全国级竞赛2018年度全国高级中学数学联赛(贵州赛区)预赛试题.doc

,. 2018年贵州省高中数学联赛试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：每小题6分，本大题共30分. 1.小王在文档中设计好一张规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计张，小王欲使用“复制——粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴”）的办法满足要求.请问：小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为（ ） A．次 B．次 C．次 D．次 2.已知一双曲线的两条渐近线方程为和，则它的离心率是（ ） A． B． C． D． 3.在空间直角坐标系中，已知，，，，则到面、面、面、面的距离相等的点的个数是（ ） A． B． C． D．无穷多 4.若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（ ） A． B． C． D． 5.已知等差数列及，设，，若对，有，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题6分，本大题共60分） 6.已知为所在平面上一定点，动点满足，其，则点的轨迹为 ． 7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是 ． 8.方程组的实数解为 ． 9.如图，在中，点在上，，，，则 ． 10.函数的最小值是 ． 11.若边长为的正的三个顶点到平面的距离分别为，，，则的重心到平面的距离为 ． 12.若实数使得不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围 ． 13.若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 ． 14.顺次连结圆与双曲线的交点，得到一个凸四边形.则此凸四边形的面积为 ． 15.函数的所有零点之和等于 ． 三、解答题（每小题15分，本大题共60分） 16.已知函数，求该函数的值域. 17.已知椭圆：的离心率，直线与交于、两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（斜率不为零）与椭圆交于不同的两点、（在点、之间），记，求的取值范围. 18.证明：（1）； （2）分别以，，，…，，…为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为的正方形内. 19.已知梯形，边、分别为上、下底，且，对角线，过作于点. （1）证明：； （2）证明：. 参考答案 一、选择题 1-5: BACBB 二、填空题 6. 的角平分线 7. 牛得亨先生的女儿 8. 或 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题 16.解：令，则，则， 设，则，且. 当时，， 由于，故函数单调递减，所以. 当时， （当且仅当，即时取等号） 所以函数的值域为. 17.解：（1）由得，所以椭圆的方程为， 由得， 所以， 由得，即， 所以椭圆的方程为. （2）设：，且、， 由得， 所以由解得，且，① 由得，② 由①②得， 所以，解得，且. 18.证明：（1）. （2）由（1）知，， 故以边长为，，，…，的正方形可以并排放入底为，高为的矩形内，而不重叠. 取，…，即得底分别为 ，， ，高分别为，，，…的一系列矩形， 这些矩形的底小于，高的和为 . 因此，以，，，…，，…为边长的正方形中，除了边长为，，的正方形外，其余的正方形全部可以放入底为，高为的矩形中（如图阴影部分）. 而边长为，，的三个正方形显然可以放入底为，高为的矩形内（如图）. 19.证明：如图. （1）由于，故. 因为对角线，所以. 而，则，故. 因此，有. （2）由于，故， 所以. 因为， 所以、、、四点共圆，故. 由于， 且，， 则，故. 所以.