2022年概率与统计 .pdf
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1、1 / 35 2009 年高考数学试卷分类详解概率 与 统 计一、选择题1.(2009 山东卷理 ) 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是96,106,样本数据分组为96,98), 98,100), 100,102),102, 104),104,106,已知样本中产品净重小于100 克的个数是36,则样本中净重大于或等于98 克并且小于 104克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 【解读】 :产品净重小于100 克的概率为 (0.050+0.100) 2=0.300,已知样本中产品
2、净重小于100 克的个数是36,设样本容量为n, 则300.036n,所以120n,净重大于或等于98克并且小于104 克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125) 2=0.75, 所以样本中净重大于或等于98 克并且小于104 克的产品的个数是120 0.75=90. 故选 A. 答案 :A 【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据 . 2.(2009山东卷理 ) 在区间 -1,1上随机取一个数x,cos2x的值介于0 到21之间的概率为( ).A.31 B.2 C.21 D.32【解读】 :在区间 -1, 1上随机取一个数x,即
3、 1,1x时 ,要使cos2x的值介于0 到21之间 ,需使223x或322x213x或213x,区间长度为32,由几何概型知cos2x的值介于0 到21之间的概率为31232.故选 A. 答案 :A 96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克频率 /组距第 8 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 35 页2 / 35 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围 ,得到函数值cos2x的范围 ,再由长度型几何概型求得. 3.
4、(2009 山东卷文 ) 在区间,22上随机取一个数x,cosx的值介于0 到21之间的概率为( ).A.31 B.2 C.21 D.32【解读】 :在区间,22上随机取一个数x,即,22x时,要使cosx的值介于0 到21之间,需使23x或32x,区间长度为3,由几何概型知cosx的值介于0 到21之间的概率为313.故选 A.答案 :A 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围 ,得到函数值cosx的范围 ,再由长度型几何概型求得. 4.(2009 安徽卷理)考察正方体6 个面的中心,甲从这6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个点
5、连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(A)175(B)275(C)375(D)475解读 如图,甲从这6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线,共有226615 15225CC种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有/,/,/,ACDB AD CB AEBF/,/,/AFBE CEFD CFED共 12 对,所以所求概率为12422575p,选 D 5.(2009 安徽卷文)考察正方体6 个面的中心,从中任意选3 个点连成三角形,再把剩下的3 个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于A.1 B.C. D. 0 【解读】依据正方体各
6、中心对称性可判断等边三角形有36C个 .由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1,选 A。A B C D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 35 页3 / 35 【答案】 A 6. (2009 江西卷文)甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为A16 B14 C13 D12答案: D 【解读】所有可能的比赛分组情况共有22424122!C C种,甲乙相遇的分组情况恰好有6种,故选D. 7
7、. (2009 江西卷理)为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了3种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,现购买该种食品5袋,能获奖的概率为A3181 B3381 C4881 D5081答案: D 【解读】5553(323)50381P故选 D 8. (2009 四川卷文)设矩形的长为a,宽为b,其比满足ba618.0215,这种矩形给人以美感,称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本:甲批次: 0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次: 0.618 0.613 0.592 0.6
8、22 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值0.618 比较,正确结论是 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】 A 【解读】 甲批次的平均数为0.617,乙批次的平均数为0.613 9. (2009 宁夏海南卷理)对变量x, y 有观测数据理力争(1x,1y)( i=1,2,, 10),得散精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 35 页4 / 35 点图 1
