选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点.doc
《选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点.doc(47页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、选修选修 2-1-2-1-第三第三章章- -空间向量及其空间向量及其运算知识点运算知识点Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a littlebit more.-author-dateXDBFBWTBXSM(HT9-3.13.1空间向量及其运算知识点空间向量及其运算知识点1 1 空间向量的有关概念空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量(2)单位向量:模为 1 的向量称为单位向量(3)相等向量:方向相同且模相等的向量(4)共线向量
2、:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(5)共面向量:平行于同一个平面的向量2.2.空间向量的加法、减法与数乘运算空间向量的加法、减法与数乘运算XDBFBWTBXSM(HT9-向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向量加法的多边形法则:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量向末尾向量的终点的向量112231nnnOAOAA AA AAAuuur uuu r uuuu r uuuu ruuuuu r. .运算律:加法交换律:abba加法结合律:(ab)ca(bc)数乘分配律:(a
3、b)ab.3 3共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)(1)共线向量定理共线向量定理XDBFBWTBXSM(HT9-对空间任意两个向量对空间任意两个向量a a,b b( (b b0)0),a ab b的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数,使得,使得a ab b. .推论:点点P P在在直线直线ABAB上的充要条件上的充要条件是:存在实数存在实数,使得,使得APABuuu ruuu r或对空间任意一点或对空间任意一点 O,O,有有OPOAABuuu ruuruuu r或对空间任意一点或对空间任意一点O O,有,有OPxOAyOBuuu ruur
4、uuu r其中其中x xy y1 1【推论推导过程:()(1)OPOAABOAAOOBOAOBuuu ruuruuu ruuruuu ruuu ruuruuu r】( (2 2) )共面向量定理共面向量定理XDBFBWTBXSM(HT9-如果两个向量如果两个向量a a,b b不共线不共线,那么,那么p p与与a a,b b共面的充要条件是存在唯一有序实共面的充要条件是存在唯一有序实数对数对(x,yx,y)使使p pxaxaybyb推论:空间一点空间一点 P P 位于平面位于平面 ABCABC 内的充要条件内的充要条件是存在唯一有序实数对存在唯一有序实数对(x,yx,y)使)使APxAByACu
5、uu ruuu ruuu r,或对空间任意一点或对空间任意一点O O,有,有OPOAxAByACuuu ruuruuu ruuu r或对空间任意一点或对空间任意一点O O,有,有OPxOAyOBzOCuuu ruuruuu ruuu r,其中其中x xy yz z1 1【推论推导过程:(1)OPOAxAByACxy OAxOByOCuuu ruuruuu ruuu ruuruuu ruuu r】(3)(3)空间向量基本定理空间向量基本定理XDBFBWTBXSM(HT9-如果三个向量a a,b b,c c不共面,那么对空间任一向量p p,存在有序实数组x,y,z,使得p pxa ayb bzc
6、c基底:把a a,b b,c c叫做空间的一个基底,空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底4 4 空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角两向量的夹角:已知两个非零向量a a,b b,在空间任取一点O,作OAa a,OBb b,则AOB叫做向量a a与b b的夹角,记作a a,b b,其范围是 0a a,b bXDBFBWTBXSM(HT9-,若a a,b b2,则称a a与b b互相垂直,记作a ab b.两向量的数量积两向量的数量积:已知空间两个非零向量a a,b b,向量a a,b b的数量积记作a ab b,且a ab b|a|ba|
