数学建模队员的选拔.doc

-/ 数 学 建 模 论 文 学院：计算机与信息学院 专业班级：信息与计算科学111班 姓名：熊溢斌 学号：3110702143 题目： 一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。 数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。 目前选拔队员主要考虑以下几个环节 数学建模培训课程的签到记录；数学建模的笔试成绩，上机操作，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拔出队员。然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含一位数学基础较好的同学、计算机编程能力强的同学。各组通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。 下表列出了15个学生的部分信息，空白处为学生不愿意提供或未能了解的情况 学生 专业 笔试 班级排名 听课次数 其它情况 思维敏捷 机试 知识面 S1 数学 96 2 2 　 A B A S2 电子信息 93 1 6 过计算机三级 A B B S3 机械 92 3　 4 　 C D C S4 机械 82 10 4 上过建模选修课 B B A S5 数学 82 　 3 　 B C B S6 电子信息 82 3 6 　 A B D S7 化工与材料 80 7 5 　 C B B S8 数学 79 　 4 考过程序员 A B A S9 电子信息 78 12 4 学过MATLAB A C C S10 电子信息 77 　 5 学过MATLAB A B B S11 化工与材料 76 　 6 　 C A B S12 化工与材料 74 　 2 　 A C A S13 计算机 78 　 2 　 B A D S14 计算机 76 　 5 　 A B A S15 计算机 66 　 6 　 C B B 现在需要解决以下几个问题： 1．根据你们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考察学生的哪些情况？哪些素质是数学建模的关键素质，如何进行考察？ 2．根据上表中信息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识结构。 3．有的指导老师在对学生机试的时候发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。 4．为数学建模教练组写1份1000－1500字的报告，提出建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。 关键词：最佳组队；层次分析法；matlab编程；权重；技术水平指标。 目录 一、问题重述 1.1 背景 1.2 问题 二、基本假设 三、符号说明 四、问题分析 五、模型的建立和求解 六、模型检验 七、模型的评价 参考文献 附录 1、计算特征向量 2、计算综合加权向量 一、问题的重述 1.1 背景 一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。现在需要一种最优的选拔方案和分配方案，来进行数学建模比赛。 1.2 问题 （1）对于问题1，需要结合对数学建模的了解来进行判定。 （2）对于问题2，首先对学生所具的素质进行重要程度进行判定后，再根据数学建模团队所要求的能力进行分配。 （3）对于问题3，要对一个学生应具有的综合素质进行分析。 二、基本假设 1 学生的成绩是其真实能力的反映，不存在弄虚作假。 2 在一定的时期内能力值保持不变，并且在比赛时能正常发挥。 3 学生不愿透露的方面的“其他方面”表示在此方面的能力值很差。 4 为了解决方便，对于其排名，根据成绩取相近值，并完全上表格。 三、符号说明 一致性指标 随机一致性指标 一致性检验指标 准则层对目标层的特征向量 方案层对准则层的特征向量 方案层对目标层的特征向量 最大特征值 队员x的第i项水平指标 队员x,y,z组队x,y,z的第i项水平指标 技术水平指标 15名队员的编号 四、问题分析 4.1对问题一的分析 每年的全国大学生数学建模竞赛都需要选出优秀的队员组成队伍，以达到最好的、最合理的优化组合参加比赛，提高获奖的几率。这是一个考虑多因素的资源配置问题。根据我们所了解的数学建模知识，一组中需要分别包含数学分析和建模能力较好的同学、计算机编程能力强的同学、语言表达和写作能力较强的同学，通过交流与合作，以达到最好效果。考察素质时一方面可由学生自己的主观因素提供，一方面可根据相关考试等客观事实来判断。 数学知识和计算机能力是建模的关键，组队时我们应该优先考虑这两方面才能的人。