同济大学(高等数学)第八章向量代数与解析几何.doc

.\ 第五篇 向量代数与空间解析几何 第8章 向量代数与空间解析几何 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位. 本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容. 第1节 空间直角坐标系 1.1 空间直角坐标系 用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现. 1.1.1 空间直角坐标系 过定点，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，它们都以为原点且具有相同的长度单位. 通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住轴，当右手的四指从x轴的正向转过角度指向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为直角坐标系，点叫做坐标原点. 图8-1 在直角坐标系下，数轴Ox,,Oz统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为，，，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示. 图8-2 1.1.2 空间点的直角坐标 设为空间中的任一点，过点分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与轴、轴和轴依次交于、、三点，若这三点在轴、轴、轴上的坐标分别为，，，于是点就唯一确定了一个有序数组，则称该数组为点在空间直角坐标系中的坐标，如图8-3．，，分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标． 图8-3 反之，若任意给定一个有序数组，在轴、轴、轴上分别取坐标为，，的三个点、、，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点，该点就是以有序数组为坐标的点，因此空间中的点就与有序数组之间建立了一一对应的关系． 注：、、这三点正好是过点作三个坐标轴的垂线的垂足． 1.2 空间中两点之间的距离 设两点，，则与之间的距离为 （8-1-1） 事实上，过点和作垂直于平面的直线，分别交平面于点和，则 ∥，显然，点的坐标为，点的坐标为（如图8-4）． 图8-4 由平面解析几何的两点间距离公式知，和的距离为： ． 过点作平行于平面的平面，交直线于，则∥，因此的坐标为，且 ， 在直角三角形中， ， 所以点与间的距离为 ． 例1 设与为空间两点，求与两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，与两点间的距离为 ． 例2 在轴上求与点和等距的点． 解 由于所求的点在轴上，因而点的坐标可设为，又由于 ， 由公式（8-1-1），得 ． 从而解得，即所求的点为． 习题8-1 1．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？ 3．在空间直角坐标系中，画出下列各点： ；；；． 4．求点关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求下列各对点间的距离： (1) 与； (2) 与． 7．在坐标平面上求与三点、和等距的点． 8．求点与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离． 9. 证明以为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 第2节 空间向量的代数运算 2.1 空间向量的概念 在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）． 在数学上，我们用有向线段来表示向量，称为向量的起点，称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母，，，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母来记向量. 向量的长度称为向量的模，记作或，模为的向量叫做单位向量，模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的． 本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定：所有的零向量都相等. 与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作． 平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）． 平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面. 2.2 向量的线性运算 2.2.1 向量的加法 我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法． 