2022年二项式定理公开课教案 .pdf
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1、学习必备欢迎下载二项式定理公开课教案1、重点:二项式定理的发现、理解和初步应用。2、难点:二项式定理的发现。三、教学过程1、情景设置问题 1:若今天是星期一,再过30 天后是星期几?怎么算?预期回答:星期三,将问题转化为求“30 被 7 除后算余数”是多少。问题 2:若今天是星期一,再过)(8Nnn天后是星期几?怎么算?预期回答:将问题转化为求“nn)17(8被 7 除后算余数”是多少,也就是研究)()(Nnban的展开式是什么?这就是本节课要学的内容,学完本课后,此题就不难求解了。2、新授第一步:让学生展开baba1)(2222)(bababa;32232333)()()(babbaabab
2、aba;43223434464)()()(babbabaabababa5432234555510105)()()(babbababaabababa教师将以上各展开式的系数整理成如下模型1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题 1:请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答:下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题2:以5)(ba的展开式为例,说出各项字母排列的规律;项数与乘方指数的关系;展开式第二项的系数与乘方指数的关系。预期回答:展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列,且两个字母的和等于乘方指数;展开式的项数
3、比乘方指数多1 项;展开式中第二项的系数等于乘方指数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页学习必备欢迎下载初步归纳出下式:nnnnnnbbababaaba33221)(()(设计意图:以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”,起到了“先行组织者”的作用,虽然,教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生,但是,它毕竟不是最后的结果,而是一种寻找系数规律的有效工具,便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来,并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的,是主动建构的而不是被动死记的心理过程。)
4、练习:展开7)(ba教师作阶段性评价,告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作,称为杨辉三角形,这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400 多年。你们今天做了与杨辉同样的探索,以鼓励学生探究的热情,并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步:继续设疑如何展开100)(ba以及)()(Nnban呢?(设计意图:让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的,激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。 )继续新授师:为了寻找规律, 我们将)()()()(4bababababa中第一个括号中的字母分别记成11,ba;第二个括号中的字母分别记成22,ba;依次类推。 请再次用多项式乘法运算法则计算:)
5、()()()(443322114bababababa4321aaaa4a1432243134214321baaabaaabaaabaaaba3214331424132324142314321bbaabbaabbaabbaabbaabbaa22ba3214421343124321bbbabbbabbbabbba3ab4321bbbb4b(设计意图:上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”,用以激活学生认知结构中已有的知识与经验,便于学生进行类比学习,用已有的知识与经验同化当前学习的新知识,并迁移到陌生的情境之中。)问题1:以22ba项为例,有几种情况相乘均可得到22ba项?这里的字母ba,各来自哪个括
6、号?问题 2:既然以上的字母ba,分别来自4 个不同的括号,22ba项的系数你能用组合数来表示吗?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页学习必备欢迎下载问题 3:你能将问题2 所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?(预期答案:有 4 个括号,每个括号中有两个字母,一个是a、一个是b。每个括号只能取一个字母,任取两个a、两个b,然后相乘,问不同的取法有几种?)问题 4:请用类比的方法,求出二项展开式中的其它各项系数,并将式子:4322344)()()()(babbabaabababababa括号中的系数全部用组合数的形式进
7、行填写。呈现二项式定理板书课题:)()(222110NnbCbaCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnnn。3、深化认识请学生总结:二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么?二项式定理展开式的结构特征是什么?哪一项最具有代表性?由此,学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念,这是本课的重点。(设计意图:教师用边讲边问的形式,通过让学生自己总结、发现规律,挖掘学习材料潜在的意义,从而使学习成为有意义的学习。)4、巩固应用【例 1】展开4)11(x6)12(xx【例 2】求7)21(x的展开式的第4项的系数及第4 项的二项式系数。求9)1(xx的
8、展开式中含3x项的系数。变式:在二项式定理中,令xba, 1,得到怎样的公式?nnnrrnnnnxCxCxCxCx2211)1(思考:?210nnrnnnnCCCCC为什么?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页学习必备欢迎下载?21nnrnnnCCCC【例 3】解决起始问题:nnnnnnnnnnCCCC777)17(81110,前面是 7 的倍数,因此余数为1nnC,故应该为星期二。说明:解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。四、课堂小结本节课我们主要学习了二项式的展开,有两种方法,一是杨辉三角形,二是二项式定理
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