(构造几何图形)zxy 可以看作一条直线,原点到此直线的距离 d|z|,因此|z|的几何意义是原点到此直线的距离,所以问题转|z|22化为何时原点到直线 zxy 的距离最大,结合图形知,当直线过(2,2)点,且斜率为1 时,|z|最大,此时 z|z|2.2答案 22特教评析解法一根据题目所求式子的形式,构造向量的数量积,成功将问题简化为两个向量何时数量积最大,结合图形,一目了然;如果学习过柯西不等式,那么解法二直接利用柯西不等式求解,也比较简洁解法三考虑到 z 的几何意义,构造几何图形解决问题恰当的构造,可以使原问题中隐含的关系、性质等,清晰的展现出来
21、,从而帮助我们简洁的处理原问题.针对训练1.(2019河北石家庄高三一模)已知函数 f(x)axeln x 与 g(x)的x2xeln x图象有三个不同的公共点,其中 e 为自然对数的底数,则实数 a 的取值范围为( )Aa1Ca1 Dae答案 B解析 (构造方程)由 f(x)g(x)得 e22e(a1)1a0,令 h(x)(ln xx)ln xxt(x0 且 xe),则 h(x),令 h(x)0,得 xe,ln xx1ln xx2h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,)上单调递减又当 x时,h(x)0,作出函数 h(x)的大致图象,如图所示.e2t2e(a1)t1a0,因为原方程有三个解,
22、故此方程两根满足 01.故选 B1e2.f(x)为定义在 R 上的可导函数,且 f(x)f(x),对任意正实数 a,则下列式子成立的是( )Af(a)eaf(0)Cf(a)f0eaf0ea答案 B解析 令 g(x),则 g(x)0.所以 g(x)fxexfxexfxexex2fxfxex在 R 上为增函数又 a0,故 g(a)g(0),即,即 f(a)eaf(0)故选 Bfaeaf0e0四 数形结合法中学数学研究的对象可分为数和形两大部分,数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直
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