定义1 对向量，，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和（图8-5），记作．这种求和方法称为平行四边形法则． 图8-5 图8-6 若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和(图8-6），该法则称为三角形法则． 多个向量，如、、、首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和 （图8-7）． 图8-7 对于任意向量，，，满足以下运算法则： (1) (交换律)． (2) (结合律)． (3) ． 2.2.2 向量的减法 定义2 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即 ． 特别地，当时，有. 由向量减法的定义，我们从同一起点作有向线段，分别表示，，则 ． 也就是说，若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量（图8-8）． 图8-8 2.2.3数乘向量 定义3 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是，方向： 当时，与同向；当时，与反向；当时，． 对于任意向量，以及任意实数，，有运算法则： (1) ． (2) ． (3) ． 向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合． 特别地，与同方向的单位向量叫做的单位向量，记做，即. 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 例1 如图8-9，在平行六面体中，设,试用来表示对角线向量 图8-9 解 ； . 由于向量与平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有, 定理1 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在一个实数，使得. 2.3 向量的坐标表示 2.3.1向量在坐标轴上的投影 设为空间中一点，过点作轴的垂线，垂足为，则称为点在轴上的投影(图8-10)． 图8-10 若为空间直角坐标系中的一点，则在轴、轴、轴上的投影为、、，如图8-11所示． 图8-11 设向量的始点与终点在轴的投影分别为、，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记作，轴称为投影轴. 图8-12 当与轴同向时，投影取正号，当与轴反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量． (2) 设为空间直角坐标系中的一个向量，点的坐标为，点的坐标为，显然，向量在三个坐标轴上的投影分别为，，． 2.3.2向量的坐标表示 取空间直角坐标系，在轴、轴、轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作，它们称为坐标向量． 空间中任一向量，它都可以唯一地表示为数乘之和． 事实上，设，过、作坐标轴的投影，如图8-13所示． ． 由于与平行，与平行，与平行，所以，存在唯一的实数，使得 ，，， 即 ． (8-2-1) 图 8-13 我们把(8-2-1)式中系数组成的有序数组叫做向量的直角坐标，记为，向量的坐标确定了，向量也就确定了． 显然，(8-2-1)中的是向量分别在轴、轴、轴上的投影． 因此，在空间直角坐标系中的向量的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组． 例2 在空间直角坐标系中设点，，求向量及的直角坐标． 解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以 向量的坐标为，向量的坐标为． 例3(定比分点公式) 设和为两已知点，有向线段上的点将它分为两条有向线段和，使它们的值的比等于数，即，求分点的坐标. 图8-14 解 如图8-14，因为与在同一直线上，且同方向，故，而 ， 所以 ，， 解得 当l=1, 点的有向线段的中点, 其坐标为 , , . 2.3.3向量的模与方向余弦的坐标表示式 向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的. 设空间向量与三条坐标轴的正向的夹角分别为，规定： ,称为向量的方向角. 图8-15 因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此 (8-2-2) 公式(8.2.2)中出现的称为向量的方向余弦.而 是与向量同方向的单位向量. 而 ， ， 故向量的模为 (8-2-3) 从而向量的方向余弦为 (8-2-4) 并且 . 例4 已知两点和,求向量的模、方向余弦和方向角. 解 ； ； . 例5 已知两点和，求与同方向的单位向量. 解 因为 所以 于是 2.4 向量的数量积 在物理中我们知道，一质点在恒力的作用下，由点沿直线移到点，若力与位移向量的夹角为，则力所作的功为 ． 类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念． 