9、;对变量u ,v 有观测数据(1u,1v)( i=1,2,, 10),得散点图2. 由这两个散点图可以判断。(A)变量 x 与 y 正相关, u 与 v 正相关(B)变量 x 与 y 正相关, u 与 v 负相关(C)变量 x 与 y 负相关, u 与 v 正相关(D)变量 x 与 y 负相关, u 与 v 负相关解读:由这两个散点图可以判断,变量 x 与 y 负相关, u 与 v 正相关 ,选 C 10. ( 2009 辽宁卷文) ABCD为长方形, AB2, BC 1, O为 AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1 的概率为(A)4( B)14(C)8( D)1
10、8【解读】长方形面积为2, 以 O为圆心 ,1 为半径作圆 , 在矩形内部的部分( 半圆 ) 面积为2因此取到的点到O的距离小于1 的概率为2 24取到的点到O的距离大于1 的概率为14【答案】 B 11. ( 2009 四川卷文)设矩形的长为a,宽为b,其比满足ba618.0215,这种矩形给人以美感,称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本:甲批次: 0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次: 0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,
11、与标准值0.618 比较,正确结论是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 35 页5 / 35 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】 A 【解读】 甲批次的平均数为0.617,乙批次的平均数为0.613 【备考提示】用以上各数据与0.618(或 0.6)的差进行计算,以减少计算量,说明多思则少算。12.(2009 陕西卷文)某单位共有老、中、青职工430 人,其中青年职工160 人,
12、中年职工人数是老年职工人数的2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32 人,则该样本中的老年职工人数为(A)9 ( B)18 (C)27 (D) 36 答案 B.解读 : 由比例可得该单位老年职工共有90 人,用分层抽样的比例应抽取18 人.13.(2009 福建卷文) 一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表组别(0,10(20,20(20,30)(30,40)(40,50(50,60(60,70频数12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在(10,40)上的频率为A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.
13、64 解读由题意可知频数在10,40的有: 13+24+15=52,由频率 =频数总数可得0.52.故选 C. 14.(2009 年上海卷理)若事件E与F相互独立,且14P EP F,则P EFI的值等于(A)0(B)116( C)14(D)12【答案】 B【解读】P EFI1144P EP F11615.(2009 年上海卷理)在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 35 页6 / 35 发生在规模群体感染的标志为“连续10 天,每天新增疑似病例不超过7 人”。根据过
14、去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是(A)甲地:总体均值为3,中位数为4 (B)乙地:总体均值为1,总体方差大于0 (C)丙地:中位数为2,众数为3 (D)丁地:总体均值为2,总体方差为3 【答案】 D【解读】根据信息可知,连续10 天内,每天的新增疑似病例不能有超过7 的数,选项A中,中位数为4,可能存在大于7 的数;同理,在选项C 中也有可能;选项B 中的总体方差大于0,叙述不明确,如果数目太大,也有可能存在大于7 的数;选项D 中,根据方差公式,如果有大于7 的数存在,那么方差不会为3,故答案选D.二、填空题1.(2009 年广东卷文 ) 某单位 200 名职工
15、的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1200 编号,并按编号顺序平均分为40 组( 1 5号, 610 号, 196200 号) .若第 5组抽出的号码为22,则第 8 组抽出的号码应是。若用分层抽样方法,则40 岁以下年龄段应抽取人. 图 2 【答案】 37, 20 【解读】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5 组抽出的号码为22,所以第6组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为32,第 8 组抽出的号码为37. 40 岁以下年龄段的职工数为2000.5100,则应抽取的人数为4010020200人. 2.( 2009 广东卷理)已知离散
16、型随机变量X的分布列如右表若0EX,1DX,则a,b【 解 读 】 由 题 知1211cba,061ca,1121211222ca, 解 得125a,41b. 3. ( 2009 浙江卷文)某个容量为100的样本的频率分布直方图如下,则在区间4,5)上的数据的频数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 35 页7 / 35 30【命题意图】此题考查了频率分布直方图,通过设问既考查了设图能力,也考查了运用图表解决实际问题的水平和能力【解读】对于在区间4,5的频率 /组距的数值为0.3,而总数为100,因此频数为304. (200
17、9 安徽卷理)若随机变量2( ,)XN,则()P X=_. 解读 125.(2009 安徽卷文)从长度分别为2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_。【解读】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况: 2、3、4 或 3、4、5 或 2、4、5,故34334PC=0.75.【答案】 0.756.(2009 江苏卷)现有5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8, 2.9,若从中一次随机抽取2 根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 .【解读】考查等可能事件的概率知识。从 5 根竹竿中一次随机抽取2 根的可能的事件
