2022年初中数学专题特训第十八讲:等腰三角形与直角三角形 .pdf
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1、2013 年中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义:有两边的三角形叫做等腰三角形,其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质:等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为等腰三角形的顶角平分线、互相重合,简称为等腰三角形是轴对称图形,它有条对称轴,是3、等腰三角形的判定:定义法:有两边相等的三角形是等腰三角形有两相等的三角形是等腰三角形,简称【赵老师提醒:1、等腰三角形的性质还有:等腰三角形两腰上的相等,两腰上的相等,两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性,所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题,讨论边时应注意保证讨论角时应主要底
2、角只被围角】4、等边三角形的性质:等边三角形的每个内角都都等于等边三角形也是对称图形,它有条对称轴1、 等边三角形的判定:有三个角相等的三角形是等边三角形有一个角是度的三角形是等边三角形【赵老师提醒:1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形 】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义:一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质:线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定:到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线:1、性质:角平分线上的点到得距离相等2、判定:到角两边距离相等的【赵老师提醒:1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合,角平分线
3、可以看作是的点 的2、要移用作 一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形:1、勾股定理和它的逆定理:勾股定理:若一 个直角三角形的两直角边为a、 b 斜边为 c 则 a、b、c 满足逆定理:若一个三角形的三边a、 b、c 满足则这个三角形是直角三角形【赵老师提醒:1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛,要注意和二次根式的结合2、 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据,3、勾股数,列举常见的勾股数三组、】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 33 页2、直角三角形的性质:除勾
4、股定理外,直角三角形还有如下性质:直角三角形两锐角直角三角形斜边的中线等于在直角三角形中如果有一个锐角是300,那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定:除勾股定理的逆定理外,直角三角形还有如下判定方法:定义法:有一个角是的三角形是直角三角形有两个角是的三角形是直角三角形如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【赵老师提醒:直角三角形的有关性质在边形, 中均有广泛应用,要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一:等腰三角形性质的运用例 1 ( 2012?襄阳)在等腰ABC中, A=30 , AB=8 ,则AB边上的高CD 的长是分析: 此题需先根据题意画出
5、当AB=AC 时,当 AB=BC 时,当 AC=BC 时的图象,然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形,分别进行计算即可解: (1)当 AB=AC 时, A=30 ,CD=12AC=12 8=4;(2)当 AB=BC 时,则 A=ACB=30 , ACD=60 , BCD=30 ,CD=cosBCD?BC=cos308=43;(3)当 AC=BC 时,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 33 页则 AD=4 ,CD=tanA?AD=tan30 ?4=4 33;故答案为:4 33或4 3或 4。点评:本题考查了等腰三角形的性质
6、,用到的知识点是等腰三角形的性质和解直角三角形,关键是根据题意画出所有图形,要熟练掌握好边角之间的关系对应训练1( 2012?广安)已知等腰ABC 中, AD BC 于点 D,且 AD=12BC,则 ABC 底角的度数为()A45B75C45 或 75D601C 分析:首先根据题意画出图形,注意分别从BAC 是顶角与 BAC 是底角去分析,然后利用等腰三角形与直角三角形的性质,即可求得答案解答:解:如图1:AB=AC ,AD BC,BD=CD=12BC, ADB=90,AD=12BC,AD=BD , B=45 ,即此时 ABC 底角的度数为45 ;如图 2, AC=BC ,AD BC, ADC
7、=90 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 33 页AD=12BC,AD=12AC , C=30 , CAB= B=1802A=75 ,即此时 ABC 底角的度数为75 ;综上, ABC 底角的度数为45 或 75 故选 C点评: 此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度适中,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键考点二:线段垂直平分线例 2 ( 2012?毕节地区)如图在RtABC 中, A=30 ,DE 垂直平分斜边AC ,交 AB于 D,E 是垂足,连接CD,若 BD=1
8、,则 AC 的长是()A2 3B2 C4 3D4 思路分析:求出ACB ,根据线段垂直平分线求出AD=CD ,求出 ACD 、 DCB,求出CD、AD 、AB,由勾股定理求出BC,再求出 AC 即可解: A=30 ,B=90 , ACB=180 -30 -90 =60 ,DE 垂直平分斜边AC ,AD=CD , A=ACD=30 , DCB=60 -30 =30 ,BD=1 ,CD=2=AD ,AB=1+2=3 ,在 BCD 中,由勾股定理得:CB=3,在 ABC 中,由勾股定理得:AC=22ABBC=23,故选 A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
9、 - - -第 4 页,共 33 页点评:本题考查了线段垂直平分线,含30 度角的直角三角形,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要考查学生运用这些定理进行推理的能力,题目综合性比较强,难度适中对应训练2( 2012?贵阳)如图,在RtABC 中, ACB=90,AB 的垂直平分线DE 交于 BC 的延长线于 F,若 F=30 ,DE=1 ,则 EF 的长是()A3 B2 C3D1 2B 分析:连接AF,求出 AF=BF ,求出 AFD 、 B,得出 BAC=30 ,求出 AE,求出FAC= AFE=30 ,推出 AE=EF ,代入求出即可解答:解:连接AF,DF 是 AB
