2022年《高中数学竞赛》数列 .pdf
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1、优秀学习资料欢迎下载竞赛辅导数列(等差数列与等比数列 ) 数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中经常出现的问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。所谓数列,就是按一定次序排列的一列数。如果数列an的第 n 项an与项数 (下标)n 之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。从函数角度看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集 1,2,n) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。为了解数列竞赛题, 首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式,把握它们之间的(同构)关
2、系。一、 等差数列如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d 表示。 等差数列 an的通项公式为:)1()1(1dnaan前 n 项和公式为:)2(2)1(2)(11dnnnaaanSnn从(1)式可以看出,na是n的一次数函 (0d)或常数函数 (0d),(nan,)排在一条直线上,由 (2)式知,nS是n的二次函数 (0d)或一次函数(0, 01ad),且常数项为0。在等差数列na中,等差中项:221nnnaaa且任意两项nmaa ,的关系为:dmnaamn)(它可以看作等差数列广义的通项公式。名师归纳
3、总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:nkaaaaaaaakknnn3,2, 1,123121若qpnmaaaaqpnmNqpnm:,*则有且等等或等差数列 ,1) 12(,) 12()1(232121knnkkkkkknnnmSSSSSSSanSanS二、 等比数列如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列
4、就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 q表示。等比数列 an的通项公式是:11nnqaa前n项和公式是:1,1qnanS1,11)1(111qqqaaqqann在等比数列中,等比中项:21nnnaaa且任意两项nmaa ,的关系为mnmnqaa如果等比数列的公比q满足 0 q 1,这个数列就叫做无穷递缩等比数列,它的各项的和 (又叫所有项的和 )的公式为:qaS11从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -
5、 - - - 第 2 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载121121212321*123121)(,)(:,:, 3,2, 1,nnnnnnnnnmqpknknnnaaaaaaaaaaNqpnmnkaaaaaaaa则有记则有若另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C 为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂naC,则naC 是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是 “ 同构” 的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质,公式;而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧,也是极其珍贵的,诸
6、如 “ 倒排相加 ”(等差数列 ),“ 错位相减 ”(等比数列 )。数列中主要有两大类问题,一是求数列的通项公式,二是求数列的前 n 项和。三、 范例例1 设 ap, aq, am, an是等比数列 an 中的第 p、 q、 m、 n 项, 若 p+q=m+n ,求证:nmqpaaaa证明:设等比数列 na 的首项为1a,公比为 q,则nmqpnmnmqpqpnnmmqqppaaaaqaaaqaaaqaaqaaqaaqaa:,:22122111111111故所以说明:这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到。 它说明等比数列中距离两端(首末两项 )距离等远的两项的乘积等于首末两项
7、的乘积,即:a1+k an-k=a1 an对于等差数列, 同样有:在等差数列 na中,距离两端等这的两名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载项之和等于首末两项之和。即:a1+k+an-k=a1+an例 2在等差数列 na中,a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解:由 a4+a12=2a8,a6+a10 =2a8及已
8、知或得5a8=120,a8=24 而 2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选 C 例 3已知等差数列 an 满足 a1+a2+a3+a101=0,则有( ) A.a1+a1010 B. a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000 年北京春季高考理工类第 (13)题 解:显然, a1+a2+a3+a101 CaaaaaaaaaaS选从而故,0,00101)(21101199310021011101101例 4 设 Sn为等差数列na的前n项之各, S9=18,)9(304nan, Sn=336,则n为( ) A.16 B.21 C.