数学分析及建模的能力可通过笔试成绩及思维敏捷度来判断，而计算机能力则可通过对机试成绩进行分析，也可由其它情况（如是否学过matlab等）进行附带说明。 4.2对问题二的分析 第二问是要求建立出数学模型，在15名同学中选出9名最优的、合适的同学组成三队参加竞赛。这是一个半定量半定性、多因素的综合排序问题，也是一个多目标的决策问题。我们主要采用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各学生对各指标的权重，然后建立数学模型对每个队员的总成绩进行排名，剔除掉落后的6名学生。 4.3对问题三的分析 这一问是在第二问的基础上进行假设，假设计算机编程能力是选拔队员的关键因素。选拔出几名计算机能力最强的同学，与前一问的综合排名进行对比。通过对结果的分析来确定这种直接录用而不考虑其他因素的做法是否可取。 4.4对问题四的分析 根据前几问的条件，来判断选拔队员时还缺少了哪些信息、有些信息是否可以忽略，然后对数学建模教练组提供相关选拔队员的建议，以帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。 五、模型建立和求解 5.1问题一： 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程，因此数学建模要求学生具有一系列的素质，包括较好的数学基础和建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力等。于是我们建议考察学生的下列能力： 1.较好的数学基础知识（高等数学、数学分析、数学建模、线性代数、微积分和概率论等） 2.必要的数学建模知识（数学建模软件的熟练掌握） 3.计算机编程能力 4.语言表达和写作能力 5.良好的团队合作精神及协调能力 6.思维敏捷度（分析、归纳、总结的能力） 7.对数学建模的兴趣及悟性 8.能否持之以恒的耐性 我们认为下列素质是数学建模的关键素质： 1. 对数学知识和数学建模知识的熟练掌握 2. 计算机编程能力及数学建模软件的掌握和运用 3. 较强的语言表达和写作能力 4. 分析、归纳、总结的能力及团队协调合作能力 可通过下列方式进行考察： 1. 成立以数学建模为主体的协会并开展讲座，看爱好者的活跃程度； 2. 看平时考试的数学成绩和举办数学竞赛，来考察数学方面的能力； 3.举办数学建模论文竞赛和模拟答辩等，考察队数学建模知识的了解及论文的写作能力； 4.计算机系的学生可通过对编程成绩的查阅来考察计算机编程能力； 5.组织一次开放性、全校性的数学建模选拔赛来考察数学建模的综合能力，或者具有某方面特长的学生。 5.2.问题二的模型建立及求解 5.2.1参赛队员的选取 该题是一个多因素的综合排序问题，也是一个多目标的决策问题。为了从15名队员中选出9名，我们采用层次分析法计算权重，然后综合总成绩进行排名，即可选出。 题目给出了七项指标，为了方便计算，我们首先应将各指标量化。由于班级排名这一项统计不全，故可以忽略掉此项的影响。在量化时我们遵循以下原则：笔试成绩以10为满分进行计算；思维敏捷、机试和知识面的A、B、C、D等级分别按4分、3分、2分、1分计；其它情况在1分的基础上加分，如学过matlab和上过建模选修课、考过程序员加1分，过计算机三级加2分。下表是15名学生的量化分数表： 学生 笔试 机试 思维敏捷 知识面 其它情况 听课次数 S1 9.6 3 4 4 1 2 S2 9.3 3 4 3 3 6 S3 9.2 1 2 2 1 4 S4 8.2 3 3 4 2 4 S5 8.2 2 3 3 1 3 S6 8.2 3 4 1 1 6 S7 8 3 2 3 1 5 S8 7.9 3 4 4 2 4 S9 7.8 2 4 2 2 4 S10 7.7 3 4 3 2 5 S11 7.6 4 2 3 1 6 S12 7.4 2 4 4 1 2 S13 7.8 4 3 1 1 2 S14 7.6 3 4 4 1 5 S15 6.6 3 2 3 1 6 5.2.2用层次分析法 将选拔的九个优秀队员看做一个目标，作为目标层；将六项指标作为准则层；将15名同学作为方案层。如下图（1）： 选拔优秀队员 目标层O： 准则层C： 选修成绩 机试成绩 思维敏捷 知识面 听课次数 其他情况 方案层P： S1 S2 S3 S4 ……………. S12 S13 S14 图（1）：层次结构图 我们已经假设数学建模的笔试成绩，机试成绩，思维敏捷度，知识面宽广度，听课情况已及其他情况（如是否学过matlab等），这六项对学生参加建模竞赛时的影响占主体地位，而且影响程度是依次递减的。这里假设相邻的相差都为一，两两对比可得正互反矩阵为： 我们采用以下方法计算最大特征值： 1. 将A的每一列向量归一化得 2.将按行求和，可得 3. 将归一化，得： ，其中 为近似特征向量 4.