2016年高考文科数学全国卷(全国ⅠⅡ Ⅲ卷)共三套试卷试题真题含答案.pdf
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1、数学试卷第 1页(共 52页)数学试卷第 2页(共 52页) 绝密启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷 1) 文科数学 使用地区:山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1 至 3 页,第 卷 4 至 6 页,满分 150 分. 考生注意: 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答 题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓 名是否一致. 2. 第卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净
2、后,再选涂其他答案标号.第卷用 0.5 毫米的黑色墨水 签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3. 考试结束,监考员将本试题卷、答题卡一并收回. 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 设集合1,3,5,7A , |25Bxx ,则AB () A.1,3B.3,5 C.5,7D.1,7 2. 设(12i)(i)a的实部与虚部相等,其中a为实数,则=a() A.3B.2C.2D.3 3. 为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余 下的 2 种花种在另一个花坛中,则
3、红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 () A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 4.ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知5a ,2c , 2 cos 3 A,则 b () A.2B.3 C.2D.3 5. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 1 4 ,则 该椭圆的离心率为 () A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 6. 将函数2sin(2) 6 yx 的图象向右平移 1 4 个周期后,所得图象对应的函数为 () A.2sin(2) 4 yx B.2sin(2) 3 yx C.2sin(2) 4
4、yx D.2sin(2) 3 yx 7. 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该 几何体的体积是 28 3 ,则它的表面积是 () 姓名_准考证号_ -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 数学试卷第 3页(共 52页)数学试卷第 4页(共 52页) A.17B.18 C.20D.28 8. 若0ab,01c,则() A.loglog ab ccB.loglog cc ab C. cc abD. ab cc 9. 函数 2|x| 2yxe在 2,2的图象大致为() AB CD 10. 执行如图的程序框图,如果输入的0 x ,1y ,1n ,则输出x,y的值满足
5、 () A.2yxB.3yx C.4yxD.5yx 11. 平面过正方体 1111 ABCDABC D的顶点A,/平面 11 CB D,平面=ABCD m, 平面 11= ABB An,则m,n所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 12. 若函数 1 ( )sin2sin 3 f xxxax在(,) 单调递增,则a的取值范围是 ( ) A.1,1B. 1 1, 3 C. 1 1 , 3 3 D. 1 1, 3 第 II 卷 注意事项: 第卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答 案无效. 本卷包括必考题和选考题两部分.第
6、1321 题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第 2224 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 设向量 a1(), x x,b(1,2),且 ab,则x . 14. 已知是第四象限角,且 3 sin() 45 ,则tan() 4 . 15. 设直线2yxa与圆 22 :220C xyay相交于,A B两点,若| 2 3AB ,则 圆C的面积为. 16. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要 甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材 料 0.
7、3 kg,用 3 个工时,生产一件产品A的利润为 2 100 元,生产一件产品 B 的利 润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条 件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 n a是公差为3的等差数列,数列 n b满足 1 1b , 2 1 3 b , 11nnnn a bbnb . ()求 n a的通项公式; ()求 n b的前n项和. 18.(本小题满分 12 分) 数学试卷第 5页(共 52页)数学试卷第 6页(共 52页) 如图
8、, 已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形,6PA 顶点P在平面ABC内 的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于 点G. ()证明:G是AB的中点; ()在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由) ,并求四面体 PDEF的体积 19.(本小题满分 12 分) 某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购 进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如 果备件不足再购买, 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损 零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内
9、更换的易损零件数, 得下面柱状图: 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数, y 表示 1 台机器在购买易损 零件上所需的费用(单位:元) ,n 表示购机的同时购买的易损零件数. ()若19n ,求 y 与 x 的函数解析式; ()若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; ()假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数, 以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件? 20.(本小题满分 12
10、分) 在 直 角 坐 标 系xOy中 , 直 线:(0)l yt t交y轴 于 点M, 交 抛 物 线 2 :2C ypx(0)p 于点P,M关于点P的对称点为N, 连结ON并延长交C 于点H. ()求 | | OH ON ; ()除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 2 ( )(2)(1) x f xxea x. ()讨论( )f x的单调性; ()若( )f x有两个零点,求a的取值范围. 请考生在第 2224 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修41:几何证明选讲 如图,OAB是等腰