定义1 设，为空间中的两个向量，则数 叫做向量与的数量积(也称内积或点积)，记作，读作“点乘”．即 （8-2-5） 其中表示向量与的夹角，并且规定． 两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有. 由向量数量积的定义易知： (1) ，因此 ． (2) 对于两个非零向量，，与垂直的充要条件是它们的数量积为零，即 ． 注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质： 对于任意向量，及任意实数，有 (1) 交换律：． (2) 分配律：． (3) 与数乘结合律：． (4) 当且仅当时，等号成立． 例6 对坐标向量，，，求， ，，，，． 解 由坐标向量的特点及向量内积的定义得 ， ． 例7 已知，，，求，，． 解 由两向量的数量积定义有 ． ． ， 因此 ． 在空间直角坐标系下，设向量，向量，即 , ． 则 ． 由于 ， ， 所以 ． (8-2-6) 也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和． 同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即 设非零向量，向量，则 ． (8-2-7) ． (8-2-8) ． (8-2-9) 例8 在空间直角坐标系中，设三点，，．证明:是直角三角形． 证明 由题意可知 ，， 则 ， 所以 ． 即是直角三角形． 2.5向量的向量积 在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端固定，力作用于杠杆上的点处，与的夹角为，则杠杆在的作用下绕点转动，这时，可用力矩来描述．力对的力矩是个向量，的大小为 ． 的方向与及都垂直，且，，成右手系，如图8-16所示． 图8-16 2.5.1向量积的定义 在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念． 定义2 设，为空间中的两个向量，若由，所决定的向量，其模为 ． (8-2-10) 其方向与，均垂直且，，成右手系（如图8-17），则向量叫做向量与的向量积(也称外积或叉积)．记作，读作“叉乘”． 注 (1) 两向量与的向量积是一个向量，其模的几何意义是以，为邻边的平行四边形的面积． (2) 这是因为夹角θ=0，所以 图8-17 (3)对两个非零向量与，与平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量． ∥． 向量积的运算满足如下性质： 对任意向量，及任意实数λ，有 (1) 反交换律：． (2) 分配律: ， ． (3) 与数乘的结合律：． 例9 对坐标向量，，，求，，，，，． 解 ． ，，． 2.5.2向量积的直角坐标运算 在空间直角坐标系下，设向量，向量，即 ，， 因为 ． ，，， ，，． 则 ． 为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式及三阶行列式有 ． 注 设两个非零向量，，则 ∥， ． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零． 例10 设向量，，求的坐标． 解 ． 因此的直角坐标为． 例11 在空间直角坐标系中，设向量，，求同时垂直于向量与的单位向量． 解 设向量，则同时与，垂直．而 ， 所以向量的坐标为． 再将单位化，得 ， 即与为所求的向量． 例12 在空间直角坐标系中，设点，，，求的面积． 解 由两向量积的模的几何意义知：以、为邻边的平行四边形的面积为，由于 ，， 因此 ， 所以 ． 故的面积为． 2.6向量的混合积 定义3 给定空间三个向量，如果先作前两个向量与的向量积，再作所得的向量与第三个向量的数量积，最后得到的这个数叫做三向量的混合积，记做或. 说明：三个不共面向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积. 定理 如果，，， 那么 习题8-2 5.设为单位向量,且满足,求 6. 7.已知三点的坐标、模、方向余弦和方向角. 8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A的坐标. 9．设，，，求，，． 10．设向量，，两两垂直，且，，，求向量的模及． 11．在空间直角坐标系中，已知，，求： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 12.已知向量，计算 （1）（2）（3）. 13．设向量，的直角坐标分别为和，若，求的值． 14．设向量，，求以为邻边构造的平行四边形面积． 15．求同时垂直于向量和纵轴的单位向量． 16．已知三角形三个顶点，，，求的面积． 第3节 空间中的平面与直线方程 在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线. 3.1平面及其方程 首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程． 3.1.1平面的点法式方程 若一个非零向量垂直于平面，则称向量为平面的一个法向量． 