计算最大特征值 5. 判断A的一致性 由以上式子可以求出最大特征值 特征向量 根据一致性指标公式可得CI=0.0246 引入随机一致性指标RI的数值如下表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 由上表可知，RI（1）=1.24 由公式可求得一致性检验指标，因此我们认为正互反矩阵A具有满意的一致性，通过一致性检验。 上述过程也可由matlab编程得到（程序见附录）[1] 我们已经假设对每个人的量化指标能充分且准确地反映此人的综合实力，由此可以求出方案层P对准则层C的特征向量： 其矩阵为B，即。 则其特征矩阵为：。 . 由于该矩阵已经归一化处理，则必定为一致阵， 且所有的 下表为对应的特征向量： C-P C1 C2 C3 C4 C5 C6 S1 0.0793 0.0714 0.0816 0.0909 0.0313 0.0500 S2 0.0768 0.0714 0.0816 0.0682 0.0938 0.1500 S3 0.076 0.0238 0.0408 0.0455 0.0625 0.0500 S4 0.0677 0.0714 0.0612 0.0909 0.0625 0.0500 S5 0.0677 0.0476 0.0612 0.0682 0.0469 0.0500 S6 0.0677 0.0714 0.0816 0.0227 0.0938 0.0500 S7 0.0661 0.0714 0.0408 0.0682 0.0781 0.0500 S8 0.0652 0.0714 0.0816 0.0909 0.0625 0.0100 S9 0.0644 0.0476 0.0816 0.0455 0.0625 0.0100 S10 0.0636 0.0714 0.0816 0.0682 0.0781 0.0100 S11 0.0628 0.0952 0.0408 0.0682 0.0938 0.0500 S12 0.0611 0.0476 0.0816 0.0909 0.0313 0.0500 S13 0.0644 0.0952 0.0612 0.0227 0.0313 0.0500 S14 0.0628 0.0714 0.0816 0.0909 0.0781 0.0500 S15 0.0545 0.0714 0.0408 0.0682 0.0938 0.0500 将得到的目标层对准则层的特征向量与准则层对方案层的特征向量进行层次总排序，即进行，得到的特征向量就是15人对应于目标层的权重。总的一致性指标为，总的一致性比率为： ，通过一致性检验。 现将15人权重大小按照降序排列如表： 特征向量 0.07963 0.07447 0.07127 0.06943 0.06935 0.06884 队员 S2 S1 S14 S8 S11 S4 专业 信息工程 数学 计算机 数学 统计学 自动化 特征向量 0.06752 0.06718 0.06448 0.06366 0.06164 0.06028 队员 S10 S6 S13 S7 S12 S15 专业 信息工程 信息工程 计算机 统计学 统计学 计算机 特征向量 0.05957 0.05855 0.05222 队员 S5 S9 S3 专业 数学 信息工程 自动化 根据题目要求，在15名学生中选取9名参赛队员，即选取权重排前9名的学生。由图表可知，依次为：S2, S1,S14, S8, S11, S4, S10, S6, S13。 5.2.3最佳组队原则对队员分组 第二小问是确定最佳的组队，使竞赛技术水平最高。显然是要考虑队员之间各项指标的互补性，找到三人让其各项权重达到最大值。 组队原则：三名队员的技术水平可以互补（最好来自不同专业），技术水平最高则为该队的水平指标。任取3名队员组合，求出相应的技术水平指标之和的最佳组队方案 对分组的影响主要取决于前四项指标：数学建模选修成绩，机试成绩，数学竞赛获奖情况，思维敏捷程度。这9名学生分为3组，总共有种组队方式。按照不同专业学生分在不同组的原则，有36种组队方式。 ：三名队员组成的一个队。 ,队员X的第i项水平指标。 ：队员组队的第项水平指标。 ：技术水平指标 . 。 经计算得出组队结果： 分 组 队员一 队员二 队员三 该组水平 第一组 0.0991791 第二组 0.0914192 第三组 0.0914192 5.3问题三的求解 通过对第二问结果的分析，我们知道学生的编程能力和和必要的数学软件使用熟悉程度指标占了七项考察指标总权重指数的24.9%，在六项指标中位居第二，由此我们可以看出参赛队员的编程能力在整个数学建模竞赛中过程中还是相对比较重要的，它所占的权重可在一定程度上反映一个数学建模参赛队员成功（获奖）的概率。