10、的垂直平分线,AF=BF ,FDAB , AFD= BFD=30 , B= FAB=90 -30 =60 , ACB=90 , BAC=30 , FAC=60 -30 =30 ,DE=1 ,AE=2DE=2 , FAE= AFD=30 ,EF=AE=2 ,故选 B点评:本题考查了含30 度角的直角三角形,线段垂直平分线,角平分线的性质等知识点的应用,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力,题目综合性比较强考点三:等边三角形的判定与性质例 3 ( 2012?遵义)如图,ABC 是边长为6 的等边三角形,P 是 AC 边上一动点,由A向 C 运动(与A、 C 不重合), Q 是 CB 延长线上一
11、点,与点P同时以相同的速度由B 向精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 33 页CB 延长线方向运动(Q 不与 B 重合),过P 作 PEAB 于 E,连接 PQ 交 AB 于 D(1)当 BQD=30 时,求 AP 的长;(2)当运动过程中线段ED 的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED 的长;如果变化请说明理由思路分析:( 1)由 ABC 是边长为6的等边三角形,可知ACB=60 ,再由 BQD=30 可知 QPC=90 ,设 AP=x ,则 PC=6-x,QB=x ,在 RtQCP 中, BQD=30 ,PC=12QC
12、,即 6-x= 12(6+x),求出x 的值即可;(2)作 QFAB ,交直线AB 的延长线于点F,连接 QE,PF,由点 P、 Q 做匀速运动且速度相同,可知AP=BQ ,再根据全等三角形的判定定理得出APE BQF,再由 AE=BF ,PE=QF 且 PEQF,可知四边形 PEQF 是平行四边形, 进而可得出EB+AE=BE+BF=AB, DE=12AB , 由等边 ABC的边长为6 可得出 DE=3,故当点P、Q 运动时,线段DE 的长度不会改变解答:解:( 1) ABC 是边长为6 的等边三角形, ACB=60 , BQD=30 , QPC=90 ,设 AP=x,则 PC=6-x,QB
13、=x ,QC=QB+BC=6+x ,在 RtQCP 中, BQD=30 ,PC=12QC,即 6-x=12(6+x),解得x=2;(2)当点 P、 Q 运动时,线段DE 的长度不会改变理由如下:如图,作 QFAB,交直线AB 的延长线于点F,连接 QE,PF,又 PEAB 于 E, DFQ= AEP=90 ,点 P、Q 做匀速运动且速度相同,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 33 页AP=BQ , ABC 是等边三角形, A=ABC= FBQ=60 ,在 APE 和 BQF 中, A=FBQ= AEP= BFQ=90 ,
14、APE= BQF,AFBQAPBQAEPBFQ, APE BQF,AE=BF ,PE=QF 且 PEQF,四边形 PEQF 是平行四边形,DE=12EF,EB+AE=BE+BF=AB,DE=12AB ,又等边 ABC 的边长为6,DE=3 ,当点 P、Q 运动时,线段DE 的长度不会改变点评: 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质,根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键对应训练3( 2012?湘潭)如图,ABC 是边长为 3 的等边三角形,将ABC 沿直线 BC 向右平移,使 B 点与 C 点重合,得到DCE,连接 BD ,交 AC 于 F(1
15、)猜想 AC 与 BD 的位置关系,并证明你的结论;(2)求线段BD 的长3分析:( 1)由平移的性质可知BE=2BC=6 ,DE=AC=3 ,故可得出BDDE,由E=ACB=60 可知 AC DE,故可得出结论;(2)在 RtBDE 中利用勾股定理即可得出BD 的长解答:解:( 1)AC BD DCE 由 ABC 平移而成,BE=2BC=6 ,DE=AC=3 , E=ACB=60 ,DE=12BE,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 33 页BD DE, E=ACB=60 ,AC DE,BD AC ;(2)在 RtBED
16、中,BE=6,DE=3 ,BD=22BEDE=2263=3 3点评:本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质,熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键考点四:角的平分线例 4 (2012?梅州)如图, AOE= BOE=15 , EFOB, ECOB, 若 EC=1, 则 EF= 思路分析: 作 EGOA 于 F,根据角平分线的性质得到EG 的长度, 再根据平行线的性质得到 OEF= COE=15 ,然后利用三角形的外角和内角的关系求出EFG=30 ,利用 30 角所对的直角边是斜边的一半解题解答:解:如图,作EG OA 于 F,EFOB, OEF= COE=15 , AOE=1
17、5 , EFG=15 +15 =30 ,EG=CE=1 ,EF=2 1=2故答案为2点评:本题考查了角平分线的性质和含30 角的直角三角形,综合性较强,是一道好题对应训练4( 2012?常德)如图,在RtABC 中, C=90 ,AD 是 BAC 的平分线, DC=2 ,则 D到 AB 边的距离是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 33 页42 分析:过 D 作 DEAB 于 E,得出 DE 的长度是 D 到 AB 边的距离,根据角平分线性质求出 CD=ED ,代入求出即可解答:解:过D 作 DEAB 于 E,则 DE 的长
18、度就是D 到 AB 边的距离AD 平分 CAB , ACD=90 ,DEAB ,DC=DE=2 (角平分线性质),故答案为: 2点评: 本题考查了对角平分线性质的应用,关键是作辅助线DE,本题比较典型, 难度适中考点五:勾股定理例 5 (2012?黔西南州)如图,在ABC 中, ACB=90 ,D 是 BC 的中点, DEBC,CEAD ,若 AC=2 ,CE=4,则四边形ACEB 的周长为思路分析: 先证明四边形ACED 是平行四边形,可得DE=AC=2 由勾股定理和中线的定义可求 AB 和 EB 的长,从而求出四边形ACEB 的周长解: ACB=90 ,DEBC,AC DE又 CEAD ,
19、四边形 ACED 是平行四边形DE=AC=2 在 RtCDE 中,由勾股定理得CD=22CEDE=23,D 是 BC 的中点,BC=2CD=43,在 ABC 中, ACB=90 ,由勾股定理得AB=22ACBC=213,D 是 BC 的中点, DEBC,EB=EC=4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 33 页四边形 ACEB 的周长 =AC+CE+EB+BA=10+213,故答案为: 10+213点评:本题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理和中线的定义,注意寻找求AB 和EB 的长的方法和途径对应训练5 (2012?