显然，若是平面的一个法向量，则 (为任意非零实数)都是的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直． 由立体几何知识知道，过一个定点且垂直于一个非零向量有且只有一个平面． 设为平面上的任一点，由于，因此．由两向量垂直的充要条件，得 , 而 ，， 所以可得 ． (8-3-1) 由于平面上任意一点都满足方程(8-3-1)，而不在平面上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面的方程． 由于方程(8-3-1)是给定点和法向量所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面的点法式方程． 图8-18 例1 求通过点且垂直于向量的平面方程． 解 由于为所求平面的一个法向量，平面又过点，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为 ， 整理，得 ． 例2 求过三点，， 的平面的方程． 解 所求平面的法向量必定同时垂直于与．因此可取与的向量积为该平面的一个法向量．即 ． 由于 ，， 因此 , 因此所求平面的方程为 ， 化简得 一般地，过三点的平面方程为 称为平面的三点式方程。 特殊地，过三点，， 的平面的方程为 化简整理得 ． (8-3-2) 、、三点为平面与三个坐标轴的交点，我们把这三个点中的坐标分量分别叫做该平面在轴，轴和轴上截距，方程(8-3-2)称平面的截距式方程，如图8-19． 图8-19 3.1.2平面的一般式方程 前面我们有了平面的点法式方程，展开平面的点法式方程(6-14)，得 ， 设，则 (不全为零)． (8-3-3) 即任意一个平面的方程都是的一次方程． 反过来，任意一个含有的一次方程(8-3-3)都表示一个平面． 事实上，设是满足方程(8-3-3)的一组解，则 ． (8-3-4) 式(8-3-3)减去式(8-3-4)，得 ． (8-3-5) 由(8-3-5)决定一非零向量，它与向量垂直，其中，．而为一固定点，为任一点．因此平面(8-3-3)上任一点与的连线均与垂直，由平面的点法式方程可知，方程(8-3-3)表示一个平面． 我们称方程(8-3-3)为平面的一般式方程．其中为该平面的一个法向量． 现在来讨论(8-3-3)的几种特殊情况，也就是当它的某些系数或常数项为零时，平面对坐标系来说具有某种特殊位置的情况. 1. ，上式变为，此时为方程组的解，因此平面通过原点；反过来，如果平面通过原点，那么显然有. 2. 中有一个为0，例如，上式就变为，当时，轴上任意一点都不满足方程，所以x轴与平面平行；当时，轴上每一点都满足方程，这时平面通过轴.反过来，当平面平行x轴时，我们有平面通过轴时，对于其他两种情况可以得出类似的结论. 3. 中有两个为0时，可得下面的结论： 当且仅当，平面平行于坐标面当且仅当平面就是 例3 求过两点，且与轴平行的平面方程． 解 要求出平面的方程，关键要找出平面所过的一个点以及平面的一个法向量． 由已知，所求平面的法向量同时与和轴垂直．即法向量同时与和垂直．因此，可取作为该平面的一个法向量． ． 所以为所求平面的一个法向量． 再由平面的点法式方程(6-14)得所求平面的方程为 ， 整理得 ． 3.1.3两平面间的关系 空间两个平面之间的位置关系有三种：平行、重合和相交．下面根据两个平面的方程来讨论它们之间的位置关系． 设有两个平面与，它们的方程为 ： (不同时为零)， ： (不同时为零)， 则它们的法向量分别为和． (1) 两平面平行∥． (2) 两平面重合． (3) 两平面相交与不成比例． 当两平面相交时，把它们的夹角定义为其法向量的夹角，且规定． 图8-20 即 ． 特别地，当时，，则，即 ． 反之亦然，所以 ． 例4 求两平面和的夹角. 解 由公式有 ， 因此，所求夹角. 例5 一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程. 解 设所求平面的一个法向量为. 因在所求平面上，它必与n垂直，所以有 又因所求平面垂直与已知平面所以有 所以得 由平面的点法式方程可知，所求平面方程为 , 整理得 , 这就是所求的平面方程. 3.1.4点到平面的距离 在空间直角坐标系中，设点，平面：(不全为零)，可以证明点到平面的距离为 例6 求点到平面：的距离． 解 由点到平面的距离公式得 ． 例7 求两个平行平面与间的距离． 解 在一个平面上任取一点，如取点，则点到另一平面的距离即为两平行平面间的距离．所以 ． 例8 求过直线且与点的距离为1 的平面方程. 解 设过此直线的平面束方程为:, 由点到平面的距离公式 , 故所求平面的方程为 3.2空间中的直线及其方程 3.2.1直线的点向式方程 我们知道，一个点和一个方向可以确定一条直线，而方向可以用一个非零向量来表示．因此，一个点和一个非零向量确定一条直线． 如果一个非零向量与直线平行，则称向量是直线的一个方向向量．而向量的方向余弦叫做该直线的方向余弦. 显然，若是直线的一个方向向量，则 (为任意非零实数)都是的方向向量． 在空间直角坐标系中，若是直线上的一个点，为的一个方向向量，下面求直线的方程． 设为直线上的任一点，如图8-21，则∥，所以两向量对应坐标成比例．