专升本高等数学(二)必考公式定理,必考题型与模拟试卷.doc

-! 吴忧学数学 高等数学(二)必考公式 1.预备知识 2.极限与连续 3.导数及应用 4.不定积分 5.定积分及应用 6.多元函数微分学 7. 概率 高等数学(二)必考题型 1. 极限与连续 (1)直接代入求极限; (2)利用等价无穷小极限;如（ C ）．A．； B. ； C. ； D. . (3)利用重要极限极限;如（ D ）．A．； B. ； C. ； D. . (4)利用罗必达法则;如 ( A )A．6； B. -6； C. 0； D. 1． (5)分段函数的极限 (6)分段函数的连续性; 如果函数处处连续，则k = ( C ).A．；B. ；C. ；D. ． 2. 导数及应用 (1) 利用导数定义求导; 如果，则（ B ）. A. -6 ； B. -3 ； C. 3 ； D. 6 . (2) 利用导数公式求导;如 (3)利用连锁法则求导;如如果，则= ( C ). A. ； B. ； C. ； D. . (4)隐函数求导;如如果，则= ( D ). A. ； B. ； C. ； D. . (5)参数方程确定的函数求导; (6)切线方程; 曲线在点处的切线方程为（ B ）． A. ； B. ； C. ； D. . (7求)微分;如如果，则= ( C ). A. ； B. ； C. ； D. . (8) 确定单调区间, 极值;如函数的单调增加区间为( B ). A．和； B. 和； C. ； D. ． 再如函数( B ). A．在处取得极小值，在处取得极大值； B. 在处取得极大值，在处取得极小值； C. 在处取得极大值，在处取得极小值； D. 在处取得极小值，在处取得极大值． (9)凹凸区间,拐点;如求曲线的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为, , ,令, 得, 用把分成，两部分. 当时，, 当时，, 曲线的凹区间为 凸区间为 拐点为. (10)证明不等式;如试证当时，. 证明：令，易见在内连续，且. 当时，可知为上的严格单调减少函数，即 当时，，可知为上的严格单调增加函数， 即.故对任意 有即 3. 不定积分 (1)原函数的概念;如如果是在区间I的一个原函数，则 ( B ). A. ； B. ； C. ； D. . (2) 不定积分的公式;如. (3)换元法;如. (4)分部积分法;如 =. 4. 定积分及应用 (1) 积分上限函数;如设，则（ B ）． A. ； B. ； C. ； D. . (2) 定积分的几何意义; (3)N-L公式;如积分( B ).A. ； B. ；C. ； D. . (4)换元法;如积分( D ).A. ； B. ；C. ； D. . (5)分部积分法;如积分( A ).A. -2； B. 2； C. -1； D. 0. (6)反常积分;如广义积分( B ).A.；B. ；C. ；D. . (7)求面积;如求曲线与轴围成的平面图形的面积. 解：如图，由得两曲线交点（1，1）. 解一 取为积分变量，, 所求面积 . (8)求体积;如用定积分求由所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积 == 5. 多元函数微分学 (1)偏导数;如，求，，. 解：=8, =, =. (2)全微分;如设，求. 解： , . (3)多元函数的极值;如二元函数的（ ）．C A. 极小值为； B. 极大值为； C. 极小值为； D. 极大值为 . 6.概率 1. 设A与B相互独立，且，，则（ C ）． A. ； B. ； C. ； D. . 2. 一盒子内有10只球，其中6只是白球，4只是红球，从中取2只球，则取出产品中至少有一个是白球的概率为（ C ）．A. ； B. ； C. ； D. . 3.设离散型随机变量ξ的分布列为 ξ -3 0 1 P 4/5 2/5 1/3 则ξ的数学期望( ).B A. ； B. ； C. ； D. 高等数学模拟试卷 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内． 1．当x→2时，下列函数中不是无穷小量的是（　　）． A． B． C． D． 2． A．-3 B．一1 C．0 D．不存在 3． A． B． C． D． 4． A． B． C． D． 5． A．0 B．2x3 C．6x2 D．3x2 6．设ƒ(x)的一个原函数为Inx，则ƒ(x)等于（　　）． A． B． C． D． 7． A．y=x+1 B．y=x-1 C． D． 8． A．0 B．e一1 C．2(e-1) D． 9． A.y4cos(xy2) B.- y4cos(xy2) C.y4sin(xy2) D.- y4sin(xy2) 10．设100件产品中有次品4件，从中任取5件的不可能事件是（　　）． A．“5件都是正品” B．“5件都是次品” C．“至少有1件是次品” D．“至少有1件是正品” 二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 19． 20． 三、解答题：21～28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤． 21． 22． 23． 24． 25．(本题满分8分)设事件A与B相互独立，且P(A)=0．