山东数学与应用数学本科毕业规范文本-逆矩阵及其应用.doc

-` 本科毕业论文 论文题目： 逆矩阵及其应用 学生姓名： 学号： 专业： 数学与应用数学 指导教师： 学 院： 年 月 日 毕业论文（设计）内容介绍 论文（设计） 题 目 逆矩阵及其应用 选题时间 完成时间 论文（设计） 字数 关 键 词 矩阵，逆矩阵，广义逆矩阵， 论文（设计）题目的来源、理论和实践意义： 论文题目的来源：自选题目 论文（设计）的主要内容及创新点： 主要内容： 主要创新点： 附：论文（设计） 本人签名： 年 月 日  目 录 中文摘要 …………………………………………………………… 1 英文摘要 …………………………………………………………… 1 一、 引言 …………………………………………………………… 2 二、 矩阵逆的定义……………………………………………………2 三、 可逆矩阵的性质 ……………………………………………2 四、 矩阵可逆的判定方法……………………………………………2 五、 矩阵逆的求法……………………………………………………3 六、 矩阵逆的应用……………………………………………………12 七、 逆矩阵求某些函数的不定积分…………………………………13 八、 矩阵逆的推广……………………………………………………14 参考文献 ………………………………………………………………16 逆矩阵及其应用 摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及逆矩阵求不定积分,矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用.最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广. 关键词：矩阵 矩阵的逆 广义逆矩阵 中图分类号：O151.21 The inverse matrix and its application Abstract: This paper presents the definition and properties of inverse matrix, then discusses the method about how to identify inverse matrix and how to evaluate it. Next, this paper discusses how to evaluate indefinite integral by inverse matrix and the application of inverse matrix, especially its application in the encoding, decoding. Finally, this thesis generalizes inverse matrix. Keywords: Matrix Inverse matrix Generalized inverse matrix 一：引言 矩阵是现代数学的一个强有力的工具，应用非常广泛，逆矩阵又是矩阵理论的一个非常重要的概念，文章主要是对矩阵的可逆性由来及定义、性质、判定方法、应用进行探讨.目的在于改进教学，促进学生的学习，提高教育教学质量，让学生了解逆矩阵的应用. 二：矩阵逆的定义 引入矩阵的逆这个概念: 对于n矩阵A，如果有一个n矩阵B，使得AB=BA=E，E为单位矩阵则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A的逆矩阵记为A. 三：可逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆,则矩阵AB可逆，其逆阵为BA，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆. 2、若A可逆，则也可逆，且=A； 3、若A可逆，数，则可逆，且； 4、若A可逆，则也可逆，且. 5、. 6、矩阵的逆是唯一的， 证明：运用反证法，如果A 是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有 AB=BA=E=AC=CA B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（与BC矛盾），所以是唯一的. 四：矩阵可逆的判定方法 矩阵可逆有如下若干充要条件：（A为n阶方阵） 1、存在B为n阶方阵，使得AB=I； 2、对于PAQ=，其中r（A）=n； 3、； 4、A的行向量组线性无关； 5、A的列向量组线性无关； 6、A可表示成一系列初等矩阵的乘积； 7、A可经过一系列初等行变换化成单位矩阵I； 8、A可经过一系列初等列变换化成单位矩阵I； 9、对于齐次线性方程组 AX=0只有零解； 10、是非奇异矩阵. 五：矩阵的逆的求法 （一）.定义法 定义 设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB=E,那么A称为可逆j矩阵，B称为A的逆矩阵，记为. 例1. 求矩阵的逆矩阵. 解 ： 因为≠0,所以存在.设 ,由定义知A=E, 所以=. 由矩阵乘法得 =. 由矩阵相等可解得;;. 故 （二）.伴随矩阵法 定理 n阶矩阵A = aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且，其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式. 矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有 A-1 = A*. 注释 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （Aji）nn元素的位置及符号.特别对于2阶方阵，其伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律. ②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵. 例2：已知，求A-1. 