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1、吴忧学数学高等数学 (二)必考公式1.预备知识名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
2、精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 31 页 - - - - - - - - - 2.极限与连续名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
3、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 31 页 - - - - - - - - - 3.导数及应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 31 页 - - - - -
4、 - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 31 页 - - - - - - - - - 4.不定积分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
5、- - - - - - 第 11 页,共 31 页 - - - - - - - - - 5.定积分及应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页,共 31 页 - - - - - - - - - 6.多元函数微分学名师资料总结 - - -精品资料欢迎下
6、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页,共 31 页 - - - - - - - - - 7.概率名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页,共 31 页 - -
7、 - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页,共 31 页 - - - - - - - - - 高等数学 (二)必考题型1. 极限与连续(1)直接代入求极限; (2)利用等价无穷小极限;如0tanlimxxx( C ) A1;
8、 B. 0; C. 1; D. 2. (3)利用重要极限极限; 如1lim(1)3xxx( D ) A3e; B. 3e; C. 13e; D. 13e. (4)利用罗必达法则;如30limsinxxxx( A )A6; B. - 6; C. 0; D. 1 (5)分段函数的极限(6)分段函数的连续性; 如果函数1,02( )ln(1),03xexf xxkxx处处连续,则k = ( C ). A67;B.67;C.76;D.762. 导数及应用(1) 利用导数定义求导; 如果(3)6f,则0(3)(3)lim2xfxfx(B ).名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
9、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页,共 31 页 - - - - - - - - - A. -6 ; B. -3 ; C. 3 ; D. 6 .(2) 利用导数公式求导;如(3)利用连锁法则求导;如如果)3sin(2xy,则y= ( C ). A. 2cos(3)x; B. 2cos(3)x;C. 26 cos(3)xx; D. 26 cos(3)xx. (4)隐函数求导 ;如如果yxxyee,则y= ( D ). A. yxexey; B. yxexey; C. xyeyex; D. xyeyex. (5)参数方程确定的
10、函数求导; (6)切线方程 ; 曲线1yx在点1(3,)3处的切线方程为( B ) A. 1293yx; B. 1293yx;C. 1293yx; D. 1293yx. (7 求 )微分 ;如如果2ln(sin)yx,则dy= ( C ). A. 2tan xdx; B. tan xdx; C. 2cot xdx; D. cot xdx. (8) 确定单调区间, 极值 ;如函数3264yxx的单调增加区间为( B ). A(,0和4,); B.(,0)和(4,); C.(0,4);D.0, 4再如函数32( )9153f xxxx( B ). A在1x处取得极小值10,在5x处取得极大值22;
11、B.在1x处取得极大值10,在5x处取得极小值22;C.在1x处取得极大值22,在5x处取得极小值10;D.在1x处取得极小值22,在5x处取得极大值10(9)凹凸区间 ,拐点 ;如求曲线32310510 xxy的凹凸区间与拐点. 解: 函数的定义域为, 21010 xxy, xy2010,令0y, 得21x, 用21x把,分成)21,(,),21(两部分 . 当x)21,(时,0y, 当x),21(时,0y, 曲线的凹区间为),21(凸区间为),21,(拐点为)665,21(. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
12、名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页,共 31 页 - - - - - - - - - (10)证明不等式 ;如试证当1x时,xxee. 证明: 令xxfxee)(,易见( )f x在),(内连续,且0) 1(fee)(xxf. 当1x时,ee)(xxf0可知( )fx为 1 ,(上的严格单调减少函数,即( )(1)0.f xf当1x时,ee)(xxf0,可知( )f x为), 1 上的严格单调增加函数,即( )(1)0f xf.故对任意, 1x有( )0,f x即.0eexxxxee3. 不定积分(1)原函数的概念;如如果cosx是)(xf在区间 I 的一个原函数,则( )