18、总数为10,它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2,分别是: 2.5 和 2.8, 2.6 和 2.9,所求概率为0.2。7.(2009 江苏卷)某校甲、乙两个班级各有5 名编号为1, 2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投10 次,投中的次数如下表:学生1 号2号3 号4 号5 号甲班6 7 7 8 7 乙班6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为2s= .【解读】考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小,数据的平均值为7,故方差222222(67)00(87)0255s8.(2009 辽宁卷理)某企业有3 个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为 1
19、: 2:1,用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3 个分厂生产的电子产品中共取100 件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 35 页8 / 35 产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020h,1032h,则抽取的100 件产品的使用寿命的平均值为 h. 【解读】980 1+1020 2+1032 14x1013 【答案】 1013 9.(2009 湖北卷文)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8、 0.6、0.5,则三人都达标的概率是,
20、三人中至少有一人达标的概率是。【答案】 0.24 0.76【解读】三人均达标为0.80.60.5=0.24, 三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76 10.(2009 湖北卷文)下图是样本容量为200 的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在【6,10】内的频数为,数据落在(2,10)内的概率约为。【答案】 64 【解读】观察直方图易得频数为2000.08464,频率为0.140.411.(2009 湖南卷文)一个总体分为A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10 的样本。已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112,则总体中的个体数为 120 . 解: 设
21、总体中的个体数为x,则101120.12xx12.(2009 湖南卷理 )一个总体分为A,B 两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10 的样本,已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128,则总体中的个数数位 50 。【答案】: 40【解读】由条件易知B层中抽取的样本数是2,设B层总体数是n,则又由B层中甲、乙都被抽到的概率是222nCC=128,可得8n,所以总体中的个数是4884013.(2009 天津卷理)某学院的A, B,C 三个专业共有1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120 的样本。已知该学院的A 专业有精选
22、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 35 页9 / 35 380 名学生, B 专业有 420 名学生,则在该学院的C 专业应抽取 _名学生。【考点定位】本小题考查分层抽样,基础题。解 读 : C专 业 的 学 生 有4004203801200, 由 分 层 抽 样 原 理 , 应 抽 取401200400120名。14.(2009 福建卷文) 点 A 为周长等于3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB 的长度小于1的概率为。解读 解读:如图可设1AB,则1AB,根据几何概率可知其整体事件是其周长3,则其概率
23、是23。15.(2009 上海卷文)若某学校要从5 名男生和2 名女生中选出3 人作为上海世博会的志愿者,则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是(结果用最简分数表示)。【答案】57【解读】因为只有2 名女生,所以选出3 人中至少有一名男生,当选出的学生全是男生时有:35C,概率为 ::723735CC,所以,均不少于1 名的概率为: 17572。16.(2009 重庆卷文) 5 个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有种(用数字作答)【答案】 72 解读可恩两个步骤完成,第一步骤先排除甲乙外的其他三人,有33A种,第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中,有24A种,则甲、乙两不相邻的排
24、法有3234A A72种。17( 2009 重庆卷文)从一堆苹果中任取5 只,称得它们的质量如下(单位:克)125 124 121 123 127则该样本标准差s(克)(用数字作答)【答案】 2 解 读 因 为 样 本 平 均 数1( 1 2 51 2 41 2 11 2 31 2 7 )1 2 45x, 则 样 本 方 差2222221(1313 )4,5sO所以2s18.(2009湖北卷理 ) 样本容量为200 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 35 页10 / 35
25、估计 ,样本数据落在6,10)内的频数为,数据落在2,10)内的概率约为 . 【答案】 64 0.4 【解读】由于在6,10)范围内频数、组距是0.08,所以频率是0.08*组距 =0.32,而频数 =频率*样本容量,所以频数=(0.08*4 )*200=64 同样在2,6)范围内的频数为16,所以在2,10)范围内的频数和为80,概率为80/200=0.4 三、解答题1.(2009 年广东卷文 ) (本小题满分13 分)随机抽取某中学甲乙两班各10 名同学 ,测量他们的身高(单位 :cm),获得身高数据的茎叶图如图7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高。(2)计算甲班的样本方差(3)
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