2021高三数学北师大版(文)一轮教师用书:第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性 .doc
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1、第三节函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义, 会判断、应用简单函数的周期性(对应学生用书第16页)1奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数;图像关于y轴对称的函数叫作偶函数2奇(偶)函数的性质(1)对于函数f(x),f(x)为奇函数f(x)f(x);f(x)为偶函数f(x)f(x)(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性(3)如果奇函数yf(x)在原点有定义,那么f(0)0.3函数的周期性(1)对于函数f(x)
2、,如果存在非零实数T,对定义域内的任意一个x值,都有f(xT)f(x),那么f(x)为周期函数(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(3)若T是函数yf(x)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数yf(x)的一个周期1函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义,那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性2周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x,
3、周期为T,则(1)若f(xa)f(x),则T2a(a0);(2)若f(xa),则T2a(a0);(3)若f(xa),则T2a(a0)一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数yx2,x(0,)是偶函数()(2)偶函数图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数,则函数yf(x)的图像关于直线xa对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x),则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2xBA为奇函数,C,D为非奇非偶
4、函数,B为偶函数,故选B.2已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)x(1x),则f(1)_.2f(1)122,又f(x)为奇函数,f(1)f(1)2.3设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x1,1)时,f(x)则f_.1ff421.4.设奇函数f(x)的定义域为5,5,若当x0,5时,f(x)的图像如图所示,则不等式f(x)0的解集为_(2,0)(2,5由图像可知,当0x2时,f(x)0;当2x5时,f(x)0,又f(x)是奇函数,当2x0时,f(x)0,当5x2时,f(x)0.综上,f(x)0的解集为(2,0)(2,5(对应学生用书第17页)考点1判断函数的奇偶性判
5、断函数奇偶性的方法(1)定义法:(2)图像法:函数是奇(偶)函数函数图像关于原点(y轴)对称(1)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列函数的奇偶性:f(x);f(x);f(x)(1)C令F1(x)f(x)g(x),则F1(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F1(x),f(x)g(x)为奇函数,故A错误令F2(x)|f(x)|g(x),则F2(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F2(x),F2
6、(x)为偶函数,故B错误令F3(x)f(x)|g(x)|,则F3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F3(x),F3(x)为奇函数,故C正确令F4(x)|f(x)g(x)|,则F4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|F4(x),F4(x)为偶函数,故D错误(2)解由得x23,解得x,即函数f(x)的定义域为,从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x),函数f(x)既是奇函数又是偶函数由得定义域为(1,0)(0,1),关于原点对称,x20,|x2|2x,f(x).又f(x)f(x),函数f(x)为奇函数显然函数f(x)的定义域为(,0)(0,),关于原点对称当x0时
7、,x0,则f(x)(x)2xx2xf(x);当x0时,x0,则f(x)(x)2xx2xf(x)综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(x)f(x)成立,函数f(x)为奇函数判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立1.(2019福州模拟)下列函数为偶函数的是()AytanByx2e|x|Cyxcos xDyln|x|sin xB对于选项A,易知ytan为非奇
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