实际上，在整个数学建模竞赛活动的过程中，可以涉及许多人为或非人为的因素，也会涉及到参赛队员自身的很多方面的素质，也许有些素质单独就个人而言，对自己成功与否的影响不是很明显，但是，参加数学建模竞赛是一个团队三个人的相互协作和共同努力的过程，这就需要每个参赛队员在保证能够独立发挥出自己最高真实水平的同时，不影响队员之间的协作和交流，并且还希望能够挖掘出某些队员本人自己不能完成而通过队员的个人素质及相关特殊情况的互补合作后能够实现的团队合作潜能，这样，才能保证一个队在数学建模竞赛中获得更多成功的可能机会。然而，相比涉及在数学建模活动中需要充分考虑到的所有影响因素的权重总和来说，编程仅仅是其中的一个小环节，它仅占总权重的1/4不到，显然，一个人的编程能力强不能代表他就能在数学建模竞赛中表现优秀。 建模是一个综合实践的过程，它需要考虑到很多因素也能反映出很多因素。因此，针对本问题中老师仅凭一个同学的编程能力强就直接录用该学生，而不再考察他的其它方面的素质，比如影响该学生数学建模能力最大的数学基础知识和数学建模知识（占总体影响权重的37.9%），以及写作能力（16%）、思维敏捷度（10.2%）、听课情况（6.55%）、其它情况（4.3%）等关键素质。我们通过对问题一和问题二的建模和求解结果进行综合分析，认为老师的这种做法是不合理的。 本文中机试成绩最好的两位同学S11和S13（即编程能力相对较强）,其笔试成绩都比较差，所以直接录用并不可行。而且凭某一方面的特产就直接录用某人，对其它同学也是很不公平的。 5.4问题四的求解 敬爱的数学建模教练组： 您好！ 一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。越来越受到广大学生的关注和参与，数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。 其中对参赛队员的选拔是一项很重要的工作，为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。 根据我对数学建模的认识，提出了以下几点建议： 1、 当选拔数学建模竞赛队员的时候，对学生的信息统计一定要准确，完整，以确保选拔的公正公平，也避免对优秀人才的埋没。 2、 在对学生信息的统计时候，可以注重考虑数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。 3、 对一些只有三分热度的学生，能进行引导即可，如果只是一味的跟风才参加数学建模竞赛，要及时进行淘汰，如果中途退出，造成的影响会很大。在平时对学生的培训过程中，一定要观察他们是否对数学建模有足够的兴趣。兴趣是最好的导师只有有足够的兴趣，才能真正地投入其中，才能在竞赛中取得优异的成绩。 4、 另外也要进行适当的小测验，动手写几次数学建模题目，既能杜绝的眼高手低的习惯，也能培养其语言表达组织能力，所写的论文不仅能自己看懂，也能让老师和其他人看明白，不至于到竞赛时词枯言竭，不能很好地表达自己的想法，从而影响自己的竞赛成绩。 5、 最后，对数学建模队员的选拔和分配方案也可以考虑以该模型作为参考依据，既要充分考虑有特殊专长的同学，最大限度的发挥其能力，也要考虑整个团队的能力要求，只有这样才能充分挖掘整个团队的力量，并且将其发挥极致，才能赢得最后的胜利。 六 模型检验 matlab程序1 Clear all Close all clc a=[1 2 3 4 5 6 1/2 1 2 3 4 5 1/3 1/2 1 2 3 4 1/4 1/3 1/2 1 2 3 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1 ]; n=6; %第一步：每一列向量标准化 for i=1:n for j=1:n x=0; for k=1:n x=x+(a(k,j)); end b(i,j)=a(i,j)/x; end end b; %第二步：按行相加 for i=1:n y=0; for j=1:n y=y+b(i,j); end c(i,1)=y; end c; %第三步：得到特征向量 for i=1:n w(i,1)=c(i)/sum(c); end w %第四步：求AW AW=a*w; %第五步：计算最大特征值 r=0; for i=1:n r=r+1/n*AW(i)/w(i); end r %算一致性指标计CI CI=(r-n)/(n-1) %计算随机性指标RI if (n==6) RI=1.24; end RI %计算一致性检验CR CR=CI/RI 七、模型的评价 1、模型的优点： 运用了层次分析法，可以很好地解决多因素的决策问题，它能将主观的模糊因素量化来客观反映考察对象的实际情况，对各队员的选拔具有了较高的公平性。在考虑组队的思想上还是加入了权重，建立了刻画各队竞赛技术水平的指标函数，形象的说明了各队的优劣状况。