小学奥数平面几何五大定律.doc

.\ 小学奥数平面几何五大定律 教学目标： 1． 熟练掌握五大面积模型 2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图； 反之，如果，则可知直线平行于． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在中，分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上，在上)， 则 图⑴ 图⑵ 三、蝴蝶定理 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①或者② 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ① ②； ③的对应份数为． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①； ②． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理 在三角形中，，，相交于同一点，那么． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题 【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2．长方形EFGH的面积为 ． _ H _ G _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ A _ B _ C _ D _ E _ F _ G _ H 【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍． 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， ,所以长方形EFGH面积为33． 【巩固】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D 【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形中，边上的高， ∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，． ∴正方形与长方形面积相等． 长方形的宽(厘米)． 【例 2】 长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图： 可得：、、，而 即； 而，． 所以阴影部分的面积是： 解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合， 那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有： ． 【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积． 【解析】 （法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米． （法2）连接、． 由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米． 【例 3】 如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为 ． 【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积． 由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为； 又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为． 另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为． 【巩固】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为 ． 【解析】 如图，连接． 根据蝴蝶定理，，所以； ，所以． 又，，所以阴影部分面积为：． 【例 4】 已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形) 【解析】 因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有， 即，所以． 又，所以． 【例 5】 如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是 ． 【解析】 连接，． 根据题意可知，；； 所以，，，，， 于是：；； 可得．故三角形的面积是40． 【例 6】 如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积． 【解析】 连接，， ，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？ 【解析】 连接． ∵ ∴ 又∵ ∴，∴． 【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 【解析】 连接． ∵， ∴， 又∵， ∴，∴，． 【例 7】 如图在中，在的延长线上，在上，且， ，平方厘米，求的面积． 【解析】 连接， ， 所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例 8】 如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比． 【解析】 连接、．根据共角定理 ∵在和中，与互补， ∴． 又，所以． 同理可得，，． 所以． 所以． 【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？ 【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理) 【例 10】 如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积． 【解析】 如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置． 由于，，所以．而， 所以，那么、、三点在一条直线上． 由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为． 根据面积比例模型，的面积为． 【例 11】 如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积． 【解析】 如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置． 那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且， 所以梯形的面积为： ()． 又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以()． 那么()， 所以()． 【例 12】 如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米． 【例 13】 如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于 ． 【解析】 方法一：连接，根据燕尾定理，，, 设份，则份，份，份，如图所标 所以 方法二：连接，由题目条件可得到， ，所以， ， 而．所以则四边形的面积等于． 【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米? 【解析】 设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米. 【例 14】 四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍． 【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵，∴，∴． 解法二：作于，于． ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形的面积；⑵？ 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，，那么； ⑵根据蝴蝶定理，． 【例 15】 如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积． 【解析】 ⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为； ⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为， 根据蝴蝶定理，，所以， 那么． 【例 16】 如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积． 【解析】 连接，． 因为，，所以． 因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米． 【例 17】 如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积． 【解析】 因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道 ，设份，则 份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米． 【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米． 【解析】 连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)． 【例 18】 已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】 连接． 由于是平行四边形，，所以， 根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)． 【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米． 【分析】 连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么． 根据蝴蝶定理，，故， 所以(平方厘米)． 【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】 连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么． 根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)． 另解：在平行四边形中，(平方厘米)， 所以(平方厘米)， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)． 【例 19】 如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米． 