2022年最新2019版高考数学大一轮复习-第九章第5节-第1课时-椭圆及其标准方程教案-文-新人教A版 .pdf
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1、1 第 1 课时椭圆及其标准方程最新考纲1. 了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知 识 梳 理在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数( 大于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆. 这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 其数学表达式:集合P M|MF1| |MF2| 2a ,|F1F2| 2c,其中a0,c0,且a,c为常数:(1) 假设ac,则集合P为椭圆;(2) 假设ac,则集合P为线段;(3) 假设ac,则集合P为空集 . 标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(
2、ab0) 图形性质范围axa byb bxb aya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1( a,0) ,A2(a,0),B1(0 ,b) ,B2(0 ,b)A1(0 ,a) ,A2(0 ,a),B1( b,0) ,B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为 2a;短轴B1B2的长为 2b焦距|F1F2| 2c离心率eca (0 ,1) a,b,c的关系c2a2b2 常用结论与微点提醒 2b2a,称为通径 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页2 ecaa2b2a1b2a2. 3. 应用“点差法”时,要检验直线与圆
3、锥曲线是否相交. 诊 断 自 测1. 思考辨析 ( 在括号内打“”或“”)(1) 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2) 椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( ) (3) 方程mx2ny21(m0,n0,mn) 表示的曲线是椭圆.( ) (4)x2a2y2b21(ab0) 与y2a2x2b21(ab0)的焦距相同 .( ) 解析(1) 由椭圆的定义知,当该常数大于 |F1F2| 时,其轨迹才是椭圆,而常数等于 |F1F2| 时,其轨迹为线段F1F2,常数小于 |F1F2| 时,不存在这样的图形. (2) 因为ecaa2b2a1ba2,所以e越大,则ba越小,
4、椭圆就越扁. 答案(1) (2) (3) (4) 2.(2017 浙江卷 ) 椭圆x29y241 的离心率是 ( ) A.133B.53C.23D.59解析由已知,a3,b 2,则c945,所以eca53. 答案B 3.(2018 张家口调研) 椭圆x216y2251 的焦点坐标为 ( ) A.( 3, 0) B.(0 ,3)C.( 9, 0) D.(0 ,9)解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上, 且c2a2b225 169,c3,故焦点坐标为(0,3),故选B. 答案B C的右焦点为F(1 ,0),离心率等于12,则椭圆C的方程是 ( ) A.x23y241 B.x24y23 1 C.x24y
5、221 D.x24y231 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页3 解析由题意知c1,eca12,所以a2,b2a2c2C的方程为x24y231. 答案D 5.( 选修 11P42A6改编 ) 已知点P是椭圆x25y241 上y轴右侧的一点, 且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为 _. 解析设P(x,y) ,由题意知c2a2b2541,所以c 1,则F1( 1,0) ,F2(1,0) ,由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y1,把y1 代入x25y24 1,得x152,又x0,所以x15
6、2,P点坐标为152,1 或152, 1 . 答案152,1 或152, 1考点一椭圆的定义及其应用【例 1】 (1)(选修 11P42A7 改编 ) 如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是 ( ) A.椭圆C.抛物线(2) 椭圆x225y2 1 上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( ) A.5 B.6 C.7 解析(1) 连接QA. 由已知得 |QA| |QP|. 所以 |QO| |QA| |QO| |QP| |OP| r. 又因为点A在圆内,所以|OA| |OP| ,
7、根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆. (2) 由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是1028. 答案(1)A (2)D 规律方法1. 椭圆定义的应用主要有:判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页4 程和离心率等 . 2a |F1F2|. 【训练 1】 (1) 设定点F1(0 , 3),F2(0 , 3),动点P满足条件 |PF1| |PF2| a9a(a0) ,则点P的轨迹是 ( ) A.椭圆C.不存在(2) 与圆C1:(x3)2y21 外切,且与圆
8、C2:(x3)2y281 内切的动圆圆心P的轨迹方程为 _. 解析(1) a9a2a9a6,当且仅当a9a,即a3 时取等号,当a 3时, |PF1| |PF2| 6|F1F2| ,点P的轨迹是线段F1F2;当a0,且a3 时, |PF1| |PF2|6 |F1F2| ,点P的轨迹是椭圆. (2) 设动圆的半径为r,圆心为P(x,y) ,则有 |PC1| r1,|PC2| 9r. 所以 |PC1| |PC2| 10|C1C2| ,即P在以C1( 3, 0) ,C2(3 ,0) 为焦点,长轴长为10 的椭圆上,得点P的轨迹方程为x225y2161. 答案(1)D (2)x225y216 1 考点
9、二椭圆的标准方程【例 2】 (1) 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点32,52,(3,5) ,则椭圆的标准方程为_. (2)( 一题多解) 过点 (3,5) ,且与椭圆y225x29 1 有相同焦点的椭圆标准方程为_. 解析(1) 设椭圆方程为mx2ny21(m,n0,mn). 由322m522n1,3m5n1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页5 解得m16,n110. 椭圆的标准方程为y210 x261. (2) 法一椭圆y225x291 的焦点为 (0 , 4) ,(0 ,4) ,即c4.
10、由椭圆的定义知,2a3025 42302542,解得a 25. 由c2a2b2可得b24. 所以所求椭圆的标准方程为y220 x241. 法二设所求椭圆方程为y225kx29k 1(kb0). 过点F2(1 ,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长 |AB| 3,点A1,32必在椭圆上,1a294b21. 又由c 1,得 1b2a2. 由联立,得b23,a24. 故所求椭圆C的方程为x24y231. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页6 (2) 法一当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为x2a2y2b2 1 (
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