而的坐标为，因此有 ． (8-3-6) 称式(8-3-6)为直线的点向式方程（或叫对称式方程）．其中是直线上一点的坐标，为直线的一个方向向量． 注 由于直线的方向向量，所以不全为零，但当有一个为零时，如时，(8-3-6)应理解为 该直线与平面平行． 当有两个为零时，如时，式(8-3-6)应理解为 该直线与轴平行． 由直线的点向式方程很容易导出直线的参数方程.如设 那么 , 方程组就是直线的参数方程. 例9 设直线过两点和，求直线的方程． 解 直线的一个方向向量为，则, 由直线的点向式方程(6-22)可得的方程为 ． 例10 求过点且与两平面：和：都平行的直线方程． 解 所求的直线与与都平行，即与、的法向量、都垂直，其中 ，， 因此可用作为直线的一个方向向量． ， 即 ． 于是所求直线的方程为 ． 3.2.2直线的一般式方程 空间任一条直线都可看成是通过该直线的两个平面的交线，同时空间两个相交平面确定一条直线，所以将两个平面方程联立起来就代表空间直线的方程． 设两个平面的方程为 ：， ：， 则 (8-3-7) 表示一条直线，其中与不成比例．称(8-3-7)为直线的一般式方程． 图8-22 例11 将直线的一般式方程 化为点向式方程和参数方程． 解 先求直线上一点，不妨设，代入方程中得 解之得 所以为直线上的一点． 再求直线的一个方向向量．由于直线与两个平面的法向量、都垂直，其中，，因此可用作为直线的一个方向向量． ， 即 ． 于是，该直线的点向式方程为 ． 令 得所给直线的参数方程为 3.2.3两直线间的关系 空间中两条直线的位置关系可以用两条直线的方程构成的方程组的解来确定． 设两条直线与的方程为 ：，：， 由它们的方程构成的方程组 (8-3-8) ① 若方程组(8-3-8)有无穷组解，则与重合； ② 若方程组(8-3-8)只有一组解，则与相交，且方程组的解即为与的交点坐标； ③ 若方程组(8-3-8)无解，且∥，即，则与平行； ④ 若方程组(8-3-8)无解，且，则与异面直线． 两相交直线与所形成的4个角中，把不大于的那对对顶角叫做这两条直线的夹角． 若与的方向向量分别为，，显然有 (8-3-9) 注 (1) 若∥，相当于，规定与的夹角为0； (2) 对于异面直线，可把这两条直线平移至相交状态，此时，它们的夹角称为异面直线的夹角； (3) 若⊥． 例12 判断直线：与的位置关系． 解 容易知由、的方程联立得到的方程组无解，因此直线与不相交． 而的一个方向向量为，的一个方向向量为,则与不平行．因此与为异面直线． 例13 求直线 和的夹角. 解 直线的方向向量为, 直线的方向向量为 两直线的夹角余弦为 ==, 即 . 例14 求与平面和的交线平行且过点的直线方程. 解 直线方程的方向向量可取为： 则所求直线方程为: 例15 求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程. 解 (法一)过点(2,1,3)作平面垂直于已知直线,则此平面的方程为 求已知直线与该平面的交点,将直线的参数方程 代入平面方程得，从而得交点于是所求直线的方向向量为 . 故所求直线的方程为: . (法二)设所求直线的参数方程为由于所求直线与已知直线垂直,从而有: . 又由于所求直线与已知直线相交,故由两直线的参数方程有 , . 显然,从而解得: . 故有所求直线的参数方程为:, 或者所求直线的方程为:. 3.2.4直线与平面的位置关系 在空间中，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交，它们的位置关系可以根据联立直线与平面的方程构成的方程组解的情况来判定． 设直线：，平面：，将其联立起来的方程组为 (8-3-10) (1) 若方程组(8-3-10)有无穷组解，则在内，即 (2) 若方程组(8-3-10)无解，则∥； (3) 若方程组(8-3-10)只有一组解，则与相交，方程组的解即为与的交点坐标． 注 还可以根据直线的方向向量与平面的法向量的关系来判定直线与平面的位置关系． 若，即时，在内或∥； 若，即与不垂直时，与相交． 例16 判断下列直线与平面的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1) ：，：； (2) ：，：； (3) ：，：． 解 (1) 设，则 代入， 得 ， 即 （无解）． 因此∥． (2) 显然方程组有无穷组解，因此在内． (3) 解方程组得 ，，． 因此，与相交，且交点坐标为． 直线与它在平面上的投影之间的夹角 ()，称为直线与平面的夹角． 若直线：，平面：，则直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面的法线之间的夹角为，则(如图8-23)．所以， ． (8-3-11) 特别地 ∥． 图8-23 3.2.5平面束 定义 通过定直线的所有平面方程的全体称为平面束。 定理 设直线L为,其中系数A1,B1,C1和A2,B2,C2不成比例, 则过L的平面束方程为 (8-3-12) 其中是不全为零的任意实数. 例17 求直线在平面上的投影直线方程. 解 设经过直线L: 的平面束方程为 即 由于此平面与已知平面垂直,所以 即有,代入平面束方程得投影平面的方程为 从而得投影直线l的方程: 习题8-3 9.求过两点的直线方程. 11.求过点且与两直线平行的平面方程. 14.