最新大一高数下全微分ppt课件.ppt
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1、一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关,yBxA称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1
2、, 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez机动 目录 上页 下页 返回 结束 可知当*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (
3、可用于近似计算) 半径由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003例例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体例例4.4.计算的近似值. 02. 204. 1解解: 设yxyxf),(,则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08.
4、 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计误差估计利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 则特别注意特别注意时,yxz ) 1 (yxzyxz,)2(时xyz yxyx类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数
5、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解:解:aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故绝对误差约为又CbaSsin21所以 S 的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0计算三角形面积.现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbSccS例例6 6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,解解: 由欧姆定律可知
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