1行列式.ppt
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1、1 行列式行列式153123) 1(626312781542353425例如:122122112121121122122111221221b a -a ba b -b ax =x =a a -a aa a -a a,11122122aaaa11122122aaaa上述二阶行列式的定义可用对角线法则对角线法则 记忆。于是有:222121212221ababbaab221111211211,babaabba若记:11122122,aaDaa则(1.1)的解为:DDxDDx2211,1112112212212122aaa aa aaa,即:称a11a22a12a21为数表所确定的二阶行列式,记为11
2、21222b,baDa1112212bbaDa 例例1 1 求解二元线性方程组:731322121xxxx解解 由于,011921332D因此2112211DDx2217311D1173122D,。,1111122DDx二、三阶行列式二、三阶行列式 定义定义1.1 1.1 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa(1.2)(1.3) (1.3)式称为数表(1.2)所确定的三阶行列式。111213212223313233aaaaaaaaa332211aaa312312aaa322113aaa322311aaa332112aaa312213aaa记3231
3、42321D例例2 2 计算三阶行列式 例例3 3 求解方程0421641112xx解解 方程左端的三阶行列式即2x212x+16=0 , 解得 x=2 或 x=4。 解解 D= 126+12+36+12+2=68D=4x2+32+4x16x162x2 =2x212x+16 对三元线性方程组:333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa若记:332312222111211333331232211311123332323222131211333231232221131211baabaabaaDabaabaabaDaabaabaabDaaa
4、aaaaaaD, 则当系数行列式D0时,仍然有解: DDxDDxDDx332211, 共有6种放法,这六个不同的三位数是: 123,132,231,213,312,321 由引例可知所有不同的3级排列共有6个。一般地,所有不同的n级排列共有n!个。 引例引例 用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解解 这个问题就是把三个数字分别放在百位、十位和个位上,共有几种不同的放法? 定义定义1.2 1.2 由n个数 1,2,3,n 所组成的一个有序数组称为一个n n级排列级排列。2 2 排排 列列 在一个排列中,当某两个数的先后次序与标准次序不同时,即较大的数排在较小的数前面,就说
5、这两个数构成一个逆序逆序。 对n个自然数,通常规定从小到大为标准次序,一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数逆序数。例如: 排列123中没有逆序,其逆序数为(123)0; 排列132中有32一个逆序,其逆序数为(132)1; 排列213中有21一个逆序,其逆序数为(213)1; 排列231中有21、31二个逆序,则(231)2; 排列312中有31、32二个逆序,则(312) 2; 排列321中有32、31、21三个逆序,则(321)3. 用(j1j2jn)表示n级排列j1j2jn的逆序数。 逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列偶排列。例如: 123、231、
6、312为偶排列, 132、213、321为奇排列。 一般地,对n个自然数的一个排列 p1,p2,pn 考虑数pi(i=1,2,n) , 如果比pi大的且排在pi 前面的数有ti 个, 就说数pi的逆序数是ti , 全体数的逆序数的总和 例例4 4 求排列24351的逆序数。 解解 (24351)=t1+t2+t3+t4+t5=0+0+1+0+4=5 t=t1+t2+tn就是这个排列的逆序数。n1iit 在排列中, 对调任意两个元素的位置的变换叫做对换对换。例如:1325453214,1325414253都是对换。 定理定理1.11.1 对排列进行一次对换, 改变排列奇偶性。 证证 先证相邻对换
7、的情形. 设a1akabb1bm经一次相邻对换变为a1akbab1bm。显然, 数 a1,ak,b1,bm,的逆序数经对换并未改变,而a,b两数的逆序数改变为: 当ab时, 对换后a的逆序不变, b的逆序减少1; 当ab时, 对换后a的逆序增加1, b的逆序不变。所以对换后, 改变排列的奇偶性。 再证一般对换的情形. 相当于先对a进行m次相邻对换变成a1alb1bmabc1c2cn, 设排列 a1alab1bmbc1c2cn经一次对换变为 a1albb1bmac1c2cn再对b进行m+1次相邻对换变为a1albb1bmac1c2cn。 从而改变排列奇偶性。 证毕。 推论推论1 对排列做奇数次对
8、换改变排列的奇偶性,对排列做偶数次对换不改变排列的奇偶性。 推论推论2 在所有n(n1)级排列中, 奇、偶排列个数相同。 推论推论3 对任意n级排列j1j2jn,都可以经过最多n1次对换变为标准次序排列12n,并且所做对换的次数与原排列有相同的奇偶性。3 n3 n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式定义为312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa123123123111213()212223123313233( 1)p p ppppp p paaaaaaaaaaaa而且,同
9、样的结论对二阶行列式也成立,即1212121112()122122( 1)p pppp paaaaaa也可写成 定义定义1.3 1.3 设有n2个数,排成n行n列的数表nnnnnnaaaaaaaaa.212222111211 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积的代数和121212(.)12.( 1).nnnp ppppnpp ppaaa称为n阶行列式,记作nnnnnnaaaaaaaaaD.212222111211简记为det(aij)或|aij|n。数aij称为行列式det(aij)的元素。 n=1时, 一阶行列式|a|=a, 不要和绝对值符号相混淆。 例例5 5 计算对角行列式1122n
