数学物理方程第一章内容标准答案.doc

,. 第一章 1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程 其中为杆的密度，为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与。现在计算这段杆在时刻的相对伸长。在时刻这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 令，取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律，张力等于 其中是在点的杨氏模量。 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为 于是得运动方程 利用微分中值定理，消去，再令得 若常量，则得 = 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为 (2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边界条件为 |=0 同理，若为自由端，则相应的边界条件为 ∣ (3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数给出，则在端支承的伸长为。由虎克定律有 ∣ 其中为支承的刚度系数。由此得边界条件 ∣ 其中 特别地，若支承固定于一定点上，则得边界条件 ∣。 同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条件 ∣ 即 ∣ 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 其中为圆锥的高(如图1) 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则 点处截面的半径为： 所以截面积。利用第1题，得 若为常量，则得 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为，弦的线密度为，则点处的张力为 且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻沿垂直于轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为 其中表示方向与轴的夹角 又 于是得运动方程 ∣∣ 利用微分中值定理，消去，再令得 。 5. 验证 在锥>0中都满足波动方程 证：函数在锥>0内对变量有 二阶连续偏导数。且 同理 所以 即得所证。 6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程. 解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为,故上所受摩阻力为 运动方程为: 利用微分中值定理，消去,再令得 若常数，则得 若 3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1) 解：边界条件齐次的且是第一类的，令 得固有函数，且 ， 于是 今由始值确定常数及，由始值得 所以 当 因此所求解为 (2) 解：边界条件齐次的，令 得： (1) 及 。 求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 时，方程的通解为 由得 由得 解以上方程组，得，，故时得不到非零解。 时，方程的通解为 由边值得，再由得，仍得不到非零解。 时，方程的通解为 由得，再由得 为了使，必须 ，于是 且相应地得到 将代入方程(2)，解得 于是 再由始值得 容易验证构成区间上的正交函数系： 利用正交性，得 所以 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 求解此问题。 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取，则满足 ， 令代入原定解问题，则满足 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为， 故设 将方程中非齐次项及初始条件中按展成级数，得 其中 其中 将(2)代入问题(1)，得满足 解方程，得通解 由始值，得 所以 因此所求解为 3．用分离变量法求下面问题的解 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 设 将非次项按展开级数，得 其中 将 代入原定解问题，得满足 方程的通解为 由，得： 由，得 所以 所求解为 4．用分离变量法求下面问题的解： 解：方程和边界条件都是齐次的。令 代入方程及边界条件，得 由此得边值问题 因此得固有值，相应的固有函数为 又满足方程 将代入，相应的记作，得满足 一般言之，很小，即阻尼很小，故通常有 故得通解 其中 所以 再由始值，得 所以 所求解为