2022年《高中数学竞赛》数列.docx
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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载竞赛辅导数列等差数列与等比数列 数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中常常显现的问题;数列最基本的是等差数列与等比数列;所谓数列,就是按肯定次序排列的一列数;假如数列 a n 的第 n 项an与项数 下标n 之间的函数关系可以用一个公式 an=fn来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式;从函数角度看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 N *或它的有限子集 1 ,2, n 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式;为明白数列竞赛题
2、, 第一要深刻懂得并娴熟把握两类基本数列的定义、性质有关公式,把握它们之间的 同构关系;一、 等差数列假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d 表示; 等差数列 a n 的通项公式为:a n a 1 n 1 d 1 前 n 项和公式为:S n n a 1 a n na 1 n n 1 d 2 2 2从1式可以看出,a 是 n 的一次数函 d 0 或常数函数 d 0 , n, a n 排在一条直线上,由 2式知,S 是 n 的二次函数 d 0 或一次函数 d ,0 a 1 0 ,且常数项为 0;在等差数列
3、a n 中,等差中项:a n 1 a n a n 2 且任意两项 a , ma n 的关系为:a n a m n m d2它可以看作等差数列广义的通项公式;细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载从等差数列的定义、通项公式,前n 项和公式仍可推出:a1ana2a n1a3nan2akak1,k,12 ,3naq如m ,n ,p ,qN*,且mpq ,就有:a ma napS m1
4、2 n1a n,S 2n12 n1an1或等差数列 ,等等S k,S 2kS k,S 3kS 2k,S nkS n1k二、 等比数列假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列;这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示;等比数列 an的通项公式是:ana 1qn1前 n 项和公式是:na 1q1a1qn,q1nman2S na1 1qna11q1q在等比数列中,等比中项:an1a且任意两项a , man的关系为ana mqn假如等比数列的公比q 满意 0 q 1,这个数列就叫做无穷递缩等比数列,它的各项的和 又叫全部项的和 的公式为:S1a
5、 1q从等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式可以推出:细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a1ana2an1优秀学习资料欢迎下载1,k,12 ,3,na3an2akank如m ,n,p,qa2N*,就有:apaq2naman,2n1,2n1an12n1记na1a3an,就有:1an另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C 为底,用一个等差数列的各项
6、做指数构造幂 C a n,就 C a n 是等比数列;在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是 “同构 ”的;重要的不仅是两类基本数列的定义、性质,公式;而且包蕴于求和过程当中的数学思想方法和数学聪明,也是极其宝贵的,诸如 “倒排相加 ” 等差数列 ,“错位相减 ” 等比数列 ;数列中主要有两大类问题,一是求数列的通项公式,二是求数列的前 n 项和;三、 范例例1 设 ap,aq,am,an 是等比数列 an 中的第 p、q、m、n 项,如 p+q=m+n ,求证:apa qaman,a ,公比为 q,就2证明:设等比数列 a 的首项为apa 1qp1amana12qmnaqa 1q
7、q1ama 1qm1ana 1qn1所以:apaqa 12qpq2故:apaqaman说明:这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到;它说明等比数列中距离两端 于首末两项的乘积,即: a1+kan-k=a1an首末两项 距离等远的两项的乘积等细心整理归纳 精选学习资料 对于等差数列, 同样有: 在等差数列 an 中,距离两端等这的两 第 3 页,共 40 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载项之和等于首末两项之
8、和;即: a1+k+an-k=a1+an例 2在等差数列 a 中, a4+a6+a8+a10+a12=120,就 2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解:由 a4+a12=2a8,a6+a10 =2a8 及已知或得5a8=120,a8=24 而 2a9-a10=2a1+8d-a1+9d=a1+7d=a8=24;应选 C 例 3已知等差数列 a n 满意 a1+a2+a3+ +a101=0,就有 A.a1+a1010 B. a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000 年北京春季高考理工类第 13题 解:明显, a1+a2+a3+ +a101 S 101