13、fx( B ). A. sin x; B. sin x; C. sin xC; D. sin xC. (2) 不定积分的公式;如Cxxx6sin)sind(sin65. (3)换元法 ;如Cxxxxxx222e21)(de21de2. (4)分部积分法 ;如xxxxxxxxxde41e41de41de4444=Cxxx44e161e41. 4. 定积分及应用(1) 积分上限函数;如设( )sinxaF xtdt,则( )Fx( B ) A. sint; B. sin x; C. cost; D. cosx. (2) 定积分的几何意义; (3)N-L 公式 ;如积分121dxx( B ).A.l
14、n 2; B. ln 2;C. ln 3; D. ln 3 . (4)换元法 ;如积分ln301xxdxee( D ).A.3; B. 4;C. 6; D. 12 . (5)分部积分法 ;如积分0cosxxdx( A ). A. -2; B. 2; C. - 1; D. 0. (6)反常积分 ;如广义积分20 xxedx( B ).A.13;B. 14;C. 15;D. 16. (7)求面积 ;如求曲线22)2(,xyxy与x轴围成的平面图形的面积. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
15、- - - 第 21 页,共 31 页 - - - - - - - - - 解: 如图,由,)2(,22xyxy得两曲线交点(1,1). 解一取x为积分变量,2,0 x, 所求面积323)2(3d)2(d213103212102xxxxxxA. (8)求体积 ;如用定积分求由0, 1, 0, 12xxyxy所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 . 解: 如右图,所求体积1022d)1(xxV1024d)12(xxx=1035)325(xxx=15285. 多元函数微分学(1)偏导数 ;如yxze8,求xz,22xz,yz. 解:xz=8yx e7, 22xz=yxyxxe56)e8(67
16、, yz=yx e8. (2)全微分 ;如设yxyzln,求zd. 解:1ln1ln,lnyxyxyyxyzyyxz, yyxxyyyyzxxzzd1lndlnddd. (3)多元函数的极值;如二元函数22( , )36f x yxxyyxy的() C A. 极小值为(0,0)0f; B. 极大值为(0,0)0f;C. 极小值为(0,3)9f; D. 极大值为(0,3)9f .6.概率yxO1 1 12xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页,共 31 页 - -
17、 - - - - - - - 1. 设 A 与 B 相互独立,且pAP)(,qBP)(,则()P AB( C ) A. 1q; B. 1pq;C. (1)(1)pq; D. 1pq .2. 一盒子内有10 只球,其中 6 只是白球, 4 只是红球,从中取2 只球,则取出产品中至少有一个是白球的概率为(C ) A. 35; B. 115;C. 1415; D. 25 .3.设离散型随机变量的分布列为- 3 0 1 P 4/5 2/5 1/3 则的数学期望( ).B A. 715; B. 715;C. 1715; D. 1715高等数学模拟试卷一、选择题: 110 小题,每小题4 分,共 40 分
18、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内1当 x2 时,下列函数中不是无穷小量的是() ABCD2A-3 B一 1 C0 D不存在3ABCD4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页,共 31 页 - - - - - - - - - ABCD5A0 B2x3C6x2D3x26设? (x) 的一个原函数为Inx ,则? (x) 等于() ABCD7Ay=x+1 By=x-1 CD8A0 Be 一 1 C2(e-1) D9A.y
19、4cos(xy2) B.- y4cos(xy2) C.y4sin(xy2) D.- y4sin(xy2) 10设 100 件产品中有次品4 件,从中任取5 件的不可能事件是() A“5 件都是正品”B“5 件都是次品”名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页,共 31 页 - - - - - - - - - C“至少有1 件是次品”D“至少有1 件是正品”二、填空题: 1120 小题,每小题4 分,共 40 分把答案填在题中横线上1112131415161718192
20、0三、解答题: 2128 题,共 70 分解答应写出推理、演算步骤2122232425 ( 本题满分8 分) 设事件 A与 B相互独立,且P(A)=06,P(B)=07,求 P(A+B). 26名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页,共 31 页 - - - - - - - - - 2728 ( 本题满分10 分) 求由曲线 y=2-x2,) ,y=2x-1 及 X0 围成的平面图形的面积S 以及此平面图形绕 X轴旋转一周所得旋转体的体积Vx高等数学模拟试卷参考答案
