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初三数学几何综合练习题
1．在△ABC中，∠C=90，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90得到DE，连接BE.
（1）如图1，点D在BC边上.
①依题意补全图1；
②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；
（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系
（直接写出结论）.
图2
图1
2.已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90，∠BA′C′=∠BAC=30，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60≤α≤90），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．
（1）当α=60时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；
（2）当α=90时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；
（3）如图3，对旋转角α（60＜α＜90），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
图1 图2 图3
3．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.
(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；
(2) 若∠ACB=45，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将△CDE绕点D 顺时针旋转α度（0＜α＜360）得到△，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.
①如图2，当α=30时，连接．证明：=；
②如图3，点M为DC中点，点P为线段上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？
图2
图3
4．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=80，∠A+∠C=180，点M是AD边上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转40，与CD边交于点N，请你补全图形，求MN，AM，CN的数量关系；
（2）如图2，在菱形ABCD中，点M是AD边上任意一点，把射线BM绕点B顺时针旋，与CD边交于点N，连结MN，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM，CN，MN的数量关系是 ；
（3）如图3，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在AD，CD上，若△DMN的周长为2，则△MBN的面积最小值为 ．
5.已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点.
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.
6．△ABC中，∠ABC＝45，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．
图2
图1
（1）如图1，当∠BAC为锐角时，
①求证：BE⊥AC；
②求∠BEH的度数；
（2）当∠BAC为钝角时，
请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．
7．在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.
（1）如果∠ACB=90，
①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；
②如图2，当点P不与点A重合时，求的值；
（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出的值.（用含a的式子表示）
图2
图1
图3
8．在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．
（1）依题意补全图形；
备用图
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：_____________________________．
9．在等边△ABC外侧作直线，点关于直线的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线
于点E．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB=30，求∠ACE的度数；
（3）如图2，若60<∠PAB<120，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.
11．在△中，．
（1）如图1，直线是的垂直平分线，请在图1中画出点关于直线的对称点，连接，，与交于点；
（2）将图1中的直线沿着方向平移，与直线交于点，与直线交于点，过点作直线的垂线，垂足为点．
①如图2，若点在线段上，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明；
②若点在线段的延长线上，直接写出线段，，之间的数量关系．
图1 图2 备用图
12．在菱形ABCD中，∠ABC=60，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，易证BE=EF.
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：_____.
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
北京各区2015数学一模答案
1..解：（1）①补全图形，如图1所示.………………………1分
②由题意可知AD=DE，∠ADE=90.
∵DF⊥BC，
∴∠FDB=90.
图1
∴∠ADF=∠EDB.……………………………………2分
∵∠C=90，AC=BC，
∴∠ABC=∠DFB=90.
∴DB=DF.
∴△ADF≌△EDB.……………………………………3分
∴AF=EB.
在△ABC和△DFB中，
∵AC=8，DF=3，
∴AC=，DF=.………………………………………………………………4分
AF=AB－BF=
即BE=.…………………………………………………………………………5分
（2）BD=BE+AB.……………………………………………………………………7分
2.解:(1)当时,. ------------1分
（2）补全图形如图1，
仍然成立；------------3分
（3）猜想仍然成立.
图1
证明：作，，垂足分别为点，如图2，则.
∵，
∴.
∵，
∴，.
∴.
图2
在和中，
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴为等腰三角形.
∴------------7分
3．解：（1）补全图形，如图1所示；……1分
证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD
∴EB=ED
又∵ED=BD
∴EB=ED=BD
∴△EBD是等边三角形………………2分
（2）①证明：如图2：由题意可知∠BCD=90，BC=DC
又∵点C与点F关于BD对称
∴四边形BCDF为正方形，
∴∠FDC=90,
∵
∴
由（1）△BDE为等边三角形
∴,ED=BD
∴…………………3分
又∵旋转得到的
∴
∴
∴…………………………4分
②线段PM的取值范围是：
设射线CA交BD于点O，
I：如图3（1）
当，D、M、P、C共线时，PM有最小值.
此时DP=DO=，DM=1
∴PM=DP-DM=………………………5分
II：如图3（2）
当点P与点重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值.
此时DP=DE′=DE=DB=，DM=1
∴PM= DP+DM=………………………6分
∴线段PM的取值范围是：
………………7分
4．解：（1）
………………………………………………………1
延长DA到点E，使AE=CN，连接BE
∵∠BAD+∠C=180．
∴∠EAB=∠C．
又∵AB=BC，AE=CN，
∴△ABE≌△CBN．
∴∠EBA=∠CBN，BE=BN．…………………………………………………………2
∴∠EBN=∠ABC．
∵∠ABC=80，∠MBN=40，
∴∠EBM=∠NBM=40．
∵BM=BM，
∴△EBM≌△NBM．
∴EM=NM．…………………………………………………………………………3
∴MN=AM+CN．……………………………………………………………………4
（2）
……………………………………………………5
MN
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