7、b|cosa a,b b(2)空间向量数量积的运算律: 结合律:(a a)b b(a ab b); 交换律:a ab bb ba a; 分配律:a a(b bc c)a ab ba ac c.5 5 空间向量的坐标表示及应用空间向量的坐标表示及应用设a a(a1,a2,a3),b b(b1,b2,b3)(1)数量积的坐标运算:a ab ba1b1a2b2a3b3.XDBFBWTBXSM(HT9-(2)共线与垂直的坐标表示:a ab ba ab ba1b1,a2b2,a3b3(R R),a ab ba ab b0a1b1a2b2a3b30(a a,b b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式:|
8、a a|a aa aa21a22a23,cosa a,b ba ab b|a|b|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23.设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则dAB|AB|a2a12b2b12c2c12.XDBFBWTBXSM(HT9-6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤:(1)适当的选取基底a a,b b,c c;(2)用a a,b b,c c表示相关向量;(3)通过运算完成证明或计算问题题型一题型一空间向量的线性运算空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量,应结合图形,将已知向量和未知向量转化至三角XDBFBWTBXSM(HT9-形或平行四
9、边形中,表示为其他向量的和与差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系例例 1 1:三棱锥三棱锥O OABCABC中,中,M M,N N分别是分别是OAOA,BCBC的中点,的中点,G G是是ABCABC的重心,用基的重心,用基向量向量OAOA,OBOB,OCOC表示表示MGMG,OGOG.解析:MGMAAG12OA23AN12OA23(ONOA)12OA2312(OBOC)OA16OA13OB13OC.OGOMMG12OA16OA13OB13OC13OA13OB13OC.XDBFBWTBXSM(HT9-例例 2 2:如图所示,如图所示,ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D
10、1 1中,中,ABCDABCD是平行四边形若是平行四边形若AEAE1 12 2ECEC,A A1 1F F2 2FDFD,且,且1=x+y+zEFABADAAuuu ruuu ruuu ruuu r, ,试求试求x x、y y、z z的值的值.解连接AF,EFEAAF.EA13AC13(ABAD)AFADDFADFDAD13A1DAD13(A1AAD)12133ADA Auuu ruuu rEFEAAF1111333ADAAABuuu ruuu ruuu r题型二题型二共线定理应用共线定理应用XDBFBWTBXSM(HT9-向量共线问题:向量共线问题:充分利用空间向量运算法则,用空间中的向量表
11、示 a a 与 b b,化简得出 a ab b,从而得出 a ab b,即 a a 与 b b 共线点共线问题点共线问题:证明点共线问题可转化为证明向量共线问题,如证明 A、B、C 三点共线,即证明AB与AC共线例例 3 3:如图所示,四边形如图所示,四边形ABCDABCD,ABEFABEF都是平行四边形且不共面,都是平行四边形且不共面,M M,N N分别分别是是ACAC,BFBF的中点,判断的中点,判断CECE与与MNMN是否共线?是否共线?111111()()222222CECBBEMNMCCBBNACCBBABEACBACBBECBBEuuruuruuruuuruuu ruuruuu r
12、uuu ruuruuruuruuu ruuruuruuruuruurXDBFBWTBXSM(HT9-CE2MN,CEMN,即CE与MN共线例例 4 4:如图所示,在正方体如图所示,在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中,中,E E在在A A1 1D D1 1上,且上,且A A1 1E E2 2EDED1 1,F F在对在对角线角线A A1 1C C上,且上,且A A1 1F F2 23 3F FC C. .求证:求证:E E,F F,B B三点共线三点共线证明:设ABa a,ADb b,AA1c c.XDBFBWTBXSM(HT9-A1E2ED1=23AD2
13、3b b,A1F23FC25A1C=25(ACAA1)25(ABADAA1)25a a25b b25c cE FA1FA1E25a a415b b25c c25a a23b bc,EBEA1A1AAB23b bc ca aa a23b bc c,EF25EB.所以E,F,B三点共线题型题型三三共共面面定理应用定理应用XDBFBWTBXSM(HT9-点共面问题点共面问题:证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明 P、A、B、C 四点共面,只要能证明PAxPByPC,或对空间任一点 O,有OPOAxPBy PC或OPxOAyOBzOC(xyz1)即可例例 5 5:已知已知A A、B B、C
