2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训:17 利用导数证明不等式 .doc
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1、利用导数证明不等式建议用时:45分钟1(2019福州模拟)已知函数f(x)eln xax(aR)(1)讨论f(x)的单调性;(2)当ae时,证明:xf(x)ex2ex0.解(1)f(x)a(x0)若a0,则f(x)0,f(x)在(0,)上单调递增;若a0,则当0x时,f(x)0,当x时,f(x)0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减(2)证明:法一:因为x0,所以只需证f(x)2e,当ae时,由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,所以f(x)maxf(1)e.记g(x)2e(x0),则g(x),所以当0x1时,g(x)0,g(x)单调递减,当x1时,g(x)0,g
2、(x)单调递增,所以g(x)ming(1)e.综上,当x0时,f(x)g(x),即f(x)2e,即xf(x)ex2ex0.法二:由题意知,即证exln xex2ex2ex0,从而等价于ln xx2.设函数g(x)ln xx2,则g(x)1.所以当x(0,1)时,g(x)0,当x(1,)时,g(x)0,故g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,从而g(x)在(0,)上的最大值为g(1)1.设函数h(x),则h(x).所以当x(0,1)时,h(x)0,当x(1,)时,h(x)0,故h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,从而h(x)在(0,)上的最小值为h(1)1.综上
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