2021高三数学北师大版(文)一轮教师用书:第9章 第6节 抛物线 .doc
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1、第六节抛物线最新考纲1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用(对应学生用书第158页)1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py (p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,
2、xR开口方向向右向左向上向下焦半径P(x0,y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),为弦AB的倾斜角则(1)x1x2,y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p.(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线y24x的焦点到准线的距离是4.()(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图
3、形()(4)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1抛物线yx2的准线方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2,x24y,准线方程为y1.2若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.B.C.D0BM到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为y,设M(x,y),则y1,y.3过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1x26,则|PQ|等于()A9B8 C7D6B抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线方程为x1.根据题意可得,|PQ
4、|PF|QF|x11x21x1x228.4已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(2,4),则该抛物线的标准方程为_y28x或x2y设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)将P(2,4)代入,分别得方程为y28x或x2y.(对应学生用书第159页)考点1抛物线的定义及应用与抛物线有关的最值问题的解题策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中,垂线段最短”解决(1)(2019长春模拟)已知抛物线y24x的焦点为F,准线l与x轴的交点
5、为K,抛物线上一点P.若|PF|5,则PFK的面积为()A4B5C8D10(2)(2019福州模拟)已知抛物线y24x的焦点F,点A(4,3),P为抛物线上一点,且点P不在直线AF上,则当PAF周长取最小值时,线段PF的长为()A1B. C5D.(1)A(2)B(1)由抛物线的方程y24x,可得F(1,0),K(1,0),准线方程为x1.设P(x0,y0),则|PF|x015,即x04,不妨设P(x0,y0)在第一象限,则P(4,4),所以SPKF|FK|y0|244.故选A.(2)如图,求PAF周长的最小值,即求|PA|PF|的最小值设点P在准线上的投影为D,根据抛物线的定义,可知|PF|P
6、D|,因此|PA|PF|的最小值,即|PA|PD|的最小值,可得当D,P,A三点共线时,|PA|PD|最小,此时P,F(1,0),线段PF的长为1.故选B.抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化是解题的关键1.(2019临川模拟)若抛物线y22px(p0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍,则p等于()A.B1 C.D2D由抛物线y22px知其准线方程为x.又点A到准线的距离等于点A到焦点的距离,3x0x0,x0,A.点A在抛物线y22px上,2.p0,p2.故选D.2动圆过点(1,0),且与直线x1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为_. y24x设动圆的圆心坐标为(x,
7、y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.3已知抛物线方程为y24x,直线l的方程为xy50,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1d2的最小值为_31由题意知,抛物线的焦点为F(1,0) 点P到y轴的距离d1|PF|1,所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d2|PF|的最小值为3,所以d1d2的最小值为31.考点2抛物线的标准方程与几何性质1求抛物线标准方程的方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p),那么只
8、需求出p即可;若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2ax(a0),a的正负由题设来定;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2ay(a0),这样就减少了不必要的讨论2抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算(1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(4,2)的抛物线的标准方程是()Ay2xBx28yCy28x或x2yDy2x或x28y(2)(2018北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y24ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为_
9、(1)D(2)(1,0)(1)(待定系数法)设抛物线为y2mx,代入点P(4,2),解得m1,则抛物线方程为y2x;设抛物线为x2ny,代入点P(4,2),解得n8,则抛物线方程为x28y.(2)由题知直线l的方程为x1,则直线与抛物线的交点为(1,2)(a0)又直线被抛物线截得的线段长为4,所以44,即a1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)若抛物线的焦点位置不确定,应分焦点在x轴和y轴两种情况求解,如本例(1)教师备选例题1点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236yD将yax2化为x2y.当a0时,准线y
10、,则36,a.当a0,即m1时,x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|,即42(m1),解得m7.所以直线AB的方程为yx7.(1)对于抛物线x2ay(a0),直线与抛物线相切问题多用到导数的有关知识(2)本例第(2)问中,找出隐含条件|AB|2|MN|是解题的关键抛物线的焦点弦问题解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|x1x2p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提
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