14、 C三点不共线,对于平面三点不共线,对于平面ABCABC外一点外一点O O,若,若O OP P2 25 5O OA A1 15 5OBOB2 25 5O OC C,则点,则点P P是否与是否与A A、B B、C C一定共面?试说明理由一定共面?试说明理由解析:解析:XDBFBWTBXSM(HT9-212212212 (+)(+)(+)=+553553553OPOAOBOCOP PAOP PBOP PCOPPAPBPCuuu ruuruuu ruuu ruuu r uuruuu r uuruuu r uuu ruuuruuruuruuu rAP15AB25AC,故A、B、C、P四点共面.例例 6
15、 6:如图所示,已知:如图所示,已知 P P 是平行四边形是平行四边形 ABCDABCD 所在平面外一点,连结所在平面外一点,连结 PAPA、PBPB、PCPC、PDPD,点,点 E E、F F、G G、H H 分别为分别为PABPAB、PBCPBC、PCDPCD、PDAPDA 的重心,应用向的重心,应用向量共面定理证明:量共面定理证明:E E、F F、G G、H H 四点共面四点共面证明:分别延长 PE、PF、PG、PH 交对边于 M、N、Q、R.XDBFBWTBXSM(HT9- E、F、G、H 分别是所在三角形的重心,M、N、Q、R为所在边的中点顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边
16、形,且有PE23PM,PF23PN,PG23PQ,PH23PR.EGPGPE23PQ23PM23MQ23(MNMR)23(PNPM)23(PRPM)23(32PF32PE)23(32PH32PE)EFEH.由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.例例 7 7:正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中,中,E E,F F分别是分别是BBBB1 1和和A A1 1D D1 1的中点,求证向量的中点,求证向量A A1 1B B,XDBFBWTBXSM(HT9-B B1 1C C,E EF F是共面向量是共面向量证明:如图所示,EFEBBA1A1F12B1BA1B
17、12A1D112(B1BBC)A1B12B1CA1B.由向量共面的充要条件知A1B,B1C,EF是共面向量题型题型四四空间向量数量积的应用空间向量数量积的应用XDBFBWTBXSM(HT9-例例 8 8:如图所示,平行六面体如图所示,平行六面体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中,以顶点中,以顶点A A为端为端点的三条棱长都为点的三条棱长都为 1 1,且两两夹角为,且两两夹角为 6060. .(1)(1)求求ACAC1 1的长;的长;(2)(2)求求BDBD1 1与与ACAC夹角的余弦值夹角的余弦值解析:解析:(1)记ABa a,ADb b,AA1c c,则|a
18、a|b b|c c|1,a a,b bb b,c cc c,a a60,a ab bb bc cc ca a12.|AC1|2(a ab bc c)2a a2b b2c c22(a ab bb bc cc ca a)1112121212 6,|AC1| 6,即AC1的长为 6.(2)BD1b bc ca a,ACa ab b,|BD1| 2,|AC| 3,BD1AC(b bc cXDBFBWTBXSM(HT9-a a)(a ab b)b b2a a2a ac cb bc c1.cosBD1,ACBD1AC|BD1|AC|66.AC与BD1夹角的余弦值为66.已知空间四边形已知空间四边形ABCD
19、ABCD的每条边和对角线的长都等于的每条边和对角线的长都等于a a,点,点E E、F F分别是分别是BCBC、ADAD的中点,则的中点,则AEAEAFAF的值为的值为( () )Aa2B.12a2C.14a2D.34a2XDBFBWTBXSM(HT9-解析:解析:设ABa a,ACb b,ADc c,则|a a|b b|c c|a,且a a,b b,c c三向量两两夹角为 60.AE12(a ab b),AF12c c,AEAF12(a ab b)12c c14(a ac cb bc c)14(a2cos60a2cos60)14a2.题型题型五五空间向量坐标运算空间向量坐标运算例例 9 9:如
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 选修 第三 空间 向量 及其 运算 知识点
限制150内