矩阵的秩.ppt
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2矩阵的秩,定义7,我们已经知道,对于一个n阶矩阵A来说,其行列式|A|是否为零,成为判断A是否可逆的重要条件.对于任一个矩阵来说,也可以利用行列式理论来探讨的内在特性,这就是矩阵的秩的概念.,显然,n阶方阵只有一个n阶子式,即为该方阵的行列式。,一般地,矩阵A的k阶子式共有个。下面给出矩阵A的秩的概念。,定义8,矩阵A的所有不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩,记作R(A),并归定R(O)=0.,如果n阶方阵A的秩等于n,则称A为满秩矩阵,否则称A为降秩矩阵。如果矩阵A的秩R(A)=n,则称矩阵A为列满秩矩阵;如果矩阵的秩为m,则称矩阵A为行满秩矩阵。,例如对于矩阵,所以矩阵A的秩R(A)=3,由矩阵的秩概念可得,定理3,由定义8知:,例,解,定理4,证,经过一次初等行变换,矩阵的秩不变,经若干次初等行变换,矩阵的秩当然还不会变,推论初等列变换也不改变矩阵的秩证设A经初等列变换化成了矩阵B,则有,例,解可把A化成阶梯型,也可作如下初等变换,推论,定理5,推论同型矩阵A与B等价的充要条件是R(A)=R(B).,推论,R(A)=2.,解,例设A为n阶矩阵(n2),证明,证若R(A)=n:,R(A)n-1:,detA0,,A中所有n-1阶子式均为零,,例证明,证,存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2使得,可逆矩阵,为什么?,
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