9、9 D8 BnnnaanSaaaaaaSnnnn选故而所以故由于解,2133616322)(2,323022,189:1145559名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载例 5设等差数列 na满足13853aa,且1a0,nS为其前n项之和,则)(*NnSn中最大的是 ( )。 (1995 年全国高中联赛第1 题) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 020,
10、20:,0)240(39) 1(392) 1()12(5)7(353:111111138nnnannananaadnaadadaaa时当则令故解所以:S19=S20最大,选 (C) 注:也可用二次函数求最值例 6设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项的和为 972,则这样的数列共有 ( ) (A)2 个(B)3 个(C)4 个(D)5 个1997 年全国高中数学联赛第3 题 解:设等差数列首项为a,公差为 d ,则依题意有:( * )972)1(2972)1(22ndnadnnna因为n是不小于 3 的自然数, 97 为素数,故数n的值必为 2 972的约数 (因数),它只能
11、是 97,2 97,972,2 972四者之一。若0d,则1d由(*) 式知 2 972)1()1(nndnn故只可能有n=97,(*)式化为:9748da,这时(*) 有两组解:名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载97097adn或1297adn若0d,则(*)式化为:297na,这时 (*)也有两组解。97097adn或1297adn故符今题设条件的等差数列共4 个,分别为
12、:49,50,51,145,(共 97 项) 1,3,5,193,(共 97 项) 97,97,97,97,(共 97 项) 1,1,1,1(共 972=9409项) 故选(C) 例 7将正奇数集合 1,3,5, 由小到大按第n 组有(2n-1)个奇数进行分组:1 ,3 ,5,7,9,11,13,15,17,(第一组 )(第二组 )(第三组 ) 则 1991 位于第组中。1991 年全国高中数学联赛第3 题 解:依题意,前 n 组中共有奇数1+3+5+(2n -1)=n2个而 1991=2 996-1,它是第 996 个正奇数。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -
13、 - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载因为:312=9619961024=322所以:1991 应在第 31+1=32 组中。故填 32 例 8一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为。1989 年全国高中联赛试题第4 题 解:设该数为 x,则其整数部分为 x,小数部分为 x-x ,由已知得:x (x-x=x2其中x 0,0 x-x 1,解得:251251, 1, 12150215,251xxxxxxxxx故应填例 9 等比
14、数列na的首项15361a, 公比21q, 用 n表示它的前n项之积,则 n(nN*)最大的是 ( ) (A) 9(B) 11(C) 12 (D) 131996 年全国高中数学联赛试题 解:等比数列na的通项公式为191)21(1 5 3 623)21(1 5 3 6nnna前 n 项和0)21(23:)21(23)21(1536559911112)1(92)1(因为nnnnnnnn名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 40 页 - - - -
15、 - - - - - 优秀学习资料欢迎下载最大故1212397811713139421266108121245368199,2322323223,239223选(C) 例 10设yx,且两数列yaaax,321和43,21,bybbxb均为等差数列,则1234aabb1988 年全国高中联赛试题 解:依题意,有)(412aaxy所以: 38)(31:)(3)(411234232312aabbxybbbbxyxyaa所以又例 11设zyx,是实数,zyx5 ,4,3成等比数列,且zyx1,1,1成等差数列,则xzzx的值是1992 年全国高中数学联赛试题 解:因为zyx5,4,3成等比数列,所以
16、有:,1,1,1) 1(1516:)4(5322所以有成等差数列又即zyxxzyyzx)2(2,:,11zxxzyyzxzzxyzzx即名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载xzzxzxzxxzzyxxzzxzx34)(15)2(15640,0,015)(416:) 1()2(2222222得代入将1534xzzx例 12已知集合 M=)lg(,xyxyx 及 N=yx, 0并且
17、 M=N,那么的 值 等 于)1()1()1()1(2 0 0 12 0 0 13322yxyxyxyx( ) 解:由 M=N 知 M 中应有一元素为 0,任由 lg( xy)有意义知0 xy,从而0 x,且0y,故只有 lg( xy)=0, xy=1,M= x,1,0;若 y=1,则 x=1,M=N=0 ,1,1与集合中元素互异性相连,故 y1 ,从而 x=1,x= 1;由 x=1, y=1(含),由 x=-1 y=-1,M=N=0,1,-1 此时,21,21,21,2122121222kkkkyxyxyxyx从而2)1()1()1(2001200122yxyxyx注:数列 x,x2,x3,