6，P(B)=0．7，求P(A+B). 26． 27． 28．(本题满分10分)求由曲线y=2-x2，)，y=2x-1及X≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积Vx． 高等数学模拟试卷参考答案及解析 一、选择题 1．【答案】 应选C． 2．【答案】 应选D． 【解析】 本题考查的知识点是分段函数在分段点处的极限计算．分段点处的极限一定要分别计算其左、右极限后，再进行判定． 3．【答案】 应选A． 【提示】 本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式．只需注意e3是常数即可． 4．【答案】 应选D． 5．【答案】 应选C． 【解析】 本题考查的知识点是函数在任意一点x的导数定义．注意导数定义的结构式为 6．【答案】应选A． 【提示】 本题考查的知识点是原函数的概念，因此有所以选A． 7．【答案】 应选B． 【解析】 本题考查的知识点是：函数y=ƒ(x)在点(x，ƒ(x))处导数的几何意义是表示该函数对应曲线过点(x,ƒ(x)))的切线的斜率．由 可知，切线过点(1，0)，则切线方程为y=x-1，所以选B． 8．【答案】 应选C． 【解析】 本题考查的知识点是奇、偶函数在对称区间上的定积分计算． 注意到被积函数是偶函数的特性，可知 所以选C． 9．【答案】 应选D． 【提示】 z对x求偏导时应将y视为常数，则有 所以选D． 10．【答案】 应选B． 【解析】 本题考查的知识点是不可能事件的概念．不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事件．由于只有4件次品，一次取出5件都是次品是根本不可能的，所以选B． 二、填空题 11．【答案】 应填2． 12． 13．【答案】应填一2sin 2x． 【提示】 用复合函数求导公式计算即可． 14．【答案】应填4． 15．【答案】 应填1． 16． 【提示】 凑微分后用积分公式． 17．【答案】 应填2In 2． 【解析】 本题考查的知识点是定积分的换元积分法．换元时，积分的上、下限一定要一起换． 18． 19．【答案】 20．【答案】 应填0． 【解析】 本题考查的知识点是二元函数的二阶混合偏导数的求法． 三、解答题 21． 【解析】 型不定式极限的一般求法是提取分子与分母中的最高次因子，也可用洛必达法则求解． 解法１ 解法2洛必达法则． 22．本题考查的知识点是函数乘积的导数计算． 23．本题考查的知识点是凑微分积分法． 24．本题考查的知识点是定积分的凑微分法和分部积分法． 【解析】 本题的关键是用凑微分法将ƒ(x)dx写成udυ的形式，然后再分部积分． 25．本题考查事件相互独立的概念及加法公式． 【解析】 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)． P(A+B)=P(A)+P(B)-p(AB)=P(A)+P(B)-p(A)P(日)=0．6+0．7-0．60．7=0．88． 26．本题考查的知识点是利用导数的图像来判定函数的单调区间和极值点，并以此确定函数的表达式．编者希望通过本题达到培养考生数形结合的能力． 【解析】 (1) (2)因为 由上面三式解得α=2，b=-9，c=12． 27．本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法． 利用公式法求导的关键是需构造辅助函数 然后将等式两边分别对x(或y或z)求导．读者一定要注意：对x求导时，y，z均视为常数，而对y或z求导时，另外两个变量同样也视为常数．也即用公式法时，辅助函数F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量． 求全微分的第三种解法是直接对等式两边求微分，最后解出出，这种方法也十分简捷有效，建议考生能熟练掌握． 解法1等式两边对x求导得 解法2 解法3 28．本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算． 【解析】 本题的难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积S．求面积的关键是确定对x积分还是对Y积分． 确定平面图形的最简单方法是：题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的． 确定对x积分还是对y积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示．本题如改为对y积分，则有 计算量显然比对x积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键． 在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是戈轴还是y轴． 由于本题在x轴下面的图形绕x轴旋转成的体积与x轴上面的图形绕x轴旋转的旋转体的体积重合了，所以只要计算x轴上面的图形绕戈轴旋转的旋转体体积即可．如果将旋转体的体积写成 上面的这种错误是考生比较容易出现的，所以审题时一定要注意． 解 由已知曲线画出平面图形为如图2—1—2所示的阴影区域．