2018大二轮高考总复习文数文档:第1板块 第2单元 数学思想方法 .doc
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1、第二单元数学思想方法高考数学以能力立意,一是考查数学的基础知识,基本技能;二是考查基本数学思想方法,考查数学思维的深度、广度和宽度,数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题,是数学意识,是数学技能的升华和提高,中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性质,使问题得到解决方程思想的实质就是将所求的量设成未知数,根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程
2、(组)进行研究,以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求解,研究运动中的等量关系已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若a12,且a2,a3,a41成等比数列,求数列an的通项公式an;(2)在(1)的条件下,数列an的前n项和为Sn,设bn,若对任意的nN*,不等式bnk恒成立,求实数k的最小值【解】(1)因为a12,aa2(a41),又因为an是正项等差数列,故d0,所以(22d)2(2d)(33d),(列出方程)解得d2或d1(舍去),所以数列an的通项公式an2n.(2)因为Snn(n1),bn
3、,令f(x)2x(x1),(构造函数)则f(x)2,当x1时,f(x)0恒成立,所以f(x)在1,)上是增函数,故当x1时,f(x)minf(1)3,即当n1时,(bn)max,要使对任意的正整数n,不等式bnk恒成立,则须使k(bn)max,所以实数k的最小值为.本题完美体现了函数与方程思想的应用,第(1)问直接列方程求公差;第(2)问求出bn的表达式,说明要求bnk恒成立时k的最小值,只需求bn的最大值,从而构造函数f(x)2x(x1),利用函数求解1如图是函数yAsin(x)(其中A0,0,)在一个周期内的图象,则此函数的解析式是()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin解析:
4、依函数图象,知y的最大值为2,所以A2.又,所以T,又,所以2,所以y2sin(2x)将代入可得sin1,故2k,kZ,又0即x(0,1时,f(x)ax33x10可化为a.设g(x),则g(x),所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)maxg4,从而a4;当x0时,就化为不等式f(x)0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算
5、,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决二、数形结合思想求解数学问题最快捷的途径以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系,把数转化为形,即以形作为手段,数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当x0时,xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是
6、()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,)C(,1)(1,0)D(0,1)(1,)【解析】设yg(x)(x0),则g(x),当x0时,xf(x)f(x)0,g(x)0时,由f(x)0,得g(x)0,由图知0x1,当x0,得g(x)0,由图知x0成立的x的取值范围是(,1)(0,1),故选A【答案】A本例利用了数形结合思想,由条件判断函数的单调性,再结合f(1)0可作出函数的图象,利用图象即可求出x的取值范围3(2017南昌模拟)在平面直角坐标系中,O为原点,A(1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|1,则|的取值范围是()A4,6B1,1C2,2D1,1解析:设D(x,y),则由|
7、1,C(3,0),得(x3)2y21.又(x1,y),|.|的几何意义是点P(1,)与圆(x3)2y21上点之间的距离,由|PC|知,|的最大值是1,最小值是1.故选D答案:D4设A(x,y)|x2(y1)21,B(x,y)|xym0,则使AB成立的实数m的取值范围是_解析:集合A是一个圆x2(y1)21上的点的集合,集合B是一个不等式xym0表示的平面区域内的点的集合,要使AB,则应使圆被平面区域所包含(如图),如直线xym0应与圆相切或相离(在圆的下方),而当直线与圆相切时有1,又m0,所以m1,故m的取值范围是m1.答案:运用数形结合思想分析解决问题的3原则(1)等价性原则,在数形结合时
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