求直线与平面的夹角. 21.求点到直线的距离. 第4节 空间曲面及其方程 4.1曲面方程的概念 空间曲面方程的意义与平面解析几何中曲线与方程的意义相仿，那就是在建立了空间直角坐标系之后，任何曲面都看成点的几何轨迹，由此可以定义空间曲面的方程． 定义1 如果曲面与方程 , 满足 (1) 曲面上每一点的坐标都满足方程； (2) 以满足方程的解为坐标的点都在曲面上． 则称方程为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形（图8-24）． 图8-24 图8-25 下面我们在直角坐标系下，举例说明怎样从曲面上的点的特征性质来导出曲面的方程. 例1 求联结两点A（1,2,3）和B（2，-1,4）的线段的垂直平分面的方程. 解 垂直平分面可以看成到两定点A和B为等距离的动点M（x，y，z）的轨迹.设M（x，y，z）为所求平面上的任意一点，根据点M的特性|AM|=|BM|， 而 所以 , 化简得 这就是所求的垂直平分面的方程. 例2 设球面的中心是点，半径为的球面方程(图8-25). 解 定点为，定长为，设是球面上任一点，则 ， 即 ， 两边平方，得 ． （8-4-1） 反之，若的坐标满足方程(6-28)，则总有，所以方程(8-4-1)为是以为球心，以半径的球面方程． 特别地，以坐标原点为球心，以半径的球面方程为 ． 将（8-4-1）式展开得 , 所以，球面方程具有下列两个特点： （1） 它是之间的二次方程，且方程中缺项； （2） 的系数相同且不为零。 例3 方程表示怎样的曲面？ 解 通过配方原方程可以改写为 , 所以原方程表示球心在、半径为的球面. 上面几个例子表明在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个问题： （1） 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （2） 已知坐标间的关系式，研究这个关系式所表示的曲面形状． 下面我们继续介绍柱面、旋转曲面与常见的二次曲面.在这些曲面中，有的具有较为突出的几何特征，有的在方程上表现出特殊的简单形式，对于前者，我们从图形出发，去讨论曲面的方程；而对于后者，我们将从它的方程去研究它的图形. 4.2．柱面 用直线沿空间一条曲线平行移动所形成的曲面称为柱面．动直线称为柱面的母线，定曲线称为柱面的准线，如图8-26所示． 常见的柱面有：圆柱面： (图8-27),椭圆柱面： (图8-28), 双曲柱面： (图8-29),抛物柱面： (图8-30)． 图8-26 图8-27 图8-28 图8-29 图8-30 注 若曲面方程为，则它一定是母线平行于轴，准线为平面的一条曲线(在平面直角坐标系中的方程为)的柱面．类似的，只含而缺的方程和只含而缺的方程分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面. 如圆柱面：，它就是以平面上的圆作为准线，以平行于轴的直线作为母线形成的柱面． 再如平面表示母线平行于轴,准线为平面上的直线:平面为特殊的柱面。 图8-31 4.3 旋转曲面 一条平面曲线绕同一平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转曲面．曲线称为旋转曲面的母线，定直线称为旋转曲面的旋转轴，简称轴． 前面讲过的球面，圆柱面等都是旋转曲面． 例4 设母线在平面上，它的平面直角坐标方程为 证明：绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为 ． 证明 设为旋转曲面上的任一点，并假定点是由曲线上的点绕轴旋转到一定角度而得到的．因而，且点到轴的距离与到轴的距离相等．而到轴的距离为，到轴的距离为，即 ． 又因为在上，因而，将上式代入得 ， 即旋转曲面上任一点的坐标满足方程 . 图8-32 注 此例说明，若旋转曲面的母线在平面上，它在平面直角坐标系中的方程为，则要写出曲线绕轴旋转的旋转曲面的方程，只需将方程中的换成即可． 同理，曲线绕轴旋转的旋转曲面的方程为，即将中的换成． 反之，一个方程是否表示旋转曲面，只需看方程中是否含有两个变量的平方和 如在平面内的椭圆绕轴旋转所得到的旋转曲面的方程为 ， 该曲面称为旋转椭球面． 例5 将坐标面上的双曲线=1分别绕轴和轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程. 解 绕x轴旋转生成的旋转双叶双曲面: . 绕z轴旋转生成旋转单叶双曲面: 例6 直线绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为 圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为轴，半顶角为的圆锥面方程． 解 面上直线方程为, 因为旋转轴为z轴，所以只要将方程中的y改成， 便得到这个圆锥面方程 . 或 ，其中. 显然圆锥面上任一点M的坐标一定满足锥面方程.如果点M不住圆锥面上，那么直线OM与z轴的夹角就不等于，于是点M的坐标就不满足此方程. 4.4 二次曲面 我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.适当选取坐标系，可得到它们的标准方程.下面就它