10、naaDa(12. )1122( 1).nnna aa nnaaa.2211121212(.)12.( 1).nnnp ppppnpp ppDaaa 解解 按定义有 例例6 6 计算对角行列式1211nnnaaDa 解解 按定义有 (1).112(1)1( 1).n nnnna aa (1)212(1)1( 1).n nnnna aa 121212(.)12.( 1).nnnp ppppnpp ppDaaa 例例7 7 计算下列行列式11121222nnnnaaaaaDa121212(.)12.(1)( 1).nnnp ppppnpp ppDaaa解(12. )1122( 1).nnna aa
11、 nnaaa.2211 (1) (1) 下三角下三角行列式11212212nnnnaaaDaaa (2) (2) 上三角上三角行列式121212(.)12.(2)( 1).nnnp ppppnpp ppDaaa(12. )1122( 1).nnna aa nnaaa.2211作作 业业习题习题A A 第第2222页页1、2、3、4、5、6、7练习题练习题习题习题B B 第第2525页页1、 2、 34 4 行列式的性质行列式的性质 下面讨论行列式定义的另一种表示方法。由于121212()12( 1).nnnp ppppnpp ppDaaa121212(12. )()12( 1).nnnnp p
12、pppnpp ppaaa1 2121 2()(12. )12( 1).nnnq qqnqqq nq qqa aa1 2121 2()12( 1).nnnq qqqqq nq qqa aa所以,n阶行列式也可定义为121212(.)12.( 1).nnnp ppppp np ppDaaa 对行列式nnnnnnaaaaaaaaaD.212222111211称相应的行列式nnnnnnTaaaaaaaaaD.212221212111为行列式D的转置行列式,也记为D。 性质性质1 1 行列式与其转置行列式相等。即D=DT。 由此性质可知, 行列式中的行与列具有相等的地位, 行列式的性质凡是对行成立的对列
13、同样成立,反之亦然。 证明证明 记D=det(aij),DT=det(bij),所以aij=bji,由行列式定义可得:121212(.)12.( 1).nnnp ppTppp np ppDb bb121212(.)12.( 1).nnnp ppppnpp ppaaaD 性质性质2 2 行列式可以按行(列)提取公因子,即1112111121121211212.nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaDkakakak aaakDaaaaaa其中,D1=|aij|n 证明证明121212()12( 1).().ninnp ppppipnpp ppDaakaa121212()12( 1).ni
14、nnp ppppipnpp ppkaaaa1kD 推论推论 行列式中某一行(列)元素全为零时,其值为零。 性质性质3 3 行列式两行(列)互换,行列式变号,即 证明证明 11121111211212112121212.nnjjjniiiniiinjjjnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDDaaaaaaaaaaaa 12112(.)1.( 1).njinnp pppjpipnpp ppDaaaa12112(.)11.( 1).nijnnp pppipjpnpp ppaaaaD 性质性质4 4 行列式某两行(列)元素相同, 则行列式为零。 性质性质5 5 行列式某两行(列)元素成比例, 则
15、行列式为零。 性质性质6 6 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式可分成两个行列式之和。即11121111211112111221212121212.nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 证明证明 12112(.)1.( 1).().niinnp pppipipnpp ppDaaaa1212111212(.)(.)11.( 1).( 1).nnininnnp ppp pppipnppipnpp ppp ppaaaaaa 性质性质7 7 行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对应的元素上,行
16、列式不变, 即111211112112121211221212.nniiiniiinjjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaa 利用行列式的性子把行列式化为三角行列式 来计算行列式的值,是计算行列式的常用方法之一。21170011004410223115433)15(rrr4000110044102231154334317)15(rrrrr33302117004410223132235rrrr1515002117004410223132242335rrrrrr7231401431252132) 1 (D13132212530144231
17、7ccD 解解333044101350223114122rrrr333013504410223132rr例例6 6 计算下列行列式713244101350223112rr2117001515004410223143rr= 603.11.1.311.13)2(nD解解3.11.1.312.22.21nnnDnrrrn3.11.1.311.11)2()2(1nnr2.00.0.201.11)2n(1n1312rr.rrrr12)2(nndcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD3610363234232)3(解解cbabaacbabaacbabaadcbaDrrrrrr
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