21、及解析一、选择题1 【答案】应选 C 2 【答案】应选 D 【解析】本题考查的知识点是分段函数在分段点处的极限计算分段点处的极限一定要分别计算其左、右极限后,再进行判定3 【答案】应选 A 【提示】本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式只需注意e3是常数即可4 【答案】应选 D 5 【答案】应选 C 【解析】本题考查的知识点是函数在任意一点x 的导数定义注意导数定义的结构式为6 【答案】应选A【提示】本题考查的知识点是原函数的概念,因此有所以选 A7 【答案】应选 B 【解析】本题考查的知识点是:函数y=?(x) 在点 (x ,?(x) 处导数的几何意义是表示该函数对应曲名师资料总结 - -
22、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页,共 31 页 - - - - - - - - - 线过点 (x, ?(x)的切线的斜率由可知,切线过点(1 ,0) ,则切线方程为y=x-1 ,所以选 B8 【答案】应选 C 【解析】本题考查的知识点是奇、偶函数在对称区间上的定积分计算注意到被积函数是偶函数的特性,可知所以选 C 9 【答案】应选 D【提示】 z对 x 求偏导时应将y 视为常数,则有所以选 D10 【答案】应选 B【解析】本题考查的知识点是不可能事件的概念不可能事件是指在一次试验
23、中不可能发生的事件由于只有4 件次品,一次取出5 件都是次品是根本不可能的,所以选B二、填空题11 【答案】应填 21213 【答案】应填一2sin 2x【提示】用复合函数求导公式计算即可14 【答案】应填415 【答案】应填 116名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页,共 31 页 - - - - - - - - - 【提示】凑微分后用积分公式17 【答案】应填 2In 2 【解析】本题考查的知识点是定积分的换元积分法换元时,积分的上、下限一定要一起换1819
24、【答案】20 【答案】应填 0【解析】本题考查的知识点是二元函数的二阶混合偏导数的求法三、解答题21【解析】型不定式极限的一般求法是提取分子与分母中的最高次因子,也可用洛必达法则求解解法解法 2 洛必达法则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页,共 31 页 - - - - - - - - - 22本题考查的知识点是函数乘积的导数计算23本题考查的知识点是凑微分积分法24本题考查的知识点是定积分的凑微分法和分部积分法【解析】本题的关键是用凑微分法将?(x)dx写成
25、ud 的形式,然后再分部积分25本题考查事件相互独立的概念及加法公式【解析】若事件 A与 B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)-p(AB)=P(A)+P(B)-p(A)P(日)=0 6+07-0 60 7=08826本题考查的知识点是利用导数的图像来判定函数的单调区间和极值点,并以此确定函数的表达式编者希望通过本题达到培养考生数形结合的能力【解析】 (1) (2) 因为由上面三式解得=2,b=-9 ,c=1227本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法利用公式法求导的关键是需构造辅助函数然后将等式两边分别对x( 或 y 或 z) 求导读者一定要注意:对x
26、 求导时, y,z 均视为常数,而对y或 z 求导时,另外两个变量同样也视为常数也即用公式法时,辅助函数F(x ,y,z) 中的三个变量均视为自变量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页,共 31 页 - - - - - - - - - 求全微分的第三种解法是直接对等式两边求微分,最后解出出,这种方法也十分简捷有效,建议考生能熟练掌握解法 1 等式两边对x 求导得解法 2 解法 3 28本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算【解析】本题的难点是根据所
27、给的已知曲线画出封闭的平面图形,然后再求其面积S求面积的关键是确定对x 积分还是对Y积分确定平面图形的最简单方法是:题中给的曲线是三条,则该平面图形的边界也必须是三条,多一条或少一条都不是题中所要求的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页,共 31 页 - - - - - - - - - 确定对 x 积分还是对y 积分的一般原则是:尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示本题如改为对y 积分,则有计算量显然比对x 积分的计算量要大,所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键在求旋转体的体积时,一定要注意题目中的旋转轴是戈轴还是y 轴由于本题在x 轴下面的图形绕x 轴旋转成的体积与x 轴上面的图形绕x 轴旋转的旋转体的体积重合了,所以只要计算x 轴上面的图形绕戈轴旋转的旋转体体积即可如果将旋转体的体积写成上面的这种错误是考生比较容易出现的,所以审题时一定要注意解由已知曲线画出平面图形为如图212 所示的阴影区域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 31 页,共 31 页 - - - - - - - - -
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