基本不等式及其应用学习知识资料梳理及其典型知识学习情况总结分析题(含答案).doc

基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则≥，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a2＋b2≥(a，b∈R)． (2) 注：不等式a2＋b2≥2ab和≥它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（）2. (3) ab≤ (a，b∈R)． (4)＋≥2(a，b同号且不为0)． (5)(a，b∈R). （6） (7)abc≤; (8)≥； 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2≥ . (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 . 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　) A.6 B.4 C.2 D.2 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　) A. B.1 C.2 D.4 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.当且仅当a＝1，b＝时等号成立.故选A. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A.a＜v＜ B.v＝ C.＜v＜ D.v＝ 解：设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a＜b，∴v＝＝＜＝. 又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a.故选A. ()若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________. 解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋≥2，当且仅当x＝时等号成立.故填2. 点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________. 解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1， 所以mn≤＝， 当且仅当m＝n＝时取等号， ∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2＝－2，故填－2. 类型一　利用基本不等式求最值 　(1)求函数y＝(x＞－1)的值域. 解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9. 又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞). (2)下列不等式一定成立的是(　　) A.lg>lgx(x>0) B.sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C.x2＋1≥2(x∈R) D.>1(x∈R) 解：A中，x2＋≥x(x＞0)，当x＝时，x2＋＝x. B中，sinx＋≥2(sinx∈(0，1])； sinx＋≤－2(sinx∈[－1，0)). C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R). D中，∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C. 点拨： 这里(1)是形如f(x)＝的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值. (2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在. 　(1)已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为 . 解：∵t＞0，∴f(t)＝＝t＋－4≥－2， 当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2. (2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (Ⅰ)xy的最小值； (Ⅱ)x＋y的最小值. 解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立. (Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2， 则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18， 当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立. 解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立. 类型二　利用基本不等式求有关参数范围 　若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　) A.2∈M，0∈M B.2∉M，0∉M C.2∈M，0∉M D.2∉M，0∈M 解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号). 解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R. 故选A. 点拨： 一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题： (1) a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min； (3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min； (4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max. 　已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式 mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围. 解：由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立. 令t＝ex(x＞0)，则t＞1，且m≤－＝ －对任意t＞1成立. ∵t－1＋＋1≥2＋1＝3， ∴－≥－， 当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立. 故实数m的取值范围是. 类型三　利用基本不等式解决实际问题 　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋1802a＝225x＋360a－360. 由已知xa＝360，得a＝， 所以y＝225x＋－360(x≥2). (2)∵x≥0，∴225x＋≥2＝10800， ∴y＝225x＋－360≥10440， 当且仅当225x＝，即x＝24时等号成立. 答：当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 　如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计). 解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数， 根据题意可知：y＝，其中k是比例系数且k＞0. 依题意要使y最小，只需ab最大. 由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)， 即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0). ∵a＋2b≥2， ∴2＋ab≤30，得0＜≤3. 当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3. 故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少. 解法二：同解法一得b≤，代入y＝求解. 1.若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A.2 B.a C.3 D. 解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C. 2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是(　　) A.ab＜1＜ B.ab＜1≤ C.1＜ab＜ D.ab≤≤1 解：运用不等式ab≤2⇒ab≤1以及(a＋b)2≤2(a2＋b2)⇒2≤a2＋b2(由于a≠b，所以不能取等号)得，ab＜1＜，故选A. 3.函数f(x)＝在(－∞，2)上的最小值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解：当x＜2时，2－x＞0，因此f(x)＝＝＋(2－x)≥2＝2，当且仅当＝2－x时上式取等号.而此方程有解x＝1∈(－∞，2)，因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2，故选C. 4.()要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解：假设底面的长、宽分别为x m， m，由条件知该容器的最低总造价为y＝80＋20x＋≥160，当且仅当底面边长x＝2时，总造价最低，且为160元.故选C. 5.下列不等式中正确的是(　　) A.若a，b∈R，则＋≥2＝2 B.若x，y都是正数，则lgx＋lgy≥2 C.若x<0，则x＋≥－2＝－4 D.若x≤0，则2x＋2－x≥2＝2 解：对于A，a与b可能异号，A错；对于B，lgx与lgy可能是负数，B错；对于C，应是x＋＝－≤－2＝－4，C错；对于D，若x≤0，则2x＋2－x≥2＝2成立(x＝0时取等号).故选D. 6.()若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　) A.6＋2 B.7＋2 C.6＋4 D.7＋4 解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且 即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D. 7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是. 解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)， 所以有＝≤＝， 即的最大值为，故填a≥. 8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA||PB|的最大值是________. 解：易知定点A(0，0)，B(1，3). 且无论m取何值，两直线垂直. 所以无论P与A，B重合与否，均有 |PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上). 所以|PA||PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5. 当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立.故填5. 9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值； (2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值. 解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4. ∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立. ∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为. (2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3. ∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4. 当且仅当 即x＝，y＝时“＝”成立. ∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4. 10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值. 解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立. 11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼的面积为S，则S＝xy. 解法一：由于2x＋3y≥2＝2， ∴2≤18，得xy≤，即S≤. 当且仅当2x＝3y时等号成立. 由解得 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大. 解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y. ∵x＞0，∴0＜y＜6. S＝xy＝y＝(6－y)y. ∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝. 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5. 故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24. 设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y. 解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立. 由解得 故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小. 解法二：由xy＝24，得x＝. ∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥62＝48， 当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6. 故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.