18、x2001;200121,1,1yyy以及2001200133221,1,1,1yxyxyxyx在 x=y=-1 的条件下都是周期为2 的循环数列,S2n-1=-2,S2n=0,名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载故 2001 并不可怕。例 13已知数列 na满足 3an+1+an=4(n1) 且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式 Sn-n-61251的最小整数
19、 n是( ) 1994 年全国高中数学联赛试题 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解:由 3an+1+an=4(n1)3an+1-3=1-an 81),1(31111aaann故数列 an-1 是以 8 为首项,以31为公比的等比数列,所以11)31(81)31(81nnnnaannnnnS)31(66)31(1)31(18nnnS)31(66765132 4 32 5 031 2 51)31(6)31(6651nnnSnnnn名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -
20、- - - 第 10 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载当 n=7 时满足要求,故选 (C) 注:数列an 既不是等差数列,也不是等比数列,而是由两个项数相等的等差数列: 1,1,1 和等比数列:1)31(8,98,38,8n的对应项的和构成的数列, 故其前 n 项和 Sn 可转化为相应的两个已知数列的和,这里,观察通项结构,利用化归思想把未知转化为已知。例 14设数列 an 的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2, ),数列 bn满足 b1=3, bk+1=ak+bk(k=1,2, ) 求数列 nb的前 n 项和。1996 年全国高中数学联赛第二
21、试第一题 解:由 Sn=2an-1,令 n=1,得 S1=a1=2a1-1,1111122)3()2()3(12)2(12)1(1nnnnnnnnaaSSaSaSa得又122nnnaaa2,211nnnnaaaa所以:数列 an是以 a1=1为首项, 以 q=2为公比的等比数列,故 an=2n-1(4) 12,2)5(2,1232121111bbbbbbabbbabkkkkkkkkkkkkk由以上诸式相加,得因为表中均为正数,故q0,21q,从而2111a,因此,对于任意 1 k n,有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习
22、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载nnkkkkkkkaaaaSkkqdkaqaa33221111111121)21(21) 1(21)1(记:)6()5()6(2121) 1(2122121:)5(212132122113232得则有nnnnnSnnnnnnnnnnnnnnnnaaaannnSnS2222212:22122211)21(12212121211:,21212121212113322111132132即所以评注:本题中求和,2121321221132nnS实为等差数列
23、 an=n 与等比数列nnb21的对应项乘积构成的新数列的前n 项的和,将(5)式两边同乘以公比21,再错项相减,化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前n 项和的基本方法, 它在解决此类问题中非常有用,应予掌握。课本P137 复习参 考题三B 组题第6 题为: 求和:S=1+2x+3x2+nxn-1;2003 年北京高考理工类第 (16)题:已知数列 an是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12,(I)求数列 an 的通项公式; (II) 令bn=an xn)(Rx,求数列 bn的前 n 项和公式。都贯穿了 “ 错项相减 ” 方法的应用。名师归纳总结 精品学习资料 - - - -
24、- - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 40 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载高阶等差数列一、基本知识1. 定义:对于一个给定的数列an,把它的连结两项an+1与an的差an+1-an记为bn,得到一个新数列 bn ,把数列bn你为原数列 an的一阶差数列,如果cn=bn+1-bn,则数列 cn 是an 的二阶差数列依此类推,可得出数列 an 的p阶差数列, 其中p?N2. 如果某数列的p阶差数列是一非零常数列,则称此数列为p阶等差数列3. 高阶等差数列是二阶
25、或二阶以上等差数列的统称4. 高阶等差数列的性质:(1) 如果数列 an 是p阶等差数列,则它的一阶差数列是p-1 阶等差数列(2) 数列 an是p阶等差数列的充要条件是:数列 an的通项是关于n的p次多项式(3) 如果数列 an是p阶等差数列,则其前n项和 Sn是关于n的p+1 次多项式5. 高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前n项和,更深层次的问题是差分方程的求解,解决问题的基本方法有:(1) 逐差法:其出发点是)(1111knkknaaaa(2) 待定系数法:在已知阶数的等差数列中,其通项an与前n项和 Sn是确定次数的多项式 ( 关于n的) ,先设出多项式的系数,再代入已知条
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