北师大版九年级上册数学第一单元试卷.doc

\\ 第一章达标检测卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60，则对角线AC的长是(　　) A．12 B．9 C．6 D．3 (第1题)　　(第4题)　　(第6题) 2．下列命题为真命题的是(　　) A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 3．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(　　) A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 4．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的(　　) A. B. C. D. 5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有(　　) ①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为(　　 ) A．8 B．4 C．8 D．6 7．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是正方形的顶点，则∠ABC的度数为(　　) A．90 B．60 C．45 D．30 8．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28，则∠OBC的度数为(　　) A．28 B．52 C．62 D．72 (第7题) (第8题) 　　(第9题) 　(第10题) 9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是(　　) A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 D．AF＝EF 10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(点P不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题(每题3分，共24分) 11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等． 12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________． (第11题)　　(第12题　(第13题) 13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝________. 14．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________. 15．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于________． (第15题)　 　(第16题) 　　(第17题) 　　(第18题) 16．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________. 17．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为________． 18．如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠DAB＝60.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是________． 三、解答题(19，20题每题9分，21题 10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分) 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：四边形AECF是菱形． (第19题) (第20题) 20．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积． 21．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)若∠FDC＝30，求∠BEF的度数． (第21题) 22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E. (1)求证：△DCE≌△BFE； (2)若CD＝2，∠ADB＝30，求BE的长． (第22题) 23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120，以点A为顶点的一个60的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF. (1)求证：BE＝CF. (2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由． (第23题) 24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由． (2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． (3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由． (第24题) 答案 一、1.D　2.A 3．D　点拨：首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解． 4．B 5．A　点拨：①当AB＝BC时，它是菱形，正确；②当AC⊥BD时，它是菱形，正确；③当∠ABC＝90时，它是矩形，正确；④当AC＝BD时，它是矩形，因此④是错误的． 6．C　7.C　8.C 9．D　点拨：如图，由折叠得∠1＝∠2. ∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3. ∴AE＝AF.故选项A正确． 由折叠得CD＝AG，∠D＝∠G＝90. ∵AB＝CD，∴AB＝AG. ∵AE＝AF，∠B＝90， ∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)． 故选项B正确． 设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x. 又AG＝AB＝4， ∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2. 解得x＝3.∴AF＝8－x＝5. 则AE＝AF＝5， ∴BE＝＝＝3. 过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2. 在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝＝＝＝2，则选项C正确． ∵AF＝5，EF＝2，∴AF≠EF.故选项D错误． (第9题) 10．D　点拨：∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAE＝∠MAE＝45. ∵PM⊥AC，∴∠PEA＝∠MEA. 又∵AE＝AE，∴根据“ASA”可得△APE≌△AME.故①正确．由①得PE＝ME，∴PM＝2PE.同理PN＝2PF.又易知PF＝BF，四边形PEOF是矩形，∴PN＝2BF，PM＝2FO.∴PM＋PN＝2FO＋2BF＝2BO＝BD.故②正确．在Rt△PFO中，∵FO2＋PF2＝PO2，而PE＝FO，∴PE2＋PF2＝PO2.故③正确． 二、11.90　点拨：对角线相等的平行四边形是矩形． 12．12　点拨：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝68＝24.∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝24＝12. 13．120 (第14题) 14．22.5　点拨：如图，由四边形ABCD是正方形，可知∠CAD＝∠BAD＝45. 由FE⊥AC，可知∠AEF＝90. 在Rt△AEF与Rt△ADF中， AE＝AD，AF＝AF， ∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL)． ∴∠FAD＝∠FAE＝∠CAD＝45＝22.5. 15.　16.－1 17．20　点拨：点N是BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点，由三角形的中位线定理可证EN∥MC，NF∥ME，EN＝MC，FN＝MB.又易知MB＝MC，所以四边形ENFM是菱形．由点M是AD的中点，AD＝12得AM＝6.在Rt△ABM中，由勾股定理得BM＝10.因为点E是BM的中点，所以EM＝5.所以四边形ENFM的周长为20. 18．()n－1 三、19.证明：∵EF垂直平分AC， ∴∠AOE＝∠COF＝90，OA＝OC. ∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF. ∴△AOE≌△COF(ASA)． ∴AE＝CF.又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形． 20．(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED为平行四边形． ∵四边形ABCD为矩形，∴OD＝OC. ∴四边形OCED为菱形． (2)解：∵四边形ABCD为矩形， ∴BO＝DO＝BD. ∴S△OCD＝S△OCB＝S△ABC＝34＝3. ∴S菱形OCED＝2S△OCD＝6. 21．(1)证明：在△BCE与△DCF中， ∴△BCE≌△DCF. (2)解：∵△BCE≌△DCF， ∴∠EBC＝∠FDC＝30. ∵∠BCD＝90，∴∠BEC＝60. ∵EC＝FC，∠ECF＝90， ∴∠CEF＝45.∴∠BEF＝105. 22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90， ∴∠ADB＝∠DBC. 根据折叠的性质得∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝90， ∴∠DBC＝∠BDF，∠C＝∠F. ∴BE＝DE. 在△DCE和△BFE中， ∴△DCE≌△BFE. (2)解：在Rt△BCD中， ∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30， ∴BD＝4.∴BC＝2. 在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30. ∴DE＝2EC. ∴(2EC)2－EC2＝CD2. ∵CD＝2， ∴CE＝. ∴BE＝BC－EC＝. (第23题) 23．(1)证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD为菱形， ∠BAD＝120，　 ∴∠ABE＝∠ACF＝60， ∠1＋∠2＝60. ∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60， ∴∠1＝∠3. ∵∠ABC＝60，AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形． ∴AC＝AB. ∴△ABE≌△ACF. ∴BE＝CF. (2)解：四边形AECF的面积不变． 由(1)知△ABE≌△ACF， 则S△ABE＝S△ACF， 故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC. 如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2， ∴AM＝＝＝2. ∴S△ABC＝BCAM＝42＝4. 故S四边形AECF＝4. 24．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝∠BCE.又∵MN∥BC， ∴∠NEC＝∠BCE. ∴∠NEC＝∠ACE.∴OE＝OC. ∵CF是∠ACD的平分线， ∴∠OCF＝∠FCD.又∵MN∥BC， ∴∠OFC＝∠FCD. ∴∠OFC＝∠OCF. ∴OF＝OC.∴OE＝OF. (2)当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形． 理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， 又∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO. ∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF. ∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90时，∠AOE＝90，∴AC⊥EF. ∴四边形AECF是正方形． (3)不可能 理由如下： 连接BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACD＝(∠ACB＋∠ACD)＝90.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90，故四边形BCFE不可能为菱形．