而且在考虑组队的过程中，尽量让问题简化，只是在剩余的队员中找最佳组，让问题很明了，思路很清晰，也达到了问题的求解。 2、模型的缺点： 对于问题三上，没有提出一个更好的办法与思想来求解，我们的解法在一定程度上还是不够精确，存在偏差。应该在问题三模型一与二上找到一定的算法，让问题更具有说服力。 参考文献 [1]. 肖郑利《层次分析法及其在数学建模竞赛中的实际应用》,天津：科技风 期刊，2007，56-60。 [2]. 姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型》（第四版），北京：高等教育出版社，2011。 韩中庚，最佳组队方案及模型，数学的实践与认识，1997，27（2）：133-144。 五 附录 1、计算特征向量 clear all close all clc a=[1 2 3 4 5;1/2 1 2 3 4;1/3 1/2 1 2 3;1/4 1/3 1/2 1 2;1/5 1/4 1/3 1/2 1] n=5; %第一步：每一列向量标准化 for i=1:n for j=1:n x=0; for k=1:n x=x+(a(k,j)); end b(i,j)=a(i,j)/x; end end b; %第二步：按行相加 for i=1:n y=0; for j=1:n y=y+b(i,j); end c(i,1)=y; end c; %第三步：得到特征向量 for i=1:n w(i,1)=c(i)/sum(c); end w %第四步：求AW AW=a*w; %第五步：计算最大特征值 r=0; for i=1:n r=r+1/n*AW(i)/w(i); end r %计算一致性指标CI CI=(r-n)/(n-1) %计算随机性指标RI if (n==5) RI=1.12; end RI %计算一致性检验CR CR=CI/RI 运行结果： a = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 0.5000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 0.3333 0.5000 1.0000 2.0000 3.0000 0.2500 0.3333 0.5000 1.0000 2.0000 0.2000 0.2500 0.3333 0.5000 1.0000 w = 0.4162 0.2618 0.1611 0.0986 0.0624 r = 5.0683 CI = 0.0171 RI = 1.1200 CR = 0.0153 2、计算综合加权向量 B=[0.4162;0.2618;0.1611;0.0986;0.0624]; A1=[0.0792 0.0816 0.0909 0.0313 0.0500]; A2=[0.0767 0.0816 0.0682 0.0938 0.1500]; A3=[0.0759 0.0404 0.0455 0.0625 0.0500]; A4=[0.0677 0.0612 0.0909 0.0625 0.1000]; A5=[0.0677 0.0612 0.0682 0.0469 0.0500]; A6=[0.0677 0.0816 0.0277 0.0938 0.0500]; A7=[0.0660 0.0408 0.0682 0.0781 0.0500]; A8=[0.0652 0.0816 0.0909 0.0625 0.1000]; A9=[0.0644 0.0816 0.0455 0.0625 0.1000]; A10=[0.0635 0.0816 0.0682 0.0781 0.1000]; A11=[0.0627 0.0408 0.0682 0.0938 0.0500]; A12=[0.0611 0.0816 0.0909 0.0313 0.0500]; A13=[0.0644 0.0612 0.0227 0.0313 0.0500]; A14=[0.0635 0.0816 0.0909 0.0781 0.0500]; A15=[0.0545 0.0408 0.0682 0.0938 0.0500]; A1*B A2*B A3*B A4*B A5*B A6*B A7*B A8*B A9*B A10*B A11*B A12*B A13*B A14*B A15*B 运行结果： ans = 0.0752 ans = 0.0829 ans = 0.0588 ans = 0.0712 ans = 0.0629 ans = 0.0664 ans = 0.0600 ans = 0.0755 ans = 0.0679 ans = 0.0727 ans = 0.0601 ans = 0.0676 ans = 0.0527 ans = 0.0733 ans = 0.0567