2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书:第7章 第5节 综合法、分析法、反证法、数学归纳法 .doc
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1、第五节综合法、分析法、反证法、数学归纳法最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1综合法、分析法内容综合法分析法定义从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法实质由因导果执果
2、索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证2反证法(1)反证法的定义:在假定命题结论的反面成立的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法(2)反证法的证题步骤:作出否定结论的假设;进行推理,导出矛盾;否定假设,肯定结论3数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)归纳奠基:证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立;(2)归纳递推:假设nk(kn0,kN)时命题成立,证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始
3、的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n1时结论成立()(2)综合法是直接证明,分析法是间接证明()(3)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件()(4)用反证法证明结论“ab”时,应假设“aQBPQCPQ,只需P2Q2,即2a1322a132,只需a213a42a213a40.因为4240成立,所以PQ成立故选A.4已知数列an满足an1anan1,nN,且a12,则a2_,a3_,a4_,猜想an_.345n1易得a23,a34,a45,故猜想ann1.考点1综合法的应用掌握综合
4、法证明问题的思路综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性设a,b,c均为正数,且abc1.证明:(1)abbcac;(2)1.证明(1)由a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac,得a2b2c2abbcca,由题设得(abc)21,即a2b2c22ab2bc2ca1,所以3(abbcca)1,即abbcca.(2)因为a,b,c均为正数,b2a,c2b,a2c,故(abc)2(abc),即abc,所以1.母题探究本例的条件不变,证明a2b2c2.证
5、明因为abc1,所以1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac,因为2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2,所以2ab2bc2ac2(a2b2c2),所以1a2b2c22(a2b2c2),即a2b2c2.(1)不等式的证明常借助基本不等式,注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”;(2) 应用重要不等式a2b22ab放缩时要注意待证不等式的方向性在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C,求证:5a3b.证明(1)由已知得sin Asin Bsin Bsin C2sin2B
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