解: ∵ = 2 ≠ 0 ∴A可逆.由已知得 A-1 = A* = （三）.行(列)初等变化法 设n阶矩阵A，作n2n矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若 把子块A变为，则子块将变为，即初等行变换 [E,A-1 ]. 注 ①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换. ②也可以利用求得A的逆矩阵. ③当矩阵A可逆时，可利用 求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了A-1B或CA-1. 例3：:用初等行变换求矩阵的逆矩阵. 解： （四）. 用分块矩阵求逆矩阵 设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则： 例4：已知，求A-1. 解： 将A分块如下： 其中 可求得 （五）.解方程组求逆矩阵 根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵. 例5： 求的逆矩阵. 解： 设,先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素,再求，最后求.设E为4阶单位矩阵, 比较 的两端对应元素,得到 元素,再求，最后求.设E为4阶单位矩阵, 比较 的两端对应元素,得到 于是,所求的逆矩阵为: （六）. 用克莱姆法则求解 若线性方程组的系数行列式，则此方程组有唯一的一组解.这里是将中的第i列换成得到的行列式. 例6：求可逆矩阵的逆矩阵. 解： 矩阵A的行向量为，由标准基表示为： 解以为未知量的方程组得： （七）.恒等变形法求逆矩阵： 有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式. 例7：已知，试求并证明,其中. 解: 由 得到故,而A 又为正交矩阵, 从而 （八）. 用Hamilton-Caley定理求逆矩阵 Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵 为A的特征多项式，则： 于是 因此 例8：已知，求A-1. 解： A的特征多项式 由Hamilton-Caley定理知： （九）. 三角矩阵的一种求逆法 定理：如果n阶矩阵可逆， 那么他的逆矩阵是 其中 例9：求上三角阵的逆矩阵. 解： 由定理知： （十）. 拼接新矩阵： 在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E, 再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负单位矩阵-E化为零矩阵, 那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A-1. 例10：求矩阵的逆矩阵A-1. 解: 构造矩阵有： 将第一行依次乘以-2，-3和1，分别加到第二行、第三行和第五行， 得 ： 将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行， 得 ： 再将第三行依次乘以-3、2和-1，分别加到第四行、第五行、第六行， 得 ： 故： （十一）.和化积法 有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其逆矩阵，此时可将A+B直接化为（A+B）C=E,由此得A+B非奇异，且=C;或将矩阵之和 A+B表示为若干已知的非奇异阵之积，并可得其逆矩阵. 例11.证明:若=0,则E-A是非奇异的，并求. 证明 且=. 六：矩阵逆的应用（主要在编码、解码方面） 矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆短阵的方法．先在26 个英文字母与数字间建立起一一对应，例如可以是 A B …… Y Z …… …… …… 1 2 …… 25 26 若要发出信息“SEND MONEY”，使用上述代码，则此信息的编码是19，5，14，4，13，l 5，14，5，25，其中5 表示字母E．不幸的是，这种编码很容易被别人破译．在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出现频率最高的数值而猜出它代表的是哪个字母，比如上述编码中出现次数最多的数值是5，人们自然会想到它代表的是字母E，因为统计规律告诉我们，字母E 是英文单词中出现频率最高的． 我们可以利用矩阵乘法来对“明文”SEND MONEY 进行加密，让其变成“密 文”后再行传送，以增加非法用户破译的难度，而让合法用户轻松解密．如果一 个矩阵A的元素均为整数，而且其行列式=1，那么由 即知， 的元素均为整数．我们可以利用这样的矩阵A 来对明文加密，使加密之后的密文 很难破译．现在取 A= 明文“SEND MONEY”对应的9 个数值按3 列被排成以下的矩阵 B= 矩阵乘积 AB= 对应着将发出去的密文编码：43，105，81，45，118，77，49，128，93 合法用户用A-1去左乘上述矩阵即可解密得到明文． 为了构造“密钥”矩阵A ，我们可以从单位阵I 开始，有限次地使用第三类初 等行变换，而且只用某行的整数倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能使 用．这样得到的矩阵A，其元素均为整数，而且由于=1可知，的元素必 然均为整数． 七：逆矩阵求某些函数的不定积分 利用逆矩阵求不定积分的具体方法： 1） 根据所求函数的不定积分，构造一个由基生成的子空间W=，并且W在求导变换D/W下是封闭的； 2） 求D/W在基下矩阵A=； 3） 根据高等代数知识，求逆矩阵，则就是逆变换在基下的矩阵； 4） 根据的第j列元素写出=，j=1,2,3,4,5,6,…,n 于是得出所求积分=+C,j=1，2，3，4，…n 例：求定积分 选定子空间W=L()，则W是求导变换D/W的不变子空间，且是W的一组基，且 5，其中是任意常数. 4，其中是任意常数. = ，其中C是任意常数. 八：可逆矩阵的推广———广义逆 众所周知，目前我们所学习、所了解的矩阵的可逆都是建立在n阶方阵的基础上，那如果是长方阵呢，对于长方阵，是否也有逆的性质，长方阵的逆又是怎样的呢？查阅资料，我对矩阵的逆来做些推广，就是标题中所说的长方阵的广义逆. 逆是逆元的简称，跟n阶方阵一样，长方阵与其广义逆之间也有着相应的关系——AXA=A.这边的X就成为长方阵A的广义逆，记为A或者A-. 若A为非奇异矩阵,则线性方程组A=b的解为A-=A(A-b，其中A的逆矩阵A(A-满足AA(A-=A(A=I(I为单位矩阵).若A是奇异阵或长方阵.A=b可能无解或有很多解.若有解,则解为Xb+(I-XA),其中是维数与A的列数相同的任意向量,X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵,用A-等符号表示,有时简称广义逆.当A非异时,A(A-也满足AA(A-A=A,且.故非异阵的广义逆矩阵就是它的逆矩阵，说明广义逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广. 参考文献： [1] 同济大学数学系.线性代数（第五版）.北京：高等教育出版社.2007（9） [2] 北大数学系编.王萼芳等修订.高等代数.第三版.北京:高等教育社.2003(2). [3] 郭大钧等.吉米多维奇数学分析习题集解（第三版）.济南:山东科学技术出版社.2005（3）. [4] 张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999 [5] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨黑龙江教育出版社.1996. [6] 同济大学.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社.2005:223. [7] 刘丽，林谦，韩本三，等.高等代数学习指导与习题解析[M].成都:西南财经大学出版社.2009:39.170.253. [8] 邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉:武汉大学出版社.2001:168.169.176. [9] 吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解：多变量部分 [M].北京：科学出版社，2005. [10] 毛纲源.线性代数解题方法和技巧[M].武汉：湖南大学出版社. [11] 王萼芳、石生明.高等代数.高等教育出版社..2003年第三版； [12] 李尚志.线性代数.高等教育出版社.2006年第一版. 山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表 学院： (章)系别/教研室： 时间： 年 月 日 课 题 情 况 题目名称 课题性质 A基础研究 √ B基础应用研究 C应用研究 教师姓名 职称 学位 课题来源 A.科研 B.生产 C.教学 D. 学生自拟 √ E. 其它 成果类别 A.论文 √ B.设计 主要 研究 内容 与 研究 目标 指导教师（签名）： 年 月 日 选题学生（签名）： 年 月 日 系所或教研室 审题 意见 负责人（签名）: 年 月 日 学院审批意见 学院学位分委员会主任（签名）: 年 月 日 山东师范大学 本科毕业论文（设计）开题报告 论文题目： 学院名称： 专 业： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 年 月 日  一、选题的性质 基础应用研究 二、选题的目的和意义 三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面 四、课题研究的可行性分析 五、课题研究的策略、方法和步骤 六、预期成果形式描述 预计形成6000字左右的学士学位论文。 七、指导教师意见 指导教师（签名）： 年 月 日 八、学院学位分委员会意见 学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日 山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表 学院： 系别： 专业： 论文（设计）题目： 学生姓名 学号 指导教师 职称 计划完成时间： 指导情况纪录（含指导时间、指导内容） 指导教师（签名）： 学生（签名）： 学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日 指导教师意见 （包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价） 成绩： 指导教师（签名）： 年 月 日 评阅人意见 （包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价） 成绩： 评阅人（签名）： 年 月 日 答辩委员会意见 （应根据论文内容和答辩情况，并参考指导教师意见、评阅人意见对论文的综合水平做出具体评价） 成绩： 答辩委员会主任（签名）： 年 月 日 学院学位分委员会意见 成绩： 学位分委员会主任（签名）： （公章） 年 月 日 山东师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表 学院： （章）系别： 专业： 论文（设计）题目： 学生姓名 学 号 指导教师 职 称 答辩时间 答辩地点 答辩委员会名单 姓 名 性别 职 称 职 务 其它 答辩记录： 记录人（签名）： 答辩委员会主任（签名）： 年 月 日 年 月 日 山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要 学院： 专业： 班级： 姓名 学号 指导教师 论文（设计） 题 目 关键词 论文（设计）字数 内容摘要： 成绩 学院负责人（签名） 年 月 日 山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要 学院： 专业： 班级： 姓名 学号 指导教师 论文（设计） 题 目 关键词 论文（设计）字数 内容摘要： 成绩 学院负责人（签名） 年 月 日