11、三角形,120AOB .以 O 为圆心, 1 2 OA为半径作圆. ()证明:直线AB与O相切; ()点,C D在O上,且, , ,A B C D四点共圆,证明:ABCD. 23.(本小题满分 10 分)选修44:坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 cos , 1sin , xat yat (t为参数,0a ).在 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 2: 4cosC. ()说明 1 C是哪一种曲线,并将 1 C的方程化为极坐标方程; ()直线 3 C的极坐标方程为 0 ,其中 0 满足 0 tan2,若曲线 1 C与 2 C的公 共点都在 3
12、 C上,求 a. 数学试卷第 7页(共 52页)数学试卷第 8页(共 52页) 24.(本小题满分 10 分) ,选修45:不等式选讲 已知函数( ) |1|23|f xxx. ()画出( )yf x的图象; ()求不等式|( )| 1f x 的解集. 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷 1) 文科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】B 【解析】集合A与集合B的公共元素有 3,5,故3,5AB ,故选 B 【提示】直接利用交集的运算法则化简求解即可. 【考点】集合的交集运算 2.【答案】A 【解析】(1 2i)(i)2(12 )iaaa ,由已知,得212aa ,解
13、得3a ,选 A 【提示】利用复数的乘法运算法则,通过复数相等的充要条件求解即可. 【考点】复数的概念,复数的乘法运算 3.【答案】C 【解析】将 4 种颜色的花种任选 2 种种在一个花坛中,余下 2 种种在另一个花坛中,有 6 种种法,其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有 4 种,故所求概率为 2 3 , 选 C 【提示】确定基本事件的个数,利用古典概型的概率公式,可得结论. 【考点】古典概型 4.【答案】D 【解析】由余弦定理得 2 2 5422 3 bb ,解得3b ( 1 3 b 舍去) ,选 D 【提示】由余弦定理可得 222 cos 2 bca A bc ,利用已知整理可得 2
14、 3830bb,从而 解得 b 的值. 【考点】余弦定理 5.【答案】B 【解析】如图,在椭圆中, 11 2 42 OFcOBbODbb,在RtOFB中, | |OFOBBFOD ,且 222 +abc,代入解得 22 4ac,所以椭圆的离心率 x y O 1 1 数学试卷第 9页(共 52页)数学试卷第 10页(共 52页) 为 1 2 e ,故选 B 【提示】设出椭圆的方程,求出直线的方程,利用已知条件列出方程,即可求解椭圆的 离心率. 【考点】椭圆的几何性质 6.【答案】D 【解析】 函数 2sin 2 6 yx 的周期为, 将函数 2sin 2 6 yx 的图像向右平移 1 4 个周期
15、即 4 个单位,所得图像对应的函数为 2sin 22sin 2 463 yxx ,故选 D 【提示】求得函数 y 的最小正周期,即有所对的函数式为 22 46 ysinx ,化 简整理即可得到所求函数式. 【考点】三角函数图像的平移 7.【答案】A 【解析】由三视图知,该几何体的直观图如图所示: 是一个球被切掉左上角的 1 8 ,即该几何体是 7 8 个球,设球的半径为R,则 3 7428 R 833 V ,解得R2,所以它的表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面 积之和,即 22 73 42217 84 ,故选 A 【提示】判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然后求解几
16、何 体的表面积. 【考点】三视图,球的表面积与体积 8.【答案】B 【解析】对于选项 A, lg log lg a c c a , lg log lg b c c b ,01c,lg 0c ,而0ab, 所以lg lgba ,但不能确定lga、lgb的正负,所以它们的大小不能确定; 对于选项 B, lg log lg c a a c , lg log lg c b b c ,两边同时乘以一个负数 1 lgc 改变不等号方向, 所以选项 B 正确; 对于选项 C,利用 c yx在第一象限内是增函数即可得到 cc ab,所以 C 错误; 对于选项 D,利用 x yc在R上为减函数易得 ab cc,
17、所以 D 错误.所以本题选 B 【提示】根据指数函数,对数函数,幂函数的单调性结合换底公式,逐一分析四个结论 的真假,可得答案. 【考点】指数函数,对数函数 9.【答案】D 【解析】函数 2| | ( )2e x f xx在2,2上是偶函数,其图像关于 y轴对称,因为 2 (2)8ef, 2 08e1,所以排除 A,B 选项;当 0,2x时,( ) = 4exfxx 有一零点,设为 0 x,当 0 (0,)xx时,( )f x为减函数,当 0 (,2)xx时,( )f x为增 函数.故选 D 【提示】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性,利用排除法, 可得答案. 【考点】函
18、数的图像与性质 数学试卷第 11页(共 52页)数学试卷第 12页(共 52页) 10.【答案】C 【解析】第一次循环: 012xyn, ,第二次循环: 1 23 2 xyn,第三次 循环: 3 6 2 xy,此时满足条件 22 36xy,循环结束,输出 3 6 2 xy, 满足 4yx .故选 C 【提示】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x,y 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【考点】程序框图 11.【答案】A 【解析】如图,设平面 11 CB D 平面 11 ABB A m ,平面 11 CB D 平面 11 ABB A
19、 n ,因 为平面 11 CB D,所以m m ,n n ,则m n, 所成角等于mn,所成的角.延 长AD,则mn,所成的角即为 1 AB,BD所成的角,即为60,故mn,所成角的 正弦值为 3 2 ,选 A. 【提示】画出图形,判断出 m、n 所成角,求解即可. 【考点】平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角 12.【答案】C 【解析】对 2 ( )1cos2cos0 3 fxxax ,xR恒成立,故 2 2 1(2cos1)cos0 3 xax, 即 2 45 coscos0 33 axx恒成立 ,即 2 45 0 33 tat对1,1t 恒成立,构造 2 45 ( ) 3
20、3 f ttat , 开口向下的二次函数 ( )f t的最小值的可能值为端点值, 故只需保证 1 ( 1)0 3 1 (1)0 3 fa fa ,解得 11 33 a.故选 C 【提示】求出 ( )f x的导数,由题意可得( )0fx 恒成立,设 ( 11)tcosxt ,即有 2 5430tat,对 t 讨论,分 t=0,0 1t ,10t ,分离参数,运用函数的单调 性可得最值,解不等式即可得到所求范围. 【考点】三角恒等变换,导数的应用 第卷 二、填空题 13.【答案】 2 3 【解析】由题意,02(1)0a bxx , 2 3 x 【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出 0a b ,进
21、行向量数量积的坐标运算即可得 出关于 x 的方程,解方程便可得出 x 的值. 【考点】向量的数量积,坐标运算 14.【答案】 4 3 【解析】由题意, 3 sin 45 , 4 cos 45 , 3 sinsincos cos 445 4 cos cossinsin 445 , 解得 1 sin, 5 2 7 cos, 5 2 所以 1 tan 7 , 1 1tantan 4 74 tan 1 43 1tantan11 47 . 数学试卷第 13页(共 52页)数学试卷第 14页(共 52页) 【提示】由得范围求得 4 的范围,结合已知求得 cos() 4 ,再由诱导公式求得 sin 4 及
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