考研高数习题集(上).doc
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1、【精品文档】如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流考研高数习题集(上).精品文档. 上 册 目 录 第一讲: 极限与连续2单元一: 未定型极限(1)2单元二: 未定型极限(2)3单元三: 未定型极限(3)4单元四: 未定型极限(4)(含)6单元五: 特殊求极限法.7单元六: 无穷小比较.9单元七: 函数连续性.10单元八: 渐近线讨论.12单元九: 介值定理.13 第二讲: 导数及应用.14单元一: 定义求导.14单元二: 公式与法则.16单元三: 特殊求导法.18单元四: 斜率与切线.20单元五: 单调性与极值.20单元六: 单调性应用.23单元七: 二阶导应用.26单元八: 中值定理.2
2、8单元九: 泰勒公式.30 第三讲: 一元积分学32单元一: 原函数与不定积分.32单元二: 定积分性质.35单元三: 定积分计算.36单元四: 定积分几何应用.39单元五: 定积分物理应用.41 第四讲: 微分方程43单元一: 一阶方程.43单元二: 可降阶方程.44单元三: 高阶线性方程.45单元四: 应用方程.46 第一讲: 极限与连续单元一: 未定型极限(1)1. 若 , 则: ; ; 时; 时,2. (1) (2); 3. (1); (2) (3) 4. 设是多项式, 且, 求.5. ,求与的关系.6. , 其中: (1); (2); (3) (1); (2); (3)7. ,求:.
3、 8. , 求: 单元二: 未定型极限(2)1. 求极限: (1). (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2. , 求: 3. 求极限(对比) (1) (2) 4. 求极限 (1); (2) (3) (4) 单元三: 未定型极限(3)1. 2. 求极限: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 3. 求极限(洛必达法则): (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 4. 求极限(对比) (1); (2) 5. 6. 求极限(泰勒公式) (1) (2) (3) (4)
4、 7. 已知: , 求: 单元四: 未定型极限(4)(含)1. 求极限: (1) (2) (3) 2. 设, 求.3. 在上连续, , 证明: .4. 设,其中为连续函数,则 ; ; ; 不存在5. 连续, 求.6. 连续,证明:单元五: 特殊求极限法1. 求: (1) (2); (3) (4) (5) (6) 2. 设, 求: 3. 非负不增, 发散, 证明: 4. 为单调递增正数列, 证明: .5. ,且非负,求:6. 设非负连续函数在上单调递减, , 证明数列的极限存在 ,7. 设, 证明数列极限存在,并求此极限. , 且, 8. 设, 证明: 收敛. 法(1)收敛; 法(2)9. ,
5、求: . 法(1):准则; 法(2):10. 设, 证明: 存在, 并求出其极限.11. 设, 证明: 存在, 并求出其极限, 其中: (1)若 (2)若 12. (1) (2) 13. (1) (2) 14. .单元六: 无穷小比较1. 当 时, 变量 是 的( )无穷小. 高阶; 同阶不等价; 等价; 低价.2. 当时,是的什么无穷小? 同阶不等价3. 当时, 是的什么无穷小? , 高阶4. 当时, 是的什么无穷小? ,低价5. 当时, 是的什么无穷小? ,同阶不等价6. 当时, , 求: 7. 当时,比较无穷小:的阶8. 当时, 是的几阶无穷小?9. 当时,是的几阶无穷小?10. 当时,
6、 , 其中: (1) (2) (3)? (4); (5) (6) 11. 有连续导数,且,当时,?12. 在 的某邻域内具有一阶连续导数, 且 , 若: 在时是比高阶的无穷小, 求: .13. 设为无穷小, 且, (1)证明:; (2)问:? , 否单元七: 函数连续性1. 设和在内有定义,为连续函数,且有间断点, 则 必有间断点的函数是: 2. 考察函数连续性: (1); (1)无穷; (2)跳跃 (2) (1)可去; (2)跳跃3. 设. (1)写出连续区间; (2)确定间断点,并判别其类型. (1); (2)可去4. 求在内的间断点, 并判别类型 (1)可去; (2)第二类5. ,确定,
7、使在处连续.6. 考察在处为何种间断点, 其中: (1) 跳跃 (2) 跳跃 (3) 可去7. 设, 考察的连续性. 连续, 时, 为跳跃间断点8. 求的间断点, 并判别类型. 无穷单元八: 渐近线讨论1. 求曲线的渐近线.2. 求曲线的渐近线方程.3. 考察下列函数曲线的渐近线. (1) (2) (3) (4) (5) 4. 已知, 求: .单元九: 介值定理1. 在上连续, 且, 证明: , 使: ,(1), (2),2. 在上非负连续,(1)证明:,使在上以为高的矩形面 积等于在上以为曲边的梯形面积 (2)又若在内可导,且, 则证明(1)中的是唯一的 (1), (2)3. 在上连续, 非
8、负, 且, 证明: ,使得: 异号4. 若在上连续, , 证明: , 使得: 第二讲: 导数及应用单元一: 定义求导1. 设, 求: 2. 设可导, , 求: 3. 设, 求: .4. 设, 求: .5. 设, 并且可导, 求. 6. 满足:, 求:.7. 若在处有:, 则在处有:8. 求,其中分别为: (1),连续; (2),连续,; (3),有界. 9. , 求: . 不存在10. 在上满足: (1) (2), 证明: .11. 问在处是否连续?可导? (1) (2),其中有界 (3) (4), 且. 12. 奇函数在处可导, 问: 在处是否连续? 可导? 13. 设且在处可导,令,求14
9、. 设函数在上连续, 又, 证明: 对满 足的一切, .15. 考察函数在处的连续性,可导性,以及的连续性.16. 若有连续的导数,且,设,确定常数,使 连续,并问此时是否连续?单元二: 公式与法则1. 设,且,求:. 2. 在处具有连续导数, 且, 求.3. 可导,求:4. 求:(1) (2) (3) (4) 5. 求:(1) (2) (3) (4),求 6. ,求.使存在.7. 选定参数, 使立方抛物线:,与曲线 光滑连接起来. 8. , 问为何值时,可导, 并求9. (1),求. (2),求. (3), 求; (4), 求:. 10. (1), 求 (2),求 (3), 求: .11.
10、设, 证明: .单元三: 特殊求导法1. 确定, 证明: 单调,并求2. 设, 求其反函数的导数3. 由方程 确定, 求 . 4. ,求:. 5. , 求: . 6. 由方程 确定, 求 7. , :可导, 求. 8. 已知, 而 是由方程 所确定的的函数, 求: .9. 可导单调,由,求10. 设函数 由等式 所确定, 求: 。11. 由确定的隐函数为, 求: 。12. 单调可导,其反函数为,且已知求13. ,求 14. 求: (1); (2). 15. 设由:确定,考察在相应于处的可微性单元四: 斜率与切线1. 求对数螺线: 在点处的切线方程.2. 求与的公切线方程.3. 问: 曲线与曲线
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