2022年曲线系方程的共交点在解题中的应用 .pdf
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1、精品资料欢迎下载曲线系方程的共交点在解题中的应用共交点的曲线系:设两已知曲线S1:0)y,x(f,S2:0)y,x(g, (因为方程组0)y,x(g0)y,x(f的公共解肯定满足方程0)y,x(g)y,x(f,其中为任意常数,所以此方程对应的曲线肯定过S1和 S2的交点。 )因此可设过两曲线S1、S2的交点的曲线系方程是:0)y,x(g)y,x(f,但曲线系中不包括 S2。这种共交点的曲线系方程也具有广泛的应用,我们常见的求轨迹问题是一个定位描述的问题,只要给多一个条件,就可以确定其轨迹方程。本文尝试利用共交点的曲线系方程解题方面作一些探讨。一、共交点曲线系方程的一般性运用例 1: 求经过两圆
2、0yx2y3x3:C0yx3yx:C222221和的交点及点 P(1,1)的圆的方程。分析:因为 C1、C2是圆的方程,所以C1+C2=0 是过两圆交点的圆系方程。代入交点的坐标,解出即可。例 2:求经过两条曲线0yx3yx22和0yx2y3x322的交点的直线方程。分析:此题可先求出两个交点再求直线方程,但计算量较大。若从曲线与方程的关系这一角度出发,只要理解了曲线上点的坐标与方程的解之间的关系,利用共交点的曲线系方程解题,可避免大量的计算。二、共交点曲线系方程的灵活性运用从曲线系方程0)y,x(g)y,x(f结构看,若0)y,x(g)y,x(f为圆系方程,不要求 f(x,y)=0 与 g(
3、x,y)=0 都是圆的方程,只要其中有一个是圆的方程,它就是圆系方程,因此可延展到直线与圆相交的情形。从运动的角度看:直线也可以看成圆,因为直线可理解为半径趋于正无穷大的圆;点也可以看成圆,因为点可理解为半径为零的圆,即点圆;因为圆系方程可延展到直线与圆相交的情形,因此圆上的切点也可理解为圆的相交直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精品资料欢迎下载运动到相切的位置,即视切点为切线。例 1:求过直线015y8x4yx04yx222和圆的交点,且经过点Q(5,6)的圆的方程。分析:当圆系方程中 C1与 C2有一条是直线
4、 L 时,C1+L=0 仍表示过 C1与 L交点的圆系方程, L 可理解为由圆退化的直线。例 2:求与圆015y8x4yx22相切于点 P(3,6) ,且经过点 Q(5,6)的圆的方程。分析:由例2 可知题设中的直线可理解为由圆退化的直线,所以也把此题中的切点 P(3,6)视为由圆退化的点。即点圆:0)6y()3x(22。解法一:切点 P (3,6)在已知圆上, 将它视为“点圆” :0)6y()3x(22,故建立圆系方程0)6y()3x(15y8x4yx2222,将点 Q(5,6)的坐标代入方程,解得2。故所求的圆的方程是:075y16x8yx22。分析:若利用运动的观点看待此题:点P 可看成
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