20、新疆)如图所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积 S1=258 ,S2=2 ,则 S3是分析: 在直角三角形中,利用勾股定理得到a2+b2=c2,在等式两边同时乘以8,变形后得到S2+S3=S1,将已知的S1与 S2代入,即可求出S3的值解答:解:在直角三角形中,利用勾股定理得:a2+b2=c2,8a2+8b2=8c2,即12(2a)2+12(2b)2=12(2c)2 ,S2+S3=S1,又 S1=258,S2=2 ,则 S3=S1-S2=258-2=98故答案为:98。点评: 此题考查了勾股定理,以及圆的面积求法,利用了转化的思想,灵活运用勾股定理是解本题的关键【聚焦山
21、东中考】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 33 页1( 2012?泰安)如图,在矩形ABCD 中,AB=2 ,BC=4 ,对角线 AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点 E、O,连接 CE,则 CE 的长为()A3 B3.5 C2.5 D2.8 1C 专题: 计算题 分析:根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE ,设 CE=x ,表示出 ED 的长度,然后在RtCDE 中,利用勾股定理列式计算即可得解解答:解: EO 是 AC 的垂直平分线,AE=CE ,设 CE=x,则 ED=AD-AE
22、=4-x ,在 RtCDE 中, CE2=CD2+ED2,即 x2=22+(4-x)2,解得 x=2.5,即 CE 的长为 2.5故选 C点评: 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,勾股定理的应用,把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键2( 2012?济宁)如图,在平面直角坐标系中,点P坐标为( -2,3),以点O 为圆心,以OP 的长为半径画弧,交x 轴的负半轴于点A,则点 A 的横坐标介于()A-4 和-3 之间B3 和 4 之间C-5 和-4 之间D4 和 5 之间2A 分析:先根据勾股定理求出OP 的长,由于OP=OA ,故估算出OP 的长,再根据点A
23、 在 x轴的负半轴上即可得出结论解答:解:点P坐标为( -2,3),OP=22( 2)3=13,点 A、P 均在以点O 为圆心,以OP 为半径的圆上,OA=OP=13,91316,3134精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 33 页点 A 在 x 轴的负半轴上,点 A 的横坐标介于-4 和-3 之间故选 A点评: 本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小,根据题意利用勾股定理求出OP 的长是解答此题的关键【备考真题过关】一、选择题1( 2012?肇庆)等腰三角形两边长分别为4 和 8,则这个等腰三角形的周长为()A16 B1
24、8 C20 D16 或 20 1C 分析:由于题中没有指明哪边是底哪边是腰,则应该分两种情况进行分析解答:解:当4 为腰时, 4+4=8,故此种情况不存在;当 8 为腰时, 8-488+4,符合题意故此三角形的周长=8+8+4=20故选 C点评:本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系,解答此题时注意分类讨论,不要漏解2( 2012?攀枝花)已知实数x,y 满足 |x-4|+8y=0,则以 x,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是()A20 或 16 B20 C16 D以上答案均不对2B 分析: 根据非负数的意义列出关于x、y 的方程并求出x、y 的值,再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解解
25、答:解:根据题意得4088xy,解得48xy,(1)若 4是腰长,则三角形的三边长为:4、4、8,不能组成三角形;(2)若 4是底边长,则三角形的三边长为:4、8、8,能组成三角形,周长为4+8+8=20 故选 B点评: 本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系;解题主要利用了非负数的性质, 分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断根据题意列出方程是正确解答本题的关键3( 2012?江西)等腰三角形的顶角为80 ,则它的底角是()A20B50C60D803B 分析:根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质,可以求得其底角的度数精选学习资料 - - -
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