最新反常积分(4)ppt课件.ppt
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1、反常积分反常积分(4)2 我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函数的积分数的积分. .在科学技术和工程中,往往需要计算在科学技术和工程中,往往需要计算无无穷区间上的积分穷区间上的积分或者计算或者计算不满足有界条件的函数的不满足有界条件的函数的积分积分,有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷,有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷区间上的积分区间上的积分. .这就需要我们将定积分的概念及其这就需要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广计算方法进行推广. . 我们将运用我们将运用极限的方法极限的方法来完成这个工作来完成这个工作. .9注注为了方便起见为了方
2、便起见, 规定规定:对反常积分可用如下的简记法使用对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式公式,.)()(的的原原函函数数是是连连续续函函数数若若xfxF aaxFxxf)(d)().(lim)(xFFx ),()(aFF ),()( FbF).(lim)(xFFx )(d)(xFxxf).()( FF 这时反常积分的收敛与发散取决于这时反常积分的收敛与发散取决于 和和 是否存在是否存在.)(F)(F( )d( )bbf xxF x10例例 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解 21dxxxxarctanlim .22 xarctanxxarctanlim 反常积分的积分反常积分的积分值
3、值的的几何意义几何意义211xy Oxy11例例 计算反常积分计算反常积分解解 2d1sin12xxx 21d1sinxx 21cosxxx1coslim . 1 2cos 2d1sin12xxx12证证)1( 1d1xx 1ln x )2( 111pxp , 1 p, 1 p因此因此时时当当1 p收敛收敛, 其值为其值为;11 p时时当当1 p发散发散.1 p, 1 p11 p例例 证明反常积分证明反常积分,d11xxp .1时发散时发散当当 p,1时收敛时收敛当当 pxxpd11 xxpd11 * 13例例 xxxxxf2, 120,210, 0)(已知已知 xttf.d)(解解, 0 x
4、0 , 20 x 0d0 txt024 xttfd)(ttxd210 试用分段函数表示试用分段函数表示 xttfd)( xttfd)(00241x ttfd)(,2x 0 20 x21 x xttfd)(td0ttd21td114xxxedln12 1.计算计算解解xxxedln12 xxedlnln12 exln11 2.位于曲线位于曲线)0( xxeyx下方下方, x轴上方的轴上方的无界图形的面积是无界图形的面积是解解xxeAxd0 xex d0d00 xeexxx 1 3. 2 1 ln d . xxx计算解解 1 21 1 2d1 lndlnxxxxxxx 1 2dxx1 1x . 1
5、15无界函数的反常积分的引例:无界函数的反常积分的引例:曲线曲线xy1所围成的所围成的1x与与 x 轴轴, y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作10dxxA其含义可理解为其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy16定义定义2 2无无界界内内)(xf,at 取取右邻域右邻域 btxxfd)( baxxfd)( btatxxfd)(lim,d)( baxxf即即当极限不存在当极限不存在时时,称称反常积分反常积分).)(lim( xfx即即则称此极限为则称此极限为仍然记为仍然记为如极限如极限存在存在, atlim也称也称反
6、常积分反常积分点点在在a函数函数 a,)(上上连连续续在在设设baxf(二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分( (瑕积分瑕积分) )反常积分反常积分,收敛收敛; ; baxxfd)( baxxfd)(发散发散. .瑕点(无瑕点(无界间断点)界间断点)(1)上的上的在在,()(baxf17, bt 取取 baxxfd)( tabtxxfd)(lim否则否则,).)(lim( xfx即即 taxxfd)(则定义则定义如极限如极限存在存在, btlim b,)(上上连连续续在在设设baxf)(2)瑕点瑕点, ,称称反常积分反常积分 baxxfd)(发散发散. .的的为为点点)(xfb18上上
7、在在设设,)(baxf baxxf写写成成d)( baxxfd)(若等号右边两个反常积分若等号右边两个反常积分 baxxfd)().)(lim( xfx即即 c如果如果 axxfd)( bxxfd)(cc则定义则定义 taxxfd)( btxxfd)( ctlim否则否则,就称反常积分就称反常积分 baxxfd)(发散发散. .都收敛都收敛,(3)瑕点瑕点, ,反常积分反常积分注注 如瑕点在区间内部如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分分别讨论各段瑕点积分.通常通常用瑕点将区间分开用瑕点将区间分开,)(外连续外连续除除bcacx 的的点为点为)(xfc ctlim19例例 计算反常积分计算反常
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