北京地区高考试题立体几何汇编.doc

.\ 2011-2017北京市高考试题立体几何汇编 1、(2011文5)某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥的表面积是（ ）. A．32 B．16+16 C．48 D．16+32 2、(2011理7)某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ） A. 8 B. C.10 D. 3、(2012理7，文7)某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的表面积是（ ）. A． B. C. D. 4、(2013，文8)如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有(　　)． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5、(2013，文10)某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的体积为__________． 6、(2013，理14)如右图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 ． 7、(2014，理7)在空间直角坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则 （A） （B）且 （C）且 （D）且 8、(2014，文11)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 . 9、(2015理5)某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的表面积是 A． B． C． D．5 10、（2015文7）某四棱锥的三视图如右图所示，该四 棱锥最长棱的棱长为 (A)1 （B） （B） (D)2 11、（2016理6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D．1 12、（2016文11） 某四棱柱的三视图如右图所示，则该四棱柱的体积为________. 13、（2017理7）如右图，某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（） （A）3 （B）2 （C）2 （D）2 14、（2017文6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） （A）60 （B）30 （C）20 （D）10 15、（2017理16）如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4． （I）求证：M为PB的中点； （II）求二面角B-PD-A的大小； （III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 16、（2017文18）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （Ⅰ）求证：PA⊥BD； （Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC； （Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积． 17、（2016理17）如右图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=． （Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 18、（2016文18）如图，在四棱锥中，平面，． (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求证：平面平面； （Ⅲ）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面，说明理由． 19、（2015文18）如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB ⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥ BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,EA的中点。 （1） 求证:EB//平面MOC. （2） 求证：平面MOC⊥平面 EAB. （3） 求三棱锥E-ABC的体积。 20、（2015理17）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点． (Ⅰ) 求证：； (Ⅱ) 求二面角的余弦值； (Ⅲ) 若平面，求的值． 21、(2014文17) 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点. （1）求证：平面平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 22、(2014理17)如图，正方形的边长为，、分别为、的中点，在五棱锥 中，为棱的中点，平面与棱、分别交于点、. （Ⅰ）求证：∥； （Ⅱ）若平面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长. 23、(2013理17)如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证二面角的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值. 24、(2013文17)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 25、(2012，文16)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。 (I)求证：DE∥平面A1CB； (II)求证：A1F⊥BE； (III)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由。 26、(2012理16)如图，在中，，，，、分别为、上的点，且//，，将沿折起到的位置，使，如图． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若是的中点， 求与平面所成角的大小； （Ⅲ）线段上是否存在点，使平面 与平面垂直？说明理由． 27、(2011理16)如图，在四棱锥中，平面，底面 是菱形，。 （I）求证：平面 （Ⅱ）若，求与所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长； 28、(2011文17)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点. （Ⅰ）求证：DE∥平面BCP； （Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形； （Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由. 答案： 1、B 2、C 3、B 4、B 5、3 6、 7、D 8、 9、C 10、C 11、A 12、 13、B 14、D 15、（I）设交点为，连接. 因为平面，平面平面，所以. 因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点. （II）取的中点，连接，. 因为，所以. 又因为平面平面，且平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为是正方形，所以. 如图建立空间直角坐标系，则，，， ，. 由题知二面角为锐角，所以它的大小为. （III）由题意知，，. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16、解：（I）因为，，所以平面， 又因为平面，所以. （II）因为，为中点，所以， 由（I）知，，所以平面. 所以平面平面. （III）因为平面，平面平面， 所以. 因为为的中点，所以，. 由（I）知，平面，所以平面. 所以三棱锥的体积. 17、（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， 且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD， ∵PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD， 又PD⊥PA，且PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB； （Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO， ∵CD=AC=， ∴CO⊥AD， 又∵PA=PD， ∴PO⊥AD． 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0）， 则，， 设为平面PCD的法向量， 则由，得，则． 设PB与平面PCD的夹角为θ，则=； （Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1）， 由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），， 则有，可得M（0，1﹣λ，λ）， ∴， ∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量， ∴，即，解得． 综上，存在点M，即当时，M点即为所求． 18、证明：(Ⅰ)因为平面，所以， 又因为， 所以，平面． (Ⅱ)因为，，所以， 又因为平面，所以， 所以平面． 由平面， 所以平面平面． （Ⅲ）棱上存在点，使得平面，理由如下： 取的中点，连结． 因为点为的中点，所以． 又因为不在平面内，所以平面． 19、解：（I）因为O,M分别为AB，ＶＡ的中点， 　　　　　　所以ＯＭ//ＶＢ. 又因为ＶＢ平面MOC， 所以VB//平面MOC. （II）因为ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ为AB的中点， 所以OCAB. 又因为平面平面，且平面， 　　　　　　所以平面． 　　　　　　所以平面平面． 　　　（III）在等腰直角三角形中，， 　　　　　　所以，． 　　　　　　所以等边三角形的面积． 　　　　　　又因为平面， 　　　　　　所以三棱锥的体积等于． 　　　　　　又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 　　　　　　所以三棱锥的体积为． 20、解：（I）因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点， 所以AO⊥EF. 又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO平面AEF， 所以AO⊥平面EFCB. 所以AO⊥BE. （Ⅱ）取BC中点G，连接OG. 由题设知EFCB是等腰梯形， 所以OG⊥EF. 由（I）知AO⊥平面EFCB 又OG平面EFCB， 所以OA⊥OG. 如图建立空间直角坐标系O-xyz， 则E（a,0,0），A（0，0，）， B（2，（2-a），0），=（-a，0，）， =（a-2，（a-2）,0）. 设平面ABE的法向量为n=（x,y,z） 则： 即 令z=1，则x=，y=-1.于是n=（，-1,1） 平面AEF是法向量为p=（0,1,0） 所以cos（n，p）==. 由题知二维角F-AE-B为钝角，所以它的余弦值为 （Ⅲ）因为BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC，即. 因为=（a-2 ，（a-2），0），=（-2，（2-a），0）， 所以=-2（a-2）-3. 由及00），则， 设平面PBC的法向量,则， 所以 令则 所以． 同理，平面PDC的法向量， 因为平面PCB⊥平面PDC, 所以=0，即，解得， 所以PA=． 28、解：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点， 所以DE//PC。又因为DE平面BCP，所以DE//平面BCP。 （Ⅱ）因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点， 所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四边形DEFG为平行四边形， 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形。 （Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下： 连接DF，EG，设Q为EG的中点 由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG. 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。 与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q， 且QM=QN=EG， 所以Q为满足条件的点.