9、1a1a 101010430a 1a 1010,2故a1a 1010 ,从而a2a100a3a99选C的前 n 项之各,S9=18,a nn9 ,Sn=336,例 4设 Sn 为等差数列an就 n 为 细心整理归纳 精选学习资料 A.16 B.21 C.9 D8 第 4 页,共 40 页 解:由于S 99a518 ,故a52所以a5an4a 1an23032,而S nna 1ann3216n33622故n21 ,选B - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -
10、 -例 5设等差数列 优秀学习资料13欢迎下载S 为其前 n 项之和,a 满意3 a85 a,且a 0,就SnnN*中最大的是 ; 1995 年全国高中联赛第1 题 AS 10 BS11 CS20 DS21 解:3 a85a133 a 17d5 a 112d 故ana 1n1da 12a1n1a1402n3939令an0,就:n20,当n20时an0所以 :S19=S20最大,选 C 注:也可用二次函数求最值例 6设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 和为 97 2,就这样的数列共有 3,且各项的A2 个B3 个C4 个D5 个1997 年全国高中数学联赛第3 题 解:设等差数列首项
11、为a ,公差为 d ,就依题意有:nann1 dn972972 * 22an1 d22 由于 n 是不小于 3 的自然数, 97 为素数,故数 n 的值必为 297 的约数 因数,它只能是 97,297,97 2,297 2 四者之一;如d0,就d1由* 式知 2972nn1 dnn1 故只可能有 第 5 页,共 40 页 n =97,* 式化为:a48d97,这时 * 有两组解:细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -n97
12、优秀学习资料欢迎下载97n如d0d0an或972d2a97a1,就 * 式化为:,这时 * 也有两组解;n97n97d0或d2a97a1故符今题设条件的等差数列共4 个,分别为:49,50,51, ,145,共 97 项 1,3,5, ,193,共 97 项 97,97,97, ,97,共 97 项 1,1,1, ,1共 972=9409 项 应选 C 例 7将正奇数集合 1 ,3,5, 由小到大按第 n 组有 2n-1个奇数进行分组:1 ,3 ,5,7 ,9,11,13,15,17,第一组 其次组 第三组 就 1991 位于第 组中;1991 年全国高中数学联赛第 3 题 解:依题意,前 n
13、 组中共有奇数1+3+5+ +2n -1=n 2个而 1991=2 996-1,它是第 996 个正奇数;细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载由于:31 2=9619961024=32 2所以:1991 应在第 31+1=32 组中;故填 32 例 8一个正数,如其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,就该数为;1989 年全国高中联赛试题第4 题 解:设该数为 x,就其整数
14、部分为 x ,小数部分为 x-x ,由已知得:2 xx-x=x其中x 0,0x-x 1,解得:x125x,xx51x1,用 n 表示它的前n项2051x,1x,1x1252故应填x125例 9等比数列an的首项a 11536,公比q2之积,就 nnN *最大的是 A 9B 11C 12 D 131996 年全国高中数学联赛试题 解:等比数列an的通项公式为1 5 3 6n1n1前 n 项和 第 7 页,共 40 页 an1 5 3 61n139 222n1536n1nn13n29n1n1 由于:22221111 329915502细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -
15、- - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -939281236优秀学习资料12欢迎下载26612 3242939245,12 3108 21313 32117278323912,故12最大选C 例 10设 x y,且两数列 x , a 1 , a 2 , a 3 , y 和 b 1 , x , b 2 , b 3 , y , b 4 均为等差数列,就 b 4 b 3 1988 年全国高中联赛试题 a 2 a 1解:依题意,有 y x 4 a 2 a 1 所以 : 1a 2 a 1 y x 4又
16、 y x 3 b 3 b 2 所以 :1b 3 b 2 y x 3b 4 b 3 8a 2 a 1 3例 11设 x , y , z 是实数,3 x , 4 y 5, z 成等比数列,且 1, 1, 1 成等差数列,x y z就 x z 的值是 1992 年全国高中数学联赛试题 z x解:由于 3 x , 4 y , 5 z 成等比数列,所以有3 x 5 z 4 y 2 即 : 16 y 215 xz 1又 1 , 1 , 1 成等差数列 , 所以有 :x y z1 1 z, 即 :x z yx z z , y 2 xz 2 xz y x z细心整理归纳 精选学习资料 第 8 页,共 40 页
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