【解析】 连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)． 【例 20】 如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？ 【解析】 由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的． 由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48． 那么的面积为． 【例 21】 下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于 ． 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接．设与的交点为． 左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为． 如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为． 可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形 的面积为，梯形的面积为． 在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即， 那么． 【例 22】 如图， 中，，，互相平行，， 则 ． 【解析】 设份，根据面积比等于相似比的平方， 所以，， 因此份，份， 进而有份，份，所以 【巩固】如图，平行，且，，，求的长． 【解析】 由金字塔模型得，所以 【巩固】如图， 中，，，，，互相平行， ，则 ． 【解析】 设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份． 所以有 【例 23】 如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求 【解析】 方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以． 方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以． 【例 24】 如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积． 【解析】 解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而， 所以， 并得、是的三等分点，所以，所以 ，所以，； 又因为，所以． 解法二：延长交于，如右图， 可得，，从而可以确定的点的位置， ，，(鸟头定理)， 可得 【例 25】 如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？ 【解析】 (法)由，有，所以，又，所以 ，所以，所以占的， 所以． (法)如图，连结，则(， 而，所以，()． 而()，因为， 所以，则()，阴影部分面积等于 ()． 【例 26】 如右图，三角形中，，，求． 【解析】 根据燕尾定理得 （都有的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】如右图，三角形中，，，求. 【解析】 根据燕尾定理得 （都有的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 【巩固】如右图，三角形中，，，求. 【解析】 根据燕尾定理得 （都有的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【例 27】 如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为______，三角形的面积为________，三角形的面积为______． 【分析】 连接、、． 由于，所以，故； 根据燕尾定理，，，所以 ，则，； 那么； 同样分析可得，则，，所以，同样分析可得， 所以，． 【巩固】 如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积． 【解析】 连接BG，份 根据燕尾定理，， 得(份)，(份)，则(份)，因此, 同理连接AI、CH得,,所以 三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19 【巩固】如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的 倍． 【分析】 如图，连接． 根据燕尾定理，，， 所以，，那么，． 同理可知和的面积也都等于面积的，所以阴影三角形的面积等于面积的，所以的面积是阴影三角形面积的7倍． 【巩固】如图在中，,求的值． 【解析】 连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线. 【例 28】 如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少? 【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN． 根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以 同理可得，,,而，所以，． 同理，,所以，,, 【巩固】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？ 【解析】 连接、、． 根据燕尾定理，，， 所以，那么，． 类似分析可得． 又，，可得． 那么，． 根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的图形的面积之和为，所以四边形的面积为． 【例 29】 右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？ 【解析】 连接、． 根据燕尾定理，，，所以； 再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以． 根据题意，有，可得(平方厘米) 【例 30】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积. 【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！ 令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP ⑴求：在中，根据燕尾定理， 设(份)，则(份),(份),(份), 所以，所以,, 所以, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的 ⑵求：在中，根据燕尾定理, 所以,同理 在中，根据燕尾定理, 所以，所以 同理另外两个五边形面积是面积的，所以 【例 31】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积. 【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR 在中根据燕尾定理，, 所以,同理, 所以，同理 根据容斥原理，和上题结果 课后练习： 练习1. 已知的面积为平方厘米，，求的面积． 【解析】 ， 设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米 练习2. 如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积． 【解析】 连接．由共角定理得，即 同理，即 所以 连接，同理可以得到 所以平方米 练习3. 正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是 平方厘米． 【解析】 欲求四边形的面积须求出和的面积． 由题意可得到：，所以可得： 将、延长交于点，可得： ， 而，得， 而，所以 ． 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接，确定的位置(也就是)，同样也能解出． 练习4. 如图，已知，，，，则 ． 【解析】 将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形和，再连接，显然，，，所以是正方形．三角形和三角形关于正方形的中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系： ；；． 所以． 练习5. 如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形 的面积是_____平方厘米． 【解析】 连接,根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份，份，因此份，，所以(平方厘米). 练习6. 如图，中，点是边的中点，点、是边的三等分点，若的面积为1，那么四边形的面积是_________． 【解析】 由于点是边的中点，点、是边的三等分点，如果能求出、、三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形的面积． 连接、． 根据燕尾定理，，而，所以，那么，即． 那么，． 另解：得出后，可得， 则． 练习7. 如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求角形 的面积． 【解析】 连接BG，12份 根据燕尾定理，， 得(份)，(份)，则(份)，因此, 同理连接AI、CH得,,所以 三角形ABC的面积是,所以三角形GHI的面积是 月测备选 【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为和，乙三角形两条直角边分别为和，求图中阴影部分的面积． 【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为： 【备选2】 如图所示，矩形的面积为36平方厘米，四边形的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】 因为三角形面积为矩形的面积的一半，即18平方厘米，三角形面积为矩形的面积的，即9平方厘米，又四边形的面积为3平方厘米，所以三角形与三角形的面积之和是平方厘米． 又三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为(平方厘米)． 【备选3】 如图，已知，，与相交于点,则被分成的部分面积各占 面积的几分之几？ 【解析】 连接,设份，则其他部分的面积如图所示，所以份，所以四部分按从小到大各占面积的 【备选4】 如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？ 【解析】 ∵在和中，与互补， ∴． 又，所以． 同理可得，． 所以 【备选5】 如图，,,则 【解析】 根据燕尾定理有,,所以 【备选6】 如图在中